Transcription de la vidéo
On pose 𝑓 de 𝑥 égale 19𝑥 au carré et 𝑔 de 𝑥 égale moins deux 𝑥, déterminez 𝑔 rond 𝑓 de 𝑥 en simplifiant l’expression, puis calculez 𝑔 rond 𝑓 de un.
Nous remarquons d'abord dans cette question cette notation, que j'ai appelée 𝑔 rond 𝑓. Nous pouvons aussi l'appeler la composée de 𝑔 par 𝑓. L'appellation composée de 𝑔 par 𝑓 permet de comprendre à quoi correspond cette notation, puisque il s’agit en fait d’une fonction composée, alors que signifie réellement 𝑔 rond 𝑓 ou la composée de 𝑔 par 𝑓 ?
En fait, 𝑔 rond 𝑓 est égale à 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, ce qui veut dire que nous appliquons 𝑓 à 𝑥 dans un premier temps et 𝑔 dans un second temps. Je peux donc y penser en termes de machine à fonctions, puisque nous avons notre valeur d’entrée, à laquelle nous allons appliquer la fonction 𝑓, qui va être 19 fois notre valeur d’entrée au carré, puis nous allons prendre cette valeur ; elle devient la nouvelle valeur d’entrée à laquelle nous allons appliquer la fonction 𝑔, qui est moins deux fois cette valeur d’entrée et cela va nous donner la valeur de sortie.
Ainsi, comme vous pouvez le voir, nous savons maintenant ce qu’est 𝑔 rond 𝑓 et nous savons maintenant comment l'utiliser, nous allons donc pouvoir résoudre ce problème. Nous avons donc nos deux fonctions et si on y pense, si notre valeur d’entrée est 𝑥 et que l’on applique la première fonction, donc la fonction 𝑓 à 𝑥, nous allons obtenir 19𝑥 au carré.
A présent, pour résoudre l’exercice et trouver ce qu'est 𝑔 rond 𝑓, nous devons en fait substituer 19𝑥 au carré à 𝑥 dans notre fonction 𝑔 de 𝑥. Ainsi, nous pouvons dire que 𝑔 rond 𝑓 est égale à moins deux fois 19𝑥 au carré, ce qui donne la réponse finale de 𝑔 rond 𝑓 est égale à moins 38𝑥 au carré.
Nous pouvons vérifier cela en utilisant notre machine à fonctions. Ainsi, notre valeur d’entrée est 𝑥 et elle va passer par la première étape de notre machine à fonctions, qui sera 19 fois 𝑥 au carré, ce qui nous donne 19𝑥 au carré. Ensuite, la dernière partie sera 𝑔, ce qui nous donne une nouvelle valeur de sortie qui est moins deux fois la nouvelle entrée 19𝑥 au carré, ce qui nous donne moins 38𝑥 au carré. Excellent ! Voilà ce qu'il nous faut.
Nous avons donc trouvé 𝑔 rond 𝑓. Nous avons maintenant 𝑔 rond 𝑓, ce qui nous permet de résoudre la deuxième partie de notre problème, qui consiste à évaluer 𝑔 rond 𝑓 de un. Cela signifie en fait que nous voulons substituer 𝑥 par un, donc nous voulons que la valeur de 𝑥 soit égale à un dans notre fonction composée.
Nous obtenons donc moins 38 fois un au carré, ce qui donne que notre réponse 𝑔 rond 𝑓, ou la composée de 𝑔 par 𝑓, de un, où 𝑥 est égal à un, est égal à moins 38.
Voilà. Nous avons résolu les deux parties du problème. La chose essentielle à retenir de cette question est que 𝑔 rond 𝑓 ou la composée de 𝑔 par 𝑓 signifie que nous allons d'abord appliquer la fonction 𝑓, puis la fonction 𝑔, il s’agit de la même chose que 𝑔 de 𝑓 de 𝑥.
