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Si 𝐴 est la matrice deux par un : six, sept et 𝐵 est la matrice un par deux : cinq, zéro, quelle est la transposée de 𝐵 fois 𝐴 ?
Dans cette question, on nous donne deux matrices, la matrice 𝐴 et la matrice 𝐵. On nous demande d’évaluer une expression impliquant ces deux matrices. Nous devons déterminer la matrice qui représente 𝐵 multipliée par 𝐴, le tout transposé. Il y a deux façons différentes d’évaluer cette expression. Premièrement, nous pouvons simplement évaluer l’expression directement. Nous pouvons le faire en substituant simplement les matrices 𝐵 et 𝐴 dans cette expression. Nous obtenons la transposée de la matrice 𝐵 fois 𝐴 est égale à la transposée de la matrice un par deux : cinq, zéro multiplié par la matrice deux par un : six, sept.
Maintenant, nous devons évaluer la multiplication matricielle à l’intérieur des parenthèses. Une façon de le faire est de noter que la première matrice est d’ordre un par deux et la deuxième matrice est d’ordre deux par un. Nous savons que pour que la multiplication matricielle soit valide, le nombre de colonnes dans la première matrice, qui est deux, doit être égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice, qui est également deux. Puis, la matrice résultant de cette multiplication aura le nombre de lignes de la première matrice, qui est un, et le nombre de colonnes de la deuxième matrice, qui est également un.
Nous savons donc que les produits de ces deux matrices doivent nous donner une matrice un par un. Nous pouvons trouver cette matrice en multipliant simplement les deux matrices ensemble. Pour ce faire, nous devons multiplier les entrées correspondantes des lignes de la première matrice par les colonnes de la deuxième matrice. Puisque la première matrice de ce produit n’a qu’une seule ligne et que la deuxième matrice n’a qu’une seule colonne, nous n’obtiendrons qu’une seule entrée puisque nous obtenons une matrice un par un. L’entrée de cette matrice est cinq fois six plus zéro multiplié par sept. Rappelez-vous, nous devons prendre la transposée de cette matrice. Si nous évaluons cette expression, nous obtenons 30. Nous devons donc prendre la transposée de la matrice un par un dont la seule entrée est 30. Nous pouvons le faire en rappelant que la transposée d’une matrice remplace toutes les lignes de la matrice par les colonnes correspondantes.
Cependant, notre matrice n’a qu’une seule ligne et une seule colonne. Ainsi, lorsque nous commutons ces lignes et ces colonnes, nous nous retrouvons avec la même matrice, la matrice un par un 30. En fait, la transposée de toute matrice un par un laissera la matrice inchangée. Cela suffit pour répondre à la question. Ainsi, nous pourrions nous arrêter ici. Cependant, il existe une deuxième méthode pour répondre à cette question.
Nous pouvons rappeler que si les matrices 𝐵 et 𝐴 ont des ordres tels que nous pouvons multiplier la matrice 𝐵 par la matrice 𝐴, alors la transposée de 𝐵 fois 𝐴 est égale à la transposée de 𝐴 multipliée par la transposée de 𝐵. En d’autres termes, si nous pouvons multiplier les matrices 𝐵 et 𝐴, alors nous pouvons distribuer la transposée sur les produits en prenant la transposée de chaque matrice et en réorganisant le produit. Cela signifie que nous pouvons répondre à la question et évaluer le côté droit de cette équation en prenant la transposée de 𝐴 et la transposée de 𝐵 séparément, puis en trouvant le produit de ces deux matrices.
Commençons donc par trouver la transposée de la matrice 𝐴. Il s’agit de la transposée de la matrice deux par un six, sept. N’oubliez pas que pour trouver la transposée de cette matrice, nous devons écrire les lignes correspondantes de cette matrice comme les colonnes correspondantes de notre nouvelle matrice. Nous pouvons le faire ligne par ligne. Commençons par la première ligne qui contient seulement l’élément six. Puisqu’il s’agit de la première ligne de la matrice 𝐴, ce sera la première colonne de la matrice 𝐴 transposée.
Nous pouvons faire exactement la même chose avec la deuxième ligne de la matrice 𝐴, qui ne contient que l’entrée sept. Nous voulons écrire la deuxième ligne de la matrice 𝐴 comme la deuxième colonne de sa transposée. Ainsi, notre deuxième colonne n’aura que l’entrée sept, ce qui signifie que la transposée de la matrice 𝐴 est la matrice un par deux : six, sept. Il convient de noter que lorsque nous prenons la transposée d’une matrice, nous changeons ses dimensions. La matrice 𝐴 est une matrice deux par un, donc sa transposée sera une matrice un par deux.
Nous pouvons suivre exactement le même processus pour trouver la transposée de la matrice 𝐵. Nous devons prendre les lignes de la matrice 𝐵 et les écrire comme les colonnes correspondantes de la transposée de 𝐵. Si nous commençons par la première ligne de 𝐵, nous pouvons voir que 𝐵 n’a qu’une seule ligne. Cela signifie que la transposée de 𝐵 n’aura qu’une seule colonne. Si nous écrivons cette ligne comme une colonne, nous voyons que la transposée de 𝐵 est la matrice deux par un : cinq, zéro.
Nous pouvons maintenant substituer la transposée de la matrice 𝐴 et la transposée de la matrice 𝐵 dans notre formule. Cela nous donne alors la matrice un deux : six, sept multipliée par la matrice deux un : cinq, zéro. Nous pouvons maintenant évaluer cette multiplication. Nous obtenons cette matrice un par un dont la seule entrée est six fois cinq plus sept fois zéro et nous pouvons voir que cela donne également la matrice un par un dont la seule entrée est 30.
Par conséquent, nous avons pu montrer deux méthodes différentes pour déterminer la transposée de la matrice 𝐵 fois la matrice 𝐴, où la matrice 𝐴 est la matrice deux par un : six, sept et la matrice 𝐵 est la matrice un par deux : cinq, zéro. Nous avons pu montrer que la transposée de 𝐵 fois 𝐴 est égale à la matrice un par un dont la seule entrée est 30.
