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Une expérience produit la variable aléatoire discrète 𝑋 dont voici la distribution de probabilité. Si on effectue un très grand nombre d’essais, quelle sera la moyenne probable de tous les résultats ?
D’après la loi des grands nombres, la moyenne des résultats obtenus après un très grand nombre d’essais tend vers l’espérance. Ici, c’est 𝐸 de 𝑥. Lorsque le nombre d’essais 𝑛 tend vers l’∞, on dit que la moyenne est égale à 𝐸 de 𝑥 : l’espérance de 𝑥. La formule à connaître pour l’espérance de 𝑥 est la somme des 𝑥 multipliés par 𝑝 de 𝑥. C’est la somme de chacun des issues possibles multiplié par la probabilité que cette issue se produise.
Utilisons donc cette formule. 𝑥 multiplié par 𝑝 de 𝑥 pour la première colonne est deux multiplié par 0,1. Pour la deuxième colonne, c’est trois multiplié par 0,3. Pour la troisième colonne, quatre multiplié par 0,2. Et pour la quatrième et dernière colonne, c’est cinq multiplié par 0,4. Deux multiplié par 0,1 égale 0,2, plus 0,9, plus 0,8, et cinq multiplié par 0,4 égale 2,0.
On ajoute donc 2,0 à la fin de cette ligne. La somme de ces valeurs est 3,9. Donc, l’espérance de 𝑋 est 3,9. Et on a dit que, pour un très grand nombre d’essais, on pourrait l’appeler moyenne. Regardons le tableau pour vérifier que cette réponse est vraisemblable. Puisque les valeurs possibles pour 𝑥 sont deux, trois, quatre et cinq, et que 3,9 dépasse légèrement le milieu entre deux et cinq, 3,9 est susceptible d’être la moyenne correcte pour cette distribution de probabilité.
