Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète à partir d’un tableau, d’un graphique et dans un problème.
Définition : Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs numériques. La valeur que prend la variable est déterminée par le résultat d’un phénomène aléatoire ou d’une expérience. Une telle variable est souvent notée par une majuscule , avec la valeur prise par la variable notée en minuscule .
Chaque valeur qu’une variable aléatoire discrète peut prendre possède une probabilité associée. Par exemple, considérons le graphique ci-dessous qui indique les probabilités d’une roulette s’arrêtant sur 1, 2, 3 et 4 :
Il montre que
- la probabilité que la roulette s’arrête sur 1 est 0,2 (écrite comme ) ;
- la probabilité que la roulette s’arrête sur 2 est 0,3 (écrite comme ) ;
- la probabilité que la roulette s’arrête sur 3 est 0,3 (écrite comme ) ;
- la probabilité que la roulette s’arrête sur 4 est 0,2 (écrite comme ).
Sous forme de tableau, nous pouvons indiquer ces probabilités comme suit :
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,2 |
L’ensemble des probabilités de chacune des valeurs possibles de représente une loi de probabilité.
Définition : Loi de probabilité
Une loi de probabilité est une fonction qui donne la probabilité d’obtenir chacune des valeurs possibles qu’une variable aléatoire discrète peut prendre. Elle est souvent représentée par un graphique ou un tableau de valeurs. Une loi de probabilité a les propriétés les suivantes :
- la probabilité que prenne une valeur spécifique est . Les notations , et peuvent également être utilisées pour cette probabilité ;
- pour tous les nombres réels ;
- , où est le nombre de valeurs possibles de et prend les valeurs .
Ainsi, d’après le deuxième et le troisième point, on sait que .
En appliquant cela à la loi de probabilité de la roulette ci-dessus, la somme de toutes les probabilités est égale à 1. C’est-à-dire
Comme c’est toujours le cas, si nous connaissons toutes les probabilités sauf une dans une loi de probabilité, nous pouvons soustraire la somme des probabilités connues à 1 pour déterminer la probabilité inconnue.
La loi des grands nombres stipule que lorsque la taille de l’échantillon augmente, la moyenne de tous les résultats se rapproche de la moyenne de la population, ou de la moyenne attendue. Ainsi, en utilisant une loi de probabilité, nous pouvons calculer la moyenne la plus probable de tous les résultats lorsqu’un grand nombre d’essais sont menés. Par exemple, supposons que nous tournions notre roulette 10 000 fois. Le nombre le plus probable de fois que chacune des valeurs possibles sortira de ces 10 000 essais est le produit de 10 000 et de la probabilité d’obtenir cette valeur. C’est-à-dire
- le nombre de 1 le plus probable à venir serait ;
- le nombre de 2 le plus probable à venir serait ;
- le nombre de 3 le plus probable à venir serait ;
- le nombre de 4 le plus probable à venir serait .
S’ils représentaient les effectifs de chacune des valeurs, nous pourrions déterminer la moyenne de tous les résultats en multipliant chaque valeur par son effectif, en déterminant la somme des produits, puis en divisant par le nombre total de résultats possibles. Cela nous donnerait une moyenne de
Notons que nous aurions obtenu la même réponse si nous avions effectué nos calculs d’une manière légèrement différente. En multipliant chaque valeur de par sa probabilité et en additionnant les produits, nous obtenons
C’est en fait , nous avons donc
Il s’agit du même résultat que celui obtenu lors du premier calcul de la moyenne des 10 000 résultats, et cela nous amène à la définition de l’espérance.
Définition : Espérance
L’espérance de la variable aléatoire discrète est le résultat le plus probable de la variable lorsqu’un très grand nombre d’essais sont menés. C’est-à-dire où est la moyenne et est le nombre d’essais. La formule de l’espérance est où représente chacune des valeurs possibles de et est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
Maintenant que nous disposons d’une formule de l’espérance d’une variable aléatoire discrète, utilisons-la pour résoudre des problèmes. Nous allons commercer par un exemple dans lequel la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est donnée dans un tableau.
Exemple 1: Calculer l’espérance
Une expérience produit la variable aléatoire discrète qui a la loi de probabilité indiquée ci-dessous. Si un très grand nombre d’essais étaient effectués, quelle serait la moyenne probable de tous les résultats ?
| 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Réponse
Rappelons que la loi des grands nombres stipule que lorsque le nombre d’essais tend vers l’infini, la moyenne des résultats converge vers l’espérance. C’est-à-dire où est la moyenne, le nombre d’essais, et l’espérance de . Rappelons également que la formule de l’espérance est où représente chacune des valeurs possibles de et est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
Ainsi, pour déterminer la moyenne probable de l’expérience ci-dessus, nous remplaçons les valeurs données dans le tableau dans la formule de l’espérance. C’est-à-dire que nous multiplions chaque résultat possible par sa probabilité, puis calculons la somme des produits :
Cela nous indique que l’espérance de est de 3,9. Ainsi, si un nombre très élevé d’essais étaient effectués, la moyenne probable de tous les résultats serait de 3,9.
Remarque
L’espérance de 3,9 est légèrement supérieure à , qui est la valeur médiane entre 2 et 5. C’est ce à quoi nous nous attendions, puisque la somme des probabilités de 4 et 5 est légèrement supérieure à la somme des probabilités de 2 et 3 .
Nous allons maintenant calculer l‘espérance d’une variable aléatoire discrète qui a une loi de probabilité uniforme. Dans une loi de probabilité uniforme, chaque résultat a la même probabilité de se produire.
Exemple 2: Calculer l‘espérance à partir des probabilités d’une variable aléatoire discrète
Le tableau ci-dessous montre la loi de probabilité d’un dé équilibré à six faces. Déterminez .
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
Réponse
Commençons par remplacer les valeurs données dans la formule de l’espérance, . C’est-à-dire où chacune des valeurs possibles de est et la probabilité que chacun de ces résultats se produise est . Notons que comme chaque résultat a la même probabilité de se produire, nous avons une loi de probabilité uniforme.
La formule indique que pour déterminer l‘espérance de , nous devons multiplier chacune des valeurs possibles de par sa probabilité, puis calculer la somme des produits. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons
La formule nous dit donc que est égale à 3,5.
Notez que l‘espérance de 3,5 que nous venons de calculer est exactement la médiane entre 1 et 6. Cela nous amène à une formule pour l‘espérance d’une variable aléatoire discrète qui a une loi de probabilité uniforme.
Formule : Espérance d’une variable aléatoire avec une loi de probabilité uniforme
Pour une loi uniforme où et est le dernier entier consécutif de l’ensemble des valeurs possibles de ,
Rappelons que, pour notre loi de probabilité uniforme dans l’exemple ci-dessus, . Pour confirmer notre travail, nous pouvons remplacer par 6 dans la formule indiquée et simplifier comme ci-dessous :
Comme précédemment, nous trouvons que la valeur de est 3,5.
Dans le problème qui suit, nous allons étudier une loi de probabilité sous une forme graphique et allons calculer l‘espérance de la variable aléatoire discrète associée.
Exemple 3: Calculer l’espérance à partir du graphique d’une loi de probabilité
Déterminez l‘espérance de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est illustrée ci-dessous.
Réponse
Nous commençons par représenter les informations données dans le graphique sous forme de tableau afin de pouvoir calculer plus facilement l‘espérance de . Ce faisant, nous obtenons
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Maintenant, remplaçons les valeurs données du tableau dans la formule de l‘espérance, . C’est-à-dire où représente chacune des valeurs possibles de et est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
En remplaçant nos valeurs et leurs probabilités dans la formule, nous obtenons
Ainsi, l‘espérance de la variable aléatoire est 2,7.
Nous allons maintenant calculer l‘espérance d’une autre variable aléatoire discrète. Cette fois, la loi de probabilité nous est donnée sous forme de fonction. Nous devons utiliser le fait que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité est égale à 1 pour déterminer une probabilité inconnue.
Exemple 4: Déterminer l‘espérance d’une variable aléatoire discrète à partir d’une fonction
Soit une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs , et 1. Sachant que a une fonction de loi de probabilité , déterminez l‘espérance de .
Réponse
La fonction de loi de probabilité pour la variable aléatoire discrète et les trois valeurs possibles que peut prendre nous sont fournies dans ce problème. Nous devons déterminer l’espérance de .
Avant de pouvoir calculer l’espérance de la variable aléatoire discrète, nous devons d’abord évaluer la fonction de loi de probabilité de la variable pour chacune des valeurs possibles de la variable afin de déterminer la probabilité associée à chaque valeur.
D’abord, en calculant pour , nous obtenons
Ensuite, en calculant pour , nous obtenons
Enfin, en calculant pour , nous obtenons
Nous savons maintenant que la probabilité de est , la probabilité de est et la probabilité de est . Rappelons que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à 1. Cela signifie que nous pouvons écrire l’équation et après avoir trouvé un dénominateur commun pour les trois fractions sur le membre gauche, nous obtenons
Simplifier le membre gauche nous donne et après avoir multiplié les deux membres de l’équation par 6, nous obtenons
Enfin, en soustrayant 6 des deux membres, nous avons
Rappelons que la probabilité de est . Comme nous avons maintenant déterminé que la valeur de est 0, nous savons que la probabilité que est
Pour nous aider à calculer l’espérance de , représentons nos conclusions actuelles sous forme de tableau comme ci-dessous.
| 0 | 1 | ||
En vérifiant que la somme de toutes les probabilités dans la loi de probabilités est égale à 1, nous pouvons confirmer que les probabilités dans notre tableau sont correctes comme suit :
Comme nous avons trouvé la probabilité correcte pour chacune des valeurs possibles de , nous pouvons maintenant utiliser la formule pour déterminer l’espérance de . Dans la formule, chacune des valeurs possibles de est et la probabilité que chacun de ces résultats se produise est .
En remplaçant nos valeurs et leurs probabilités dans la formule, nous obtenons
Par conséquent, l‘espérance de est .
Dans l’exemple qui suit, nous allons utiliser à nouveau le fait que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité est égale à 1 pour établir une équation linéaire. Nous allons résoudre cette équation pour déterminer deux probabilités inconnues, que nous utiliserons ensuite pour calculer l‘espérance d’une variable aléatoire discrète.
Exemple 5: Utiliser la fonction de la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète pour déterminer l’espérance
La fonction dans le tableau donné est une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète . Déterminez l‘espérance de .
| 1 | 3 | 4 | 6 | |
Réponse
Dans ce problème, nous devons déterminer l‘espérance d’une variable aléatoire discrète en utilisant les informations du tableau donné. sont les valeurs possibles de , où dans ce cas, = 1, 2, 3 et 4 car il y a quatre issues possibles, et sont les probabilités de réaliser chacune d’elles. est souvent notée comme .
Nous remarquons que les probabilités de et ne sont pas données. Elles sont en fait indiquées comme fonction de la constante inconnue . Par conséquent, nous devons trouver la valeur de avant de pouvoir calculer l’espérance.
Rappelons que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à 1. Cela signifie que nous pouvons écrire l’équation et après avoir trouvé un dénominateur commun pour les deux fractions sur le membre gauche, nous obtenons
Simplifier le membre gauche nous donne alors
En soustrayant maintenant des deux membres, nous obtenons
Enfin, après avoir divisé les deux membres de l’équation par 14, nous arrivons à
Maintenant que nous savons que la valeur de est , nous pouvons déterminer que ainsi que
Entrer ces probabilités dans notre tableau nous donne
| 1 | 3 | 4 | 6 | |
Nous pouvons confirmer que nos probabilités sont correctes en vérifiant que la somme de toutes les probabilités dans la loi de probabilité est égale à 1 comme suit :
Maintenant que nous avons la probabilité correcte pour chacune des valeurs possibles de , nous pouvons utiliser la formule pour déterminer l‘espérance de . Dans la formule, l‘espérance est et le nombre de résultats possibles de est ; comme indiqué précédemment, dans notre cas, la valeur de est 4.
En utilisant la formule, nous multiplions chacune des valeurs possibles de par sa probabilité, puis calculons la somme des produits pour trouver l‘espérance de . Lorsque nous faisons cela, nous obtenons
L’espérance de est donc .
Nous allons une nouvelle fois utiliser le fait que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à 1 pour trouver une probabilité inconnue dans notre prochain problème. Comme précédemment, nous utiliserons cette probabilité pour déterminer l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
Exemple 6: Déterminer l’espérance d’une variable aléatoire discrète
Soit une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 4, 5, 8 et 10. Sachant que , et , déterminez l’espérance de . Donnez la réponse au centième près.
Réponse
Pour résumer les informations données, représentons-les sous forme de tableau. Ce faisant, nous obtenons
| 4 | 5 | 8 | 10 | |
| ? |
Notons que nous ne connaissons pas la probabilité que la valeur de soit 10, c’est-à-dire . Cependant, nous savons que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à 1. Cela signifie que nous devons soustraire la somme des autres probabilités du tableau à 1 pour déterminer notre probabilité inconnue. Ce faisant, nous obtenons
Maintenant que nous connaissons la probabilité que la valeur de soit 10, utilisons la formule de l’espérance . Rappelons que la formule est où représente chacune des valeurs possibles de et est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
En utilisant la formule, nous multiplions chacune des valeurs possibles de par sa probabilité, puis calculons la somme des produits pour déterminer l’espérance de :
Pour convertir notre fraction sous forme décimale, nous pouvons maintenant diviser 205 par 27 pour obtenir , ce qui signifie que l’espérance de au centième près est 7,59.
Nous allons enfin travailler sur un problème dans lequel nous devons déterminer l’une des valeurs possibles d’une variable aléatoire discrète quand son espérance est fournie. Avant de pouvoir le faire, nous devrons d’abord établir une équation linéaire que nous résoudrons pour nous aider à déterminer trois probabilités inconnues.
Exemple 7: Utiliser la fonction de la loi de probabilité et l’espérance d’une variable aléatoire discrète pour déterminer une valeur inconnue
Le tableau ci-dessous fournit une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète . Sachant que l’espérance de est , déterminez la valeur de .
| 1 | 2 | 7 | ||
Réponse
Pour déterminer la valeur de , nous devons d’abord déterminer la valeur de . Pour ce faire, rappelons que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à 1. Cela nous permet d’établir l’équation qui nous permet de trouver la valeur de . En regroupant les termes semblables sur le membre gauche de l’équation, nous avons puis, en soustrayant des deux membres, nous obtenons
Enfin, en divisant les deux membres par 19, nous arrivons à
Maintenant que nous savons que la valeur de a est , nous pouvons calculer les probabilités des résultats 1, 2 et 7 dans notre tableau comme suit :
En entrant ces probabilités dans notre tableau, nous obtenons :
| 1 | 2 | 7 | ||
Nous pouvons confirmer que nos probabilités sont correctes en vérifiant que la somme de toutes les probabilités dans la loi de probabilité est égale à 1 comme suit :
Maintenant que nous avons obtenu la probabilité correcte pour chacune des valeurs possibles de , nous pouvons utiliser la formule pour déterminer la valeur de . Dans la formule, est l’espérance, est le nombre de résultats possibles, est la valeur de chacun de ces résultats possibles et est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise. Notez que, pour cette série statistique, = 1, 2, 3, 4, car il y a 4 valeurs possibles de , ce qui signifie que la valeur de est 4.
Selon la formule, il faut multiplier chacune des valeurs possibles de par sa probabilité, puis calculer la somme des produits pour déterminer l’espérance de . Rappelons maintenant que l’espérance de est . En remplaçant l’espérance et les valeurs de notre tableau dans la formule, nous obtenons
Nous pouvons maintenant résoudre l’équation résultante de . Les multiplications sur le membre droit nous donnent
Ensuite, en additionnant les fractions avec des dénominateurs semblables sur le membre droit, nous obtenons
Puis, en soustrayant des deux membres de l’équation, nous avons et après avoir multiplié les deux côtés de l’équation par 3, nous obtenons
Ainsi, avec notre résultat , nous trouvons que doit être égal à 6.
Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs numériques. La valeur que prend la variable est déterminée par le résultat d’un phénomène aléatoire ou d’une expérience.
- Une majuscule désigne souvent une variable aléatoire discrète, avec une minuscule indiquant la valeur que la variable prend.
- Une loi de probabilité est une fonction qui indique la probabilité d’obtenir chacune des valeurs possibles qu’une variable aléatoire discrète peut prendre.
- L’espérance de la variable aléatoire discrète est la moyenne la plus probable de tous les résultats de la variable lorsqu’un très grand nombre d’essais sont menés.
- La formule de l’espérance est , où représente chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire discrète et est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
- La somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité est égale à 1.
- L’espérance d’une variable aléatoire discrète qui a une loi de probabilité uniforme est , où est le dernier entier consécutif de l’ensemble des valeurs possibles de .
