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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer l’espérance ou la moyenne de variables aléatoires discrètes à partir d’un tableau ou d’un graphique. Commençons par rappeler ce que nous entendons par variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Une loi de probabilité décrit dans quelle mesure une variable aléatoire est susceptible d’être égale à ses possibles valeurs. Elle peut être donnée sous forme de fonction, de tableau de valeurs ou même sous forme de graphique. Une variable discrète est une variable qui ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs. Dans cet exemple, X est une variable discrète car elle ne peut prendre que les valeurs un, deux, trois, quatre, cinq et six.
Dans cette vidéo, nous souhaitons trouver une formule nous permettant de calculer l’espérance, notée 𝐸 de X, ou la moyenne d’une variable aléatoire discrète. Pour nous aider à déterminer cette formule, commençons par étudier un exemple.
Une expérience produit la variable aléatoire discrète 𝑋 dont la loi de probabilité est représentée ci-dessous. Si un très grand nombre d’essais était réalisés, quelle serait la moyenne probable de tous les résultats ?
Imaginons que l’expérience consiste à faire tourner une roue ayant les nombres deux, trois, quatre et cinq. Le tableau nous indique la probabilité d’obtenir chaque score lorsque l’on fait tourner la roue. Et nous voyons qu’il est par exemple beaucoup plus probable que la roue s’arrête sur le cinq que sur le deux. Ajoutons un autre tableau, montrant le nombre de fois où on fait tourner la roue et le nombre de fois où on s’attend à ce qu’elle s’arrête sur chaque nombre. Si on fait tourner la roue 10 fois, alors dans 0,1 ou 10 pourcents des cas, on s’attend à ce que la roue s’arrête sur deux. Eh bien, 0,1 de 10 - en d’autres termes 0,1 fois 10 - est égal à un. Ensuite, dans 0,3 ou 30 pourcents des cas, on s’attend à ce que la roue s’arrête sur trois. 0,3 de 10 ou 0,3 fois 10 égale trois. Puis dans 0,2 ou 20 pourcents des cas, on s’attend à ce que la roue s’arrête sur quatre, c’est-à-dire deux fois. Et dans 0,4 ou 40 pourcents des cas, c’est-à-dire quatre fois, on peut s’attendre à ce que la roue s’arrête sur cinq.
Réfléchissons maintenant à ce qui se passerait si on la faisait tourner 20 fois. Dans 0,1 ou 10 pourcents des cas, on s’attendrait à ce qu’elle s’arrête sur deux, ce qui correspond à deux fois. On s’attendrait également à ce que la roue s’arrête sur trois, 0,3 fois 20 soit six fois. On s’attendrait à ce qu’elle s’arrête sur le quatre, 0,2 fois 20 soit quatre fois. Et 0,4 fois 20, soit huit, est le nombre de fois où on s’attendrait à ce qu’elle s’arrête sur cinq. Mais imaginons à présent qu’on réalise un très grand nombre d’essais, par exemple 1 000. 0,1 fois 1 000 égale 100. On s’attendrait donc à ce que la roue s’arrête sur deux environ 100 fois. On s’attendrait ensuite à ce qu’elle s’arrête 300 fois sur trois, 200 fois sur quatre et 400 fois sur cinq.
Ces estimations sont vraiment utiles car nous pouvons les utiliser pour calculer la moyenne en utilisant la formule de la moyenne pondérée à partir d’un tableau d’effectifs. La formule est la somme des 𝑓 fois 𝑥 divisée par la somme des 𝑥. La somme des 𝑥 est 1 000. Car on a effectué 1 000 essais. Et 𝑓 fois 𝑥 correspond à deux fois 100, trois fois 300, quatre fois 200 et cinq fois 400. Donc la somme des 𝑓 fois 𝑥 est la somme de tous ces produits. Nous pouvons alors calculer la moyenne, que nous appelons l’espérance 𝐸 de X, comme indiqué.
Nous allons calculer cette valeur dans un instant mais rappelons que nous recherchons une formule permettant de calculer l’espérance. Nous allons donc séparer un peu la fraction. On peut l’écrire comme deux fois 100 sur 1 000 plus trois fois 300 sur 1 000 et ainsi de suite. Et nous remarquons alors quelque chose. 100 divisé par 1 000 égale 0,1. 300 divisé par 1 000 égale 0,3. 200 divisé par 1 000 égale 0,2. Et 400 divisé par 1 000 égale 0,4. Et donc une autre façon d’écrire notre calcul de l’espérance est deux fois 0,1 plus trois fois 0,3 plus quatre fois 0,2 plus cinq fois 0,4, et cela est égal à 3,9. Par conséquent, si un très grand nombre d’essais était menés, la moyenne probable de toutes les issues serait en fait de 3,9.
Et vous avez peut-être déjà remarqué un modèle. Deux fois 0,1 est le produit de 𝑥 et de sa probabilité correspondante 𝑝 de 𝑥. Trois fois 0,3 est également le produit de 𝑥 et de sa probabilité correspondante 𝑝 de 𝑥 et ainsi de suite. Nous remarquons alors que l’espérance est simplement égale à la somme des produits des nombres dans chaque colonne.
Et nous pouvons donc généraliser.
L’espérance, parfois appelée la moyenne de X, est notée 𝐸 de X ou 𝜇 ou 𝜇 indice X. Elle peut être trouvée en calculant la somme des produits des valeurs de la variable, petit x, et de la probabilité que ces valeurs se produisent, 𝑃 de X égale petit 𝑥. La formule est donc la suivante. 𝐸 de X est égale à la somme des petits 𝑥 fois 𝑃 de X égale petit 𝑥. Maintenant que nous avons une formule, voyons comment nous pouvons l’appliquer pour déterminer l’espérance d’une variable aléatoire discrète à partir d’un graphique.
Calculez l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est représentée ci-dessous.
L’espérance notée 𝐸 de X est égale à la somme des produits des valeurs de la variable 𝑋 et de la probabilité que ces valeurs se produisent. Cette formule s’affiche à l’écran. Et une bonne méthode pour calculer l’espérance à partir d’un graphique est en fait de construire un tableau. Nous voyons en regardant l’axe des abscisses que la variable aléatoire 𝑋 peut prendre les valeurs un, deux, trois, quatre et cinq. Nous voyons également que chacune des barres de l’histogramme a une hauteur de 0,2. La probabilité associée à chaque valeur de la variable est donc en fait 0,2. Pour vérifier rapidement si notre méthode est correcte, nous pouvons vérifier que la somme des probabilités est bien égale à un. 0,2 plus 0,2 plus 0,2 plus 0,2 plus 0,2 égale un et nous pouvons donc passer à la suite.
Pour trouver l’espérance, on calcule la somme des produits des nombres dans chaque colonne. Cela fait un fois 0,2 plus deux fois 0,2 plus trois fois 0,2 plus quatre fois 0,2. Et enfin, plus cinq fois 0,2. En évaluant chacun des produits, on obtient 0,2 plus 0,4 plus 0,6 plus 0,8 plus un, ce qui est égal à trois. Par conséquent, l’espérance 𝐸 de X est égale à trois. Et cela est en fait logique. Nous avons remarqué que la probabilité que chaque issue se produise était la même, 0,2 à chaque fois. Donc, l’espérance est en fait égale à la moyenne arithmétique de tous les nombres. Soit cinq plus quatre plus trois plus deux plus un divisé par cinq, ce qui est aussi égal à trois.
Mais cela n’est valable que parce que les probabilités sont égales. Il ne s’agit pas d’une règle générale que nous pouvons appliquer. Étudions à présent un exemple avec un graphique où les probabilités ne sont pas égales.
Calculez l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est représentée ci-dessous.
La formule que nous utilisons pour calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 est affichée à l’écran. Elle est égale à la somme des produits des valeurs de 𝑋 et de la probabilité que ces valeurs se produisent. Comme précédemment, nous allons commencer par transformer la loi de probabilité sous forme graphique en un tableau. L’axe des abscisses du graphique nous indique les valeurs que la variable aléatoire discrète peut prendre. Elles sont un, deux, trois et quatre. La première barre a alors une hauteur de 0,1. Donc, la probabilité de 𝑋 égale un est 0,1. La deuxième barre a une hauteur de 0,3. Donc la probabilité de 𝑋 égale deux est 0,3. Et nous continuons de cette manière. La hauteur de la troisième barre est de 0,4 et il s’agit de la probabilité de 𝑋 égale trois. Et la hauteur de la quatrième barre, qui nous indique la probabilité de 𝑋 égale quatre, est de 0,2.
Pour trouver l’espérance à partir du tableau, nous devons calculer la somme des produits des nombres dans chaque colonne. C’est-à-dire un fois 0,1 plus deux fois 0,3 plus trois fois 0,4 plus quatre fois 0,2. Cela devient 0,1 plus 0,6 plus 1,2 plus 0,8, ce qui est égal à 2,7. Par conséquent, l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 est 2,7. Et nous pouvons toujours vérifier si notre réponse semble être correcte, ou du moins dans la bonne fourchette. Calculer l’espérance revient en effet à calculer la moyenne pondérée. Selon notre tableau et notre graphique, il est beaucoup plus probable que X soit égal à trois plutôt qu’à un. La moyenne pondérée et donc plus susceptible de se situer dans cette région. Et puisque 2,7 est à peu près entre un et quatre, mais pas exactement, nous savons que nous avons probablement effectué les bons calculs.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer certaines propriétés des probabilités afin de calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
La fonction dans le tableau ci-dessous est la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Calculez l’espérance de 𝑋.
Nous savons que nous pouvons trouver l’espérance d’une variable aléatoire discrète en calculant la somme des produits des valeurs de la variable 𝑋 et la probabilité que ces valeurs se produisent. Et on peut l’écrire en utilisant le symbole 𝛴. Dans ce cas, 𝑓 est une loi de probabilité. Elle représente donc la probabilité que X soit égal à 𝑥 𝑖. Pour trouver l’espérance, nous pouvons alors calculer la somme des produits des nombres dans chaque colonne. Mais nous voyons qu’il nous manque un nombre. Cette valeur ici.
Il est indiqué que la probabilité de X égale un est 𝑎. Mais comment pouvons-nous calculer cette valeur 𝑎 ? Eh bien, nous savons que la somme des probabilités du tableau doit être égale à un, ce qui nous permet d’établir et de résoudre une équation en fonction de 𝑎. Notre équation est 0,1 plus 𝑎 plus 0,1 plus 0,4 plus 0,2 égale un. On additionne toutes les probabilités et on pose leur somme égale à un. 0,1 plus 0,1 plus 0,4 plus 0,2 égale 0,8. L’équation devient donc 𝑎 plus 0,8 égale un. En soustrayant 0,8 aux deux membres, on trouve 𝑎 égale 0,2. Et nous sommes ainsi prêts à calculer l’espérance de 𝑋. Elle est égale à zéro fois 0,1 plus un fois 0,2 plus deux fois 0,1. Et ainsi de suite avec les nombres dans les deux dernières colonnes. Cela nous donne zéro plus 0,2 plus 0,2 plus 1,2 plus 0,8, ce qui est égal à 2,4. L’espérance de 𝑋 est par conséquent égale à 2,4.
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser la formule de l’espérance pour déterminer des valeurs inconnues.
Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète X. Sachant que l’espérance de X est égale à 254 sur 57, déterminez la valeur de 𝐵.
Et nous avons un tableau avec des valeurs de 𝑥 𝑖 et de 𝑓 de 𝑥 𝑖. Commençons par rappeler comment calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète. Elle est égale à la somme des valeurs que la variable peut prendre multipliées par la probabilité que ces valeurs se produisent. Maintenant, la question nous indique que la fonction est une loi de probabilité de la variable aléatoire discrète. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 𝑖 est égal à la probabilité que X soit égal à 𝑥 𝑖. Nous devons donc multiplier les valeurs dans chacune de nos colonnes pour calculer l’espérance.
Mais nous avons un petit problème. Pour le moment, les valeurs des probabilités sont en fonction d’une variable 𝑎. Nous allons donc utiliser la propriété selon laquelle la somme de ces probabilités doit être égale à un. En d’autres termes, huit 𝑎 plus trois 𝑎 plus un sur trois plus huit 𝑎 doit être égal à un. Huit 𝑎 plus trois 𝑎 plus huit 𝑎 égale 19𝑎. On a donc 19𝑎 plus un sur trois égale un. On peut déterminer 𝑎 en soustrayant d’abord un sur trois aux deux membres pour obtenir 19𝑎 égale deux sur trois. Puis en divisant les deux membres par 19, on obtient 𝑎 égale deux sur 57. Maintenant que nous connaissons la valeur de 𝑎, nous pouvons revenir à notre tableau et calculer les probabilités.
La probabilité de X égale un est huit 𝑎. C’est-à-dire huit fois deux sur 57, soit 16 sur 57. Et la probabilité de X égale deux est trois 𝑎. Soit trois fois deux sur 57, ce qui donne six sur 57. La probabilité de X égale 𝐵 est un sur trois. Et enfin, la probabilité de X égale sept est à nouveau huit 𝑎. Donc, 16 sur 57. Bien sûr, nous pouvons vérifier rapidement que la somme des probabilités est bien égale à un et c’est le cas donc nous pouvons passer à la suite.
La prochaine étape consiste à calculer la somme des produits des nombres dans chaque colonne. L’espérance est alors égale à un fois 16 sur 57 plus deux fois six sur 57 plus 𝐵 fois un sur trois plus sept fois 16 sur 57. Mais nous savons en fait que l’espérance est égale à 254 sur 57. On peut donc remplacer 𝐸 de X par ce nombre. Puis on simplifie le membre droit. Maintenant, toutes ces fractions rendent la lecture un peu compliquée, on multiplie donc chaque terme de l’équation par 57. L’équation devient alors 254 égale 16 plus 12 plus 19𝐵 plus 112. Car 19 égale 57 divisé par trois. En additionnant les constantes, on obtient 140 plus 19𝐵 sur le membre droit.
On soustrait ensuite 140 aux deux membres et notre équation devient 114 égale 19𝐵. Enfin, on divise par 19. Et on trouve que 𝐵 est égal à 114 sur 19, ce qui fait six. Par conséquent, la valeur de 𝐵 est six.
Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons rappelé la définition d’une variable aléatoire discrète. Il s’agit d’une variable qui ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs. Nous avons vu que nous désignons l’espérance, parfois appelée la moyenne de X, par 𝐸 de X ou 𝜇 ou 𝜇 indice X. L’espérance est alors égale à la somme des produits des valeurs de la variable X et de la probabilité que ces valeurs se produisent. On peut utiliser le symbole 𝛴 pour représenter la somme.
