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Si l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro a deux solutions, cela signifie-t-il que 𝑓 est une fonction du second degré qui coupe l’axe des 𝑥 en deux points ?
Pour répondre à cette question, notons d’abord que si l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro a deux solutions 𝑠 indice un et 𝑠 indice deux, alors son ensemble solution 𝑆 a deux éléments. Et 𝑠 indice un et 𝑠 indice deux sont des nombres réels distincts. Nous savons également que pour une fonction du second degré de la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, si l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro a deux solutions 𝑥 est égal à 𝑠 indice un et 𝑥 est égal à 𝑠 indice deux, alors 𝑠 indice un et 𝑠 indice deux sont deux racines distinctes de la fonction 𝑓 de 𝑥. Et considérons ce que cela signifie graphiquement.
Nous savons que le graphique d’une fonction du second degré est une parabole, c’est-à-dire une courbe en forme de U ou de n. Et elle est symétrique par rapport à une droite verticale. Le signe du coefficient directeur 𝑎 - le coefficient de 𝑥 au carré - nous indique si la courbe va être en forme de U ou de n. Si 𝑎 est inférieur à zéro, la courbe est en forme de n comme indiqué. Si, au contraire, 𝑎 est supérieur à zéro comme indiqué dans le deuxième graphique, la courbe est en forme de U.
Rappelons également que le nombre de solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro nous indique si la courbe coupe l’axe des 𝑥 et, si oui, en combien de points. S’il y a deux solutions distinctes 𝑠 indice un et 𝑠 indice deux, alors la fonction a deux racines distinctes et la courbe coupe l’axe des 𝑥 deux fois. S’il y a une solution répétée de sorte que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑘 multiplié par 𝑥 moins 𝑠 indice un au carré, où 𝑘 est différent de zéro, alors le graphique coupe l’axe des 𝑥 une seule fois, le touchant en 𝑥 est égal à 𝑠 indice un. Dans ce cas, nous disons que 𝑠 indice un est une racine répétée.
L’ensemble solution 𝑠 n’a alors qu’un seul élément et c’est 𝑠 indice un. Et s’il n’y a pas de solutions réelles à 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro, alors le graphique ne coupe pas l’axe des 𝑥 et nous disons que l’ensemble solution est l’ensemble vide.
Bien, faisons un peu d’espace maintenant nous avons établi que si 𝑓 de 𝑥 est une fonction du second degré dont le graphique coupe l’axe des 𝑥 en deux points, alors l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro a deux solutions réelles. Mais cela ne correspond pas tout à fait à l’affirmation donnée dans la question. En fait, l’énoncé dit le contraire. Relisons-le. Il dit que si 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro a deux solutions, cela signifie-t-il que 𝑓 est une fonction du second degré qui coupe l’axe des 𝑥 en deux points ? En fait, il s’avère qu’il existe d’autres fonctions 𝑓 de 𝑥 qui ne sont pas du second degré, mais pour lesquelles il existe exactement deux solutions pour 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro.
Nous pouvons voir quelques exemples de ceux-ci comme indiqué. Nous savons qu’une parabole a exactement un point tournant. Cependant, nous voyons que bien que chacune des courbes des fonctions représentées coupe l’axe des 𝑥 en deux points, elles ont chacune plus d’un point tournant et ne peuvent donc pas être des fonctions du second degré. Et donc, le fait que l’équation 𝑓 de 𝑥 soit égale à zéro a deux solutions pour une fonction 𝑓 de 𝑥 ne signifie pas nécessairement que 𝑓 de 𝑥 est une fonction du second degré. La réponse est donc non, 𝑓 de 𝑥 n’est pas nécessairement une fonction du second degré.
