Transcription de la vidéo
De combien de façons peut-on former un code à cinq chiffres en utilisant les nombres de un à neuf ? Notez que le code peut comporter plusieurs fois le même chiffre.
Nous n’allons bien sûr pas énumérer tous les codes à cinq chiffres possibles. Premièrement, il y en aura probablement beaucoup. Et deuxièmement, même s’il n’y en avait pas beaucoup, nous ne pourrions pas être sûrs de ne pas en manquer un. Et donc nous allons plutôt utiliser ce que l’on appelle le principe du dénombrement ou principe multiplicatif.
Celui-ci nous dit que pour trouver le nombre total d’issues possibles pour la réunion de deux événements ou plus, il suffit de multiplier les nombres d’issues possibles de chaque événement. Donc pour répondre à cette question, nous devons nous demander quels sont les événements ?
Eh bien, le nombre total d’issues possibles que nous recherchons est le nombre total de codes à cinq chiffres. Nos événements élémentaires indépentants sont donc les nombres que nous choisissons pour chaque chiffre. C’est-à-dire du premier chiffre jusqu’au cinquième chiffre.
Nous allons commencer par examiner le nombre total de façons de choisir le premier chiffre. Nous utilisons les nombres de un à neuf. Il y a donc neuf façons de choisir le premier chiffre. Il y a neuf issues possibles à notre premier événement. Alors, que faire ensuite ? Eh bien, on nous dit que le code peut avoir comporter plusieurs fois le même chiffre. Ainsi, lorsque nous passons au deuxième chiffre, nous pouvons encore choisir les nombres de un à neuf. Cela signifie qu’il y a encore neuf issues possibles pour notre deuxième événement. Nous pouvons choisir neuf nombres différents pour notre deuxième chiffre. De la même manière, il y a neuf façons différentes de choisir le troisième chiffre. N’oubliez pas que les chiffres peuvent se répéter. Il y a donc neuf façons de choisir le quatrième chiffre et encore neuf de choisir le cinquième.
Le principe du dénombrement ou principe multiplicatif nous dit que pour trouver le nombre total d’issues possibles, nous devons les multiplier. C’est donc neuf fois neuf fois neuf fois neuf fois neuf, ou neuf à la puissance cinq. Neuf à la puissance cinq égale 59 049.
Ainsi, il existe 59 049 façons de choisir un code à cinq chiffres en utilisant les chiffres de un à neuf, en supposant que le code puisse comporter plusieurs fois le même chiffre.
