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Vidéo de la leçon : Principe fondamental du dénombrement Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le nombre de toutes les issues possibles dans un univers en utilisant le principe fondamental du dénombrement.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment déterminer le nombre de toutes les issues possibles dans un univers en utilisant le principe fondamental de dénombrement, parfois appelé règle du produit du dénombrement. Commençons par un exemple.

Supposons que nous ayons les lettres A, B et C. De combien de façons différentes pouvons-nous les ordonner ?

Eh bien, nous pourrions utiliser ce qu'on appelle une liste systématique, c'est-à-dire que nous les inscrivons toutes en utilisant une sorte de système. Commençons par une première option assez évidente. Commençons par A-B-C. Ensuite, nous allons garder le A en place, et nous allons échanger les deux autres lettres pour obtenir A-C-B. C'est un ordre différent, et c'est donc la deuxième façon de les ordonner. Il n'y a pas d'autres façons de les ordonner avec A au début, donc nous allons maintenant mettre B au début. Nous pourrions avoir B-A-C. Et si nous maintenons ensuite le B en place et que nous échangeons les deux autres lettres, nous obtenons alors B-C-A. Nous pouvons répéter ce processus en gardant également le C au début. Et puis, nous voyons que nous n'avons plus de façons de les arranger. Et donc, si nous les comptons, nous voyons qu'il y a exactement six façons de les arranger.

Et cela peut être une belle technique. Cependant, il y a quelques problèmes. Tout d'abord, si nous avons beaucoup d'options, disons que nous voulons arranger six ou sept lettres, ce processus peut prendre beaucoup de temps. Et deuxièmement, il serait très facile de manquer quelques options. Voyons donc si nous pouvons trouver un autre moyen de le faire. Envisageons la possibilité d'utiliser un arbre pondéré pour trouver le nombre total d’issues possibles.

Si nous pensons au premier ensemble, nous savons alors qu'il y a trois différents choix possibles. Nous pouvons choisir A, B et C. Maintenant, imaginons que nous avons choisi la première lettre et que nous avons A. La deuxième lettre ne peut plus être que B ou C. Si, toutefois, nous avions choisi la deuxième voie, la deuxième lettre pourrait être A ou C. Et si nous avions choisi la troisième voie ou la troisième branche et que nous avions choisi la lettre C, alors notre deuxième lettre pourrait être A ou B. Ensuite, lorsque nous passons à la troisième lettre, nous voyons que si nous avons déjà choisi un A et un B, alors nous ne pouvons maintenant choisir qu'un C. Et nous pouvons répéter cela en traçant une branche de chacune des six branches précédentes. Alors, comptons le nombre total d’issues et voyons d'où cela vient.

Il y avait trois branches sous notre première lettre. Puis, sous la deuxième lettre, nous avions deux branches provenant de chacune de ces trois premières. Il y a donc trois fois deux branches. Enfin, sous la troisième lettre, il y a une branche qui se détache de chacune des précédentes. Il y a donc un total de trois fois deux fois un, ce qui fait six issues. Et donc, le nombre de façons d’arranger les lettres ici est de trois fois deux fois un, c'est six. Nous multiplions simplement le nombre de façons de choisir la première lettre par le nombre de façons de choisir la deuxième par le nombre de façons de choisir la troisième. Et, en fait, nous pouvons généraliser cela.

Le principe fondamental de dénombrement, parfois appelé la règle du produit du dénombrement, dit que si A et B sont deux évènements indépendants tels que A admet 𝑚 issues et B admet 𝑛 issues, alors le nombre total d’issues distinctes des deux évènements ensemble est le produit de celles-ci ; c'est 𝑚 fois 𝑛. Voyons donc un exemple de l'application de ce principe.

Combien de nombres à trois chiffres distincts pourraient être formés à partir de l'ensemble des chiffres contenant les éléments un, deux, quatre et neuf ?

Rappelez-vous que le principe fondamental de dénombrement, parfois appelé règle du produit du dénombrement, dit que si A est un évènement qui a 𝑚 issues et B un évènement qui a 𝑛 issues, alors le nombre total d’issues de A et B ensemble est le produit de celles-ci. Il s'agit de 𝑚 fois 𝑛. En fait, nous avons ici trois évènements possibles. Nous avons l'évènement où l’on choisit le premier chiffre, le deuxième évènement où l’on choisit le deuxième chiffre et le troisième évènement où l’on choisit le troisième chiffre. Mais le principe du dénombrement est toujours valable, nous devons donc trouver le nombre d’issues que nous avons pour le choix de chaque chiffre et les multiplier ensemble.

Il y a quatre chiffres possibles parmi lesquels nous pouvons choisir. Ce sont un, deux, quatre et neuf. Il est donc clair pour nous qu'il y a quatre façons différentes de choisir le premier chiffre. On nous dit que ce sont des nombres à trois chiffres différents. Réfléchissons donc à la façon dont nous choisissons le deuxième chiffre. Disons, par exemple, que le premier chiffre que nous avons choisi est un. Nous ne pouvons plus l’utiliser. Et donc, il y a trois chiffres différents parmi lesquels on peut choisir. Le nombre de façons de choisir notre deuxième chiffre est donc trois. De même, passons au troisième chiffre. Nous avons déjà choisi deux chiffres sur un ensemble de quatre. Cela signifie donc qu'il ne peut y avoir que deux chiffres parmi lesquels choisir.

Il existe donc quatre façons de choisir le premier chiffre, trois façons de choisir le deuxième et deux façons de choisir le troisième. La règle du produit pour le dénombrement ou le principe de dénombrement nous dit que nous pouvons trouver le nombre total de résultats en multipliant ceux-ci ensemble. Cela fait quatre fois trois fois deux, ce qui est égal à 24. Il y a 24 nombres à trois chiffres différents qui peuvent être formés à partir de l'ensemble des chiffres un, deux, quatre et neuf.

Le menu d'un restaurant est présenté ci-dessous. Combien y a-t-il de façons de choisir un repas à deux plats ?

Pour choisir un repas à deux plats, on va donc choisir une entrée et un plat principal. Ainsi, une des façons de trouver le nombre total de repas est de lister toutes les options possibles. Mais cette méthode peut être assez longue. Nous allons donc plutôt rappeler le principe de dénombrement ou la règle du produit du dénombrement. Selon cette règle, si A est un évènement ayant 𝑚 issues, et B un évènement ayant 𝑛 issues, alors le nombre total d’issues pour les deux évènements ensemble est 𝑚 fois 𝑛. Et c'est pourquoi on l'appelle la règle du produit du dénombrement. On trouve le produit du nombre d’issues.

Nous voyons qu'il y a quatre façons possibles de choisir un hors-d’œuvre, et trois façons possibles de choisir un plat principal. Cela signifie donc que le nombre total de façons de choisir un repas à deux plats est le produit du nombre d’issues. C'est quatre fois trois, ce qui est égal à 12. Il y a 12 façons de choisir un repas à deux plats.

Prenons un autre exemple.

Une entreprise de construction possède trois sites actifs. Il y a 20 façons différentes de conduire du site A au site B. Il y a 16 façons de conduire du site B au site C. De combien de façons peut-on conduire du site A au site C en passant par le site B ?

Imaginons que nous ayons ces trois sites de construction. On nous dit qu'il y a 20 façons de se rendre du site A au site B et ensuite 16 façons de se rendre du site B au site C. Nous devons déterminer le nombre total de façons de se rendre du site A au site B et ensuite au site C. Et pour ce faire, nous allons donc rappeler ce qu'on appelle le principe fondamental de dénombrement. Cela veut dire que si A est un évènement qui a 𝑚 issues et B un autre évènement qui a 𝑛 issues, alors le nombre total d’issues pour A et B combinés est 𝑚 fois 𝑛.

Notre premier évènement consiste à se rendre du site A au site B. Il y a donc 20 façons différentes de faire cela. Il y a 20 résultats. Ensuite, notre deuxième évènement consiste à se rendre du site B au site C, et nous savons qu'il y a 16 résultats. Ainsi, le nombre total de façons de se rendre du site A au site B et ensuite au site C est de 20 fois 16, soit 320. Il y a 320 façons différentes de faire ce trajet.

De combien de façons différentes peut-on choisir une équipe composée d'un homme et d'une femme parmi un groupe de 23 hommes et 14 femmes ?

Ce scénario comporte en fait deux évènements. Le premier consiste à choisir un homme parmi 23 hommes et le second à choisir une femme parmi 14 femmes. Nous allons donc devoir rappeler le principe fondamental du dénombrement. Cela signifie que si A et B sont deux évènements indépendants, avec A ayant 𝑚 issues et B ayant 𝑛 issues, alors il y a un nombre total de 𝑚 fois 𝑛 issues de ces deux évènements ensemble. Ainsi, le nombre total de façons dont nous pouvons choisir une équipe composée d'un homme et d'une femme est 23 fois 14. Nous pouvons utiliser n'importe quelle méthode pour effectuer ce calcul. Utilisons la méthode des colonnes.

Trois fois quatre, c'est 12. Donc, nous mettons deux dans cette colonne et nous retenons un. Ensuite, deux fois quatre font huit et nous ajoutons un pour obtenir neuf. Ensuite, nous allons faire trois fois un. Mais puisque le un est dans la colonne des dizaines, c'est comme si l’on faisait trois fois 10, et donc on ajoute un zéro. Trois fois un, c'est trois et deux fois un, c'est deux. Nous allons additionner ces valeurs. Deux plus zéro est deux, neuf plus trois est 12, donc nous allons retenir un, et deux plus un est trois. Et donc, nous voyons qu'il y a 322 façons de choisir une équipe d'un homme et d'une femme dans un groupe de 23 hommes et 14 femmes.

Nous allons considérer un dernier exemple.

On fait tourner deux roues. La première roue est numérotée de un à cinq, et la deuxième de un à sept. Déterminez le nombre total d’issues possibles.

Pour répondre à cette question, nous allons rappeler le principe fondamental du dénombrement. Celui-ci dit que si A et B sont des évènements indépendants, c'est-à-dire que le résultat de l'un n'affecte pas le résultat de l'autre, et si A admet 𝑚 issues possibles et B admet 𝑛 issues possibles, alors le nombre total d’issues possibles des deux évènements ensemble est 𝑚 fois 𝑛 ; c'est le produit de ces deux issues.

Maintenant, nos deux évènements sont de faire tourner la première roue et la deuxième roue. Nous devons donc considérer le nombre total d’issues pour chaque évènement. La première roue est numérotée de un à cinq, il y a donc cinq scores différents que nous pouvons obtenir lorsque nous faisons tourner cette première roue. Ensuite, la deuxième roue est numérotée de un à sept. Il y a donc sept issues différentes ; il y a sept scores différents que nous pouvons obtenir. La règle du produit du dénombrement ou le principe de dénombrement dit que le nombre total d’issues possibles est le produit de ces deux nombres. C'est cinq fois sept et bien sûr, c'est égal à 35. Et cela signifie que lorsque nous faisons tourner ces deux roues, nous pouvons obtenir un nombre total de 35 issues possibles.

Nous allons maintenant voir les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que le principe fondamental de dénombrement, qu'on appelle parfois la règle du produit du dénombrement, peut nous aider à gagner du temps lorsque nous essayons de trouver un nombre total d’issues de plusieurs évènements. Cela signifie qu'étant donné deux évènements indépendants A et B, en d'autres termes, le résultat de l'un n'affecte pas le résultat de l'autre, où A admet 𝑚 issues et B admet 𝑛 issues, le nombre total d’issues pour ces évènements ensemble est le produit de ces nombres. Il s'agit de 𝑚 fois 𝑛.

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