Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le nombre de toutes les issues possibles dans un univers en utilisant le principe fondamental du dénombrement.
Commençons par apprendre à utiliser un arbre de dénombrement pour déterminer le nombre d’issues possibles dans un univers contenant plusieurs événements. Imaginons que vous souhaitiez acheter un nouveau téléphone ; vous avez deux options pour la taille : le modèle de 5 pouces et le modèle de 6 pouces ; vous avez, de plus, trois options pour la couleur : noir, or ou blanc. Vous souhaitez savoir combien de modèles il existe au total. L’une des façons les plus simples de représenter une situation comme celle-ci consiste à utiliser un arbre de dénombrement. L’arbre de dénombrement ci-dessous illustre les deux options pour la taille du téléphone puis, en dessous de chacune d’elles, les trois options pour la couleur.
On pourrait également représenter ces options avec un arbre où la première option est la couleur et la seconde est la taille, comme indiqué ci-dessous.
Sur les deux représentations, il y a 6 issues différentes au total au bas des arbres, ce qui signifie qu’il existe 6 combinaisons différentes de ces deux événements qui sont le choix de la taille et de la couleur du téléphone. Quelle que soit la caractéristique du téléphone (couleur ou taille) choisie en premier, nous obtenons le même nombre total d’issues. En général, l’ordre des événements dans un arbre de dénombrement ne change pas le nombre total d’issues.
Comment déterminer le nombre d’issues possibles en utilisant un arbre de dénombrement
Pour déterminer le nombre d’issues possibles résultant de plusieurs événements, on peut tracer un arbre de dénombrement en suivant les étapes ci-dessous :
- Choisissez l’ordre des événements. Bien que l’ordre des événements ne change pas le nombre d’issues, il peut exister un ordre chronologique naturel dans certains cas.
- Tracez une branche pour chaque issue du premier événement en partant d’un point isolé en haut.
- En partant de chaque issue du premier événement, tracez une branche pour chaque issue possible du deuxième événement en tenant compte de l’issue du premier événement.
- Continuez à tracer les branches de l’arbre vers le bas jusqu’à ce que tous les événements soient présents.
- Comptez le nombre de branches en bas de l’arbre.
Dans le premier exemple, nous allons tracer un arbre de dénombrement pour déterminer le nombre d’issues possibles de deux événements.
Exemple 1: Utiliser un arbre de dénombrement pour déterminer le nombre d’issues possibles
Clovis, Francesca et Gabrielle jouent à un jeu où l’un d’eux doit être un gendarme et un autre doit être un voleur. Ils écrivent chacun leur nom sur un morceau de papier et le placent dans un bol. S’ils tirent deux noms au hasard, que le premier est un gendarme et le second un voleur, combien de possibilités y a-t-il ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer le nombre d’issues possibles de deux événements différents. On rappelle que l’on peut utiliser un arbre de dénombrement pour compter le nombre total d’issues possibles lorsqu’il y a plusieurs événements. Dans ce scénario, les deux événements sont la sélection d’un gendarme et la sélection d’un voleur. Comme ces sélections sont réalisées l’une après l’autre, la sélection du gendarme doit être le premier événement.
Pour tracer un arbre de dénombrement, on commence par dessiner une branche pour chaque issue possible du premier événement. On sélectionne d’abord le gendarme parmi Clovis, Francesca et Gabrielle de manière à ce que ces trois personnes représentent les trois issues différentes du premier événement. Par conséquent, l’arbre est le suivant pour le premier événement.
On peut maintenant le compléter en traçant les branches correspondant au deuxième événement, qui est la sélection d’un voleur. Puisqu’un gendarme ne peut pas être un voleur, chaque issue du premier événement élimine ce nom de la liste des voleurs possibles. Par exemple, si Clovis est sélectionné pour être le gendarme, uniquement Francesca ou Gabrielle peuvent être sélectionnées pour être le voleur. Pour compléter l’arbre, on dessine une branche pour chaque voleur possible correspondant au gendarme sélectionné.
Le nombre total d’issues est égal au nombre de branches au bas de l’arbre de dénombrement. On peut voir qu’il y a six branches au bas de l’arbre, ce qui nous indique qu’il y a six issues différentes pour la sélection d’un gendarme et d’un voleur.
Par conséquent, il y a 6 possibilités différentes de choisir deux noms au hasard de manière à ce que le premier soit un gendarme et le second soit un voleur.
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé le nombre d’issues possibles de deux événements en utilisant un arbre de dénombrement. Bien que dessiner un arbre soit utile pour visualiser les événements, cela n’est pas toujours pratique lorsque le nombre d’issues est important. Par exemple, il serait trop long de dessiner un arbre pour déterminer le nombre de tenues possibles qui peuvent être faites avec 5 hauts, 5 jupes et 5 paires de chaussures. Le principe fondamental du dénombrement nous donne une méthode plus efficace dans ces situations.
Si nous analysons ce que nous faisons lorsque nous construisons un arbre de dénombrement, nous remarquons rapidement comment nous pouvons généraliser cela pour pouvoir travailler avec un plus grand nombre d’options. Pour l’exemple du téléphone, nous avons commencé par considérer l’un des choix, par exemple la taille du téléphone. Pour la taille, il y avait deux options : 5 pouces et 6 pouces. Pour chacune de ces deux options, on peut choisir l’une des trois couleurs : noir, or et blanc. On peut donc déterminer le nombre total d’issues des deux événements en multipliant le nombre d’issues de chaque événement, ce qui conduit à . Cette méthode pour déterminer le nombre de possibilités ou d’issues est appelée le principe fondamental du dénombrement ou le principe multiplicatif.
Théorème : Principe fondamental du dénombrement pour deux événements
Pour deux événements indépendants et tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est et le nombre d’issues possibles de l’événement est , le nombre total d’issues distinctes possibles de ces deux événements réunis est le produit .
Deux événements sont dits indépendants quand l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement.
Pour comprendre quand deux événements sont indépendants, revenons à notre exemple de téléphone. Nous pouvons voir sur le premier arbre de dénombrement que quelle que soit la taille du téléphone, il y a 3 couleurs différentes disponibles. En d’autres termes, l’issue du premier événement, qui est la sélection de la taille, ne change pas le nombre d’issues du deuxième événement, qui est la sélection de la couleur. Cela nous indique que les deux événements sont indépendants et que l’on peut donc appliquer le principe fondamental du dénombrement pour déterminer le nombre total d’événements possibles. Puisqu’il y a 2 issues possibles pour le premier événement et 3 issues possibles pour le second événement, le nombre total d’issues possibles des deux événements est défini par , comme attendu.
Changeons légèrement le contexte en supposant maintenant que les téléphones roses soient exclusivement disponibles pour les modèles de 6 pouces, ce qui donne l’arbre de dénombrement ci-dessous.
On peut voir qu’il y a 3 couleurs disponibles si on choisit d’acheter un téléphone de 5 pouces alors que 4 couleurs sont disponibles si on choisit d’acheter un téléphone de 6 pouces. Cela signifie qu’une issue particulière du premier événement, la taille du téléphone, modifie le nombre d’issues possibles du deuxième événement, la couleur du téléphone. Par conséquent, ces deux événements ne sont pas indépendants si on prend en compte le modèle exclusif rose de 6 pouces. Dans de tels cas, on ne peut pas utiliser le principe fondamental du dénombrement pour déterminer le nombre d’issues possibles. On peut cependant toujours utiliser un arbre de dénombrement pour le calculer. Sur l’arbre de dénombrement ci-dessus, on peut voir qu’il y a 7 branches en bas de l’arbre, ce qui nous indique qu’il y a 7 modèles différents de téléphone.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le nombre d’issues possibles de deux événements indépendants en utilisant le principe fondamental du dénombrement.
Exemple 2: Appliquer le principe fondamental du dénombrement
Un café propose un choix de 20 plats et de 9 boissons. De combien de façons différentes une personne peut-elle choisir un plat et une boisson ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer le nombre de façons différentes de choisir un plat et une boisson. On peut considérer le choix d’un plat et d’une boisson comme deux événements distincts. On recherche alors le nombre d’issues possibles dans un univers contenant ces deux événements. On rappelle que le principe fondamental du dénombrement stipule que le nombre d’issues possibles pour deux événements indépendants est égal au produit des nombres d’issues pour chaque événement.
Avant de pouvoir appliquer le principe fondamental du dénombrement, nous devons vérifier que les deux événements sont indépendants. On sait que deux événements sont indépendants lorsque l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement. On peut voir ici que quel que soit le plat choisi, il y a toujours 9 boissons qui peuvent être sélectionnées. En d’autres termes, l’issue du premier événement, choisir un plat, ne change pas le nombre d’issues possibles du deuxième événement, choisir une boisson. Par conséquent, les deux événements sont indépendants.
Comme nous avons montré que les deux événements sont indépendants, nous pouvons calculer le nombre total d’issues possibles en utilisant le principe fondamental du dénombrement. Les nombres d’issues des deux événements sont respectivement 20 et 9. Cela signifie que le nombre total d’issues possibles des deux événements est
Par conséquent, une personne peut choisir un plat et une boisson de 180 façons différentes.
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé le nombre d’issues possibles de deux événements en utilisant le principe fondamental du dénombrement. Dans ce cas, il est évident que dessiner un arbre de dénombrement pour 20 plats et 9 boissons prendrait trop de temps. Le principe fondamental du dénombrement est une méthode efficace pour de tels scénarios de dénombrement.
Nous pouvons également utiliser le principe fondamental du dénombrement pour déterminer le nombre d’issues possibles de plus de deux événements indépendants. S’il y a plus de deux événements, on dit que les événements sont indépendants si tous les événements sont indépendants entre eux. Pour cette raison, nous utilisons parfois la formulation indépendants deux à deux lorsque plus de deux événements sont impliqués.
Théorème : Principe fondamental du dénombrement pour plus de deux événements
Soient des événements indépendants deux à deux tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est pour tout . Le nombre total d’issues possibles distinctes de ces événements réunis est alors égal au produit .
Ici, un ensemble d’événements est dit indépendant lorsque tous les événements sont deux à deux indépendants.
En résumé, le principe fondamental du dénombrement nous indique que le nombre total d’issues possibles dans un univers contenant plusieurs événements est défini par le produit des nombres d’issues de chaque événement à condition que les événements soient indépendants deux à deux. On peut vérifier si les événements sont indépendants deux à deux en déterminant si l’issue d’un événement change le nombre d’issues possibles de tout autre événement.
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer le nombre d’issues possibles dans un univers à trois événements en utilisant le principe fondamental du dénombrement.
Exemple 3: Appliquer le principe fondamental du dénombrement
Un restaurant sert 2 types de tartes, 4 types de salades et 3 types de boissons. Combien de repas différents le restaurant peut-il proposer si un repas comprend une tarte, une salade et une boisson ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer le nombre de repas différents contenant une tarte, une salade et une boisson. On peut considérer le choix d’une tarte, d’une salade et d’une boisson comme trois événements distincts et on recherche alors le nombre d’issues possibles dans un univers contenant trois événements. On rappelle que le principe fondamental du dénombrement stipule que le nombre d’issues possibles de plusieurs événements est égal au produit des nombres d’issues de chaque événement à condition que les événements soient indépendants deux à deux.
On peut vérifier si les événements sont indépendants deux à deux en déterminant si l’issue d’un événement change le nombre d’issues possibles de tout autre événement. On voit alors que choisir un type de tarte ne change pas le nombre de choix possibles pour les autres articles, qui sont une salade et une boisson. Il en est de même pour le choix d’une salade ou d’une boisson. Cela nous indique que les trois événements sont indépendants deux à deux.
Comme nous avons montré que les événements sont indépendants deux à deux, nous pouvons déterminer le nombre total d’issues possibles en utilisant le principe fondamental du dénombrement. Les nombres d’issues des trois événements sont respectivement 2, 4 et 3. Cela signifie que le nombre total d’issues possibles des trois événements est
Par conséquent, ce restaurant a 24 possibilités de repas comprenant une tarte, une salade et une boisson.
Nous pouvons également utiliser le principe fondamental du dénombrement, ou principe multiplicatif, pour résoudre des problèmes de dénombrement avec remise ; ces problèmes sont des problèmes concrets où nous devons déterminer le nombre de façons différentes de sélectionner un objet fois dans un ensemble, sachant que l’objet sélectionné est à chaque fois remis avant la sélection suivante. Un problème de dénombrement avec remise peut être considéré comme la recherche du nombre d’issues possibles dans un univers contenant événements indépendants deux à deux, où tous les événements ont le même nombre d’issues.
Si l’ensemble a issues différentes, chacun des événements possède issues. Appliquer le principe fondamental du dénombrement permet alors de calculer que le nombre total d’issues possibles dans ce scénario est
Théorème : Dénombrement avec remise
Le nombre de façons différentes de sélectionner un objet avec remise fois dans un ensemble de objets différents est .
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème de dénombrement avec remise.
Exemple 4: Appliquer le principe fondamental du dénombrement avec remise
De combien de façons peut-on former un code à 5 chiffres en utilisant les chiffres de 1 à 9 ?
Notez que le code peut avoir des chiffres identiques.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver le nombre de codes différents à 5 chiffres dans un ensemble de 9 chiffres distincts, où la répétition des chiffres est autorisée. On peut penser à ce problème comme choisir 5 fois un chiffre dans un ensemble de 9 chiffres différents, où chaque chiffre sélectionné est remis avant la sélection suivante.
On rappelle que le nombre de façons différentes de sélectionner un objet avec remise fois dans un ensemble de objets est . On peut substituer et pour obtenir
Par conséquent, il y a 59 049 façons différentes de former un code à 5 chiffres à partir des chiffres 1 à 9, sachant que des chiffres peuvent être identiques.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le nombre d’issues différentes dans un univers composé de deux événements distincts avec remise.
Exemple 5: Appliquer le principe fondamental du dénombrement avec remise
Utilisez le principe fondamental du dénombrement pour déterminer le nombre total d’issues possibles pour le choix d’un mot de passe qui commence par trois lettres suivies de trois chiffres de 1 à 7 (avec la possibilité de répéter les caractères). Supposez que le mot de passe ne peut contenir que des lettres minuscules.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer le nombre de mots de passe différents commençant par trois lettres minuscules suivies de trois chiffres de 1 à 7. On peut considérer la sélection des trois premières lettres et des trois derniers chiffres comme deux événements distincts. On recherche alors le nombre d’issues possibles dans un univers contenant deux événements. On rappelle que le principe fondamental du dénombrement stipule que le nombre d’issues possibles de deux événements indépendants est égal au produit des nombres d’issues de chaque événement.
Deux événements sont indépendants lorsque l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement. Nous pouvons voir qu’aucun choix spécifique des trois premières lettres n’influence la sélection des trois derniers chiffres du mot de passe. Par conséquent, les deux événements sont indépendants, ce qui signifie que nous pouvons déterminer le nombre total d’issues possibles en utilisant le principe fondamental du dénombrement.
Déterminons donc le nombre d’issues possibles de chacun des événements, en commençant par la sélection des trois premières lettres. Pour choisir les trois premières lettres, on sélectionne trois fois une lettre dans un ensemble de 26 lettres. C’est un problème de dénombrement avec remise, c’est-à-dire que l’objet sélectionné est remis à chaque fois avant la sélection de l’objet suivant. On rappelle que le nombre de façons différentes de sélectionner un objet avec remise fois dans un ensemble de objets différents est . Substituer et nous donne
Il y a donc 17 576 façons différentes de choisir les trois premières lettres.
Déterminons ensuite le nombre de façons de sélectionner les trois derniers chiffres de 1 à 7. On peut substituer et dans la formule d’un problème de dénombrement avec remise pour obtenir
Donc, il y a 343 façons différentes de sélectionner les trois derniers chiffres.
On peut enfin appliquer le principe fondamental du dénombrement pour calculer le nombre total de mots de passe :
Par conséquent, il existe 6 028 568 mots de passe différents commençant par trois lettres minuscules suivies de trois chiffres de 1 à 7.
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Lorsque le nombre d’issues est suffisamment faible pour être compté à la main, on peut déterminer le nombre d’issues possibles résultant de plusieurs événements en utilisant un arbre de dénombrement en suivant les étapes ci-dessous :
- Choisissez l’ordre des événements. Bien que l’ordre des événements ne change pas le nombre d’issues, il peut exister un ordre chronologique naturel dans certains cas.
- Tracez une branche pour chaque issue du premier événement en partant d’un point unique en haut.
- En partant de chaque issue du premier événement, tracez une branche pour chaque issue possible du deuxième événement en prenant en compte l’issue du premier événement.
- Continuez à tracer les branches de l’arbre vers le bas jusqu’à ce que tous les événements soient présents.
- Comptez le nombre de branches en bas de l’arbre.
- Pour deux événements indépendants et tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est et le nombre d’issues possibles de l’événement est , le nombre total d’issues possibles distinctes de ces deux événements réunis est le produit .
On dit que deux événements sont indépendants quand l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement. - Soient des événements indépendants deux à deux tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est pour tout . Le nombre total d’issues possibles distinctes de ces événements réunis est alors le produit .
Un ensemble d’événements sont indépendants deux à deux quand tous les événements sont indépendants entre eux. - Le nombre de façons différentes de sélectionner un objet avec remise fois dans un ensemble de objets différents est .
