Transcription de la vidéo
Une population, après 𝑡 jours, est donnée par 𝑓 de 𝑡 égale 11 𝑡 au carré plus 35923. Calculez le taux de variation de la population lorsque 𝑡=12.
Dans cette question, on nous demande de déterminer le taux de variation d’une population. Puis, on nous demande de le calculer pour 𝑡 égale 12. Il s’agit donc de la dérivée en 𝑡 égale 12 de la fonction 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡.
Nous savons par définition que 𝑓 prime de 𝑎 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, le tout divisé par ℎ. Dans cette question, nous devons calculer 𝑓 prime de 12 comme indiqué. Commençons par déterminer une expression de 𝑓 de 12 plus ℎ en utilisant notre expression de 𝑓 de 𝑡. Nous remplaçons 𝑡 par 12 plus ℎ et nous obtenons 𝑓 de 12 plus ℎ égale 11 multiplié par 12 plus ℎ au carré plus 35923. En développant 12 plus ℎ au carré, nous obtenons 144 plus 24ℎ plus ℎ au carré. Nous multiplions cela par 11 et nous avons alors 𝑓 de 12 plus ℎ égale 1584 plus 264ℎ plus 11 ℎ au carré plus 35923.
Nous pouvons maintenant déterminer une expression de 𝑓 de 12. Ceci est égal à 11 fois 12 au carré plus 35923. 11 fois 12 au carré est égal à 1584. Nous pouvons maintenant remplacer nos deux résultats dans notre expression de 𝑓 prime de 12. Les deux constantes se simplifient au numérateur. Nous obtenons alors la limite quand ℎ tend vers zéro de 264ℎ plus 11 ℎ au carré, le tout divisé par ℎ. ℎ tend vers zéro, donc ℎ ne sera jamais égal à zéro et nous pouvons par conséquent diviser par ℎ au numérateur et au dénominateur. Nous obtenons la limite quand ℎ tend vers zéro de 264 plus 11ℎ.
Nous avons maintenant un polynôme en fonction de ℎ, donc nous pouvons calculer notre limite par substitution directe, ce qui nous donne 𝑓 prime de 12 égale 264. Nous pouvons donc conclure que le taux de variation de la population est égal à 264 quand 𝑡 égale 12.
