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Laquelle des courbes suivantes est représentative de 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins un carré plus deux ? Graphes (a), (b), (c) et (d).
Dans cette question, on nous donne une fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de déterminer lequel des quatre graphes donnés représente le graphe de cette fonction. Il y a plusieurs façons de répondre à cette question et nous allons en voir deux. Commençons par déterminer des informations sur le graphe de 𝑓 de 𝑥 à partir de sa définition.
Nous pouvons commencer par noter que 𝑓 de 𝑥 est une fonction du second degré, nous savons donc que la forme de sa courbe sera une parabole. Nous pouvons également noter que si nous développons son expression, nous constatons que le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, donc la parabole s’ouvre vers le bas. Cela nous permet d’éliminer les graphes (a) et (d) car ils s’ouvrent vers le haut.
Nous pouvons déterminer laquelle des courbes (b) ou (c) est correcte en trouvant les coordonnées d’un point sur la courbe. Nous allons regarder les points d’abscisse 𝑥 égal à zéro, puisque nous pouvons voir que ces deux graphes ont des ordonnées à l’origine différentes. Nous remplaçons 𝑥 par zéro dans la fonction 𝑓 de 𝑥 pour obtenir 𝑓 de zéro égale moins zéro moins un carré plus deux. Si nous évaluons cette expression, alors nous obtenons un. Cela signifie que l’ordonnée à l’origine de la courbe est égale à un. On peut donc dire que le graphe (c) n’est pas le bon puisque son ordonnée à l’origine est en moins trois. Par conséquent, le bon graphe est le graphe (b).
Cette méthode nécessite que nous ayons des options à éliminer afin d’identifier le bon graphe. Nous pouvons également dessiner ce graphe en construisant un tableau de valeurs. Nous avons déjà calculé que 𝑓 évaluée en zéro est égal à un. Si nous évaluons 𝑓 en un en remplaçant 𝑥 par un dans la fonction, nous obtenons deux. De même, lorsque 𝑥 est égal à deux, nous pouvons calculer que 𝑓 de 𝑥 est égale à un.
Nous pouvons suivre ce même processus pour remplir le reste des valeurs de ce tableau. Cela nous donne les coordonnées de cinq points sur le graphe. Nous pouvons alors remarquer quelque chose d’intéressant dans la table de valeurs que nous avons construite : les valeurs de la fonction lorsque 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à deux sont les mêmes.
Nous pouvons alors rappeler que toutes les paraboles ont une droite de symétrie en un point appelé leur sommet. Nous pouvons noter que la droite de symétrie sera à mi-chemin entre ces deux points de même ordonnée. C’est lorsque 𝑥 est égal à un. Nous pouvons alors utiliser cela pour représenter la parabole passant par ces points avec le sommet au point un, deux. Nous pouvons alors voir que cela correspond au graphe (b).
