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Déterminez, au centième près, la distance entre le point de coordonnées deux, huit, trois et le plan d’équation 𝑥 moins deux plus deux fois 𝑦 moins un plus cinq fois 𝑧 moins quatre égale zéro.
Dans cette question, nous voulons déterminer la distance entre un point donné et un plan à deux décimales près. Nous pouvons commencer par rappeler que lorsque nous parlons de la distance entre un point et un plan, nous parlons de la distance perpendiculaire car il s’agit de la distance la plus courte entre les deux objets. Nous pouvons trouver la distance entre le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et le plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro en utilisant la formule suivante : la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.
On nous donne les coordonnées du point dans la question. Ces coordonnées nous indiquent les valeurs de 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑧 indice un. Cependant, on ne nous donne pas l’équation du plan sous la forme correcte. Nous pouvons réécrire cette équation sous la forme correcte en développant et en simplifiant. Premièrement, nous distribuons chaque facteur sur les parenthèses pour obtenir 𝑥 moins deux plus deux 𝑦 moins deux plus cinq 𝑧 moins 20 égale zéro. Deuxièmement, nous évaluons les termes constants dans l’équation pour obtenir 𝑥 plus deux 𝑦 plus cinq 𝑧 moins 24 égale zéro.
Maintenant, l’équation du plan est sous la forme correcte. Ainsi, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 nous indiqueront les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐, et la constante nous indiquera la valeur de 𝑑. Nous avons 𝑎 égal à un, 𝑏 égal à deux, 𝑐 égal à cinq et 𝑑 égal à moins 24.
Nous pouvons maintenant trouver la distance entre le point et le plan en substituant ces valeurs dans la formule et en évaluant. La distance est donc la valeur absolue d’un fois deux plus deux fois huit plus cinq fois trois moins 24 sur toute la racine carrée de un au carré plus deux au carré plus cinq au carré. L’évaluation de cette expression nous donne neuf divisé par la racine carrée de 30. Nous pouvons évaluer ce radical en utilisant une calculatrice pour obtenir 1,643, etc. L’arrondi nous donne que la distance entre le point et le plan est de 1,64 au centième près.
