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Considérez la matrice 𝑋 égale moins trois, moins trois, cinq, moins six et 𝑌 égale un, trois, six, moins six. Que vaut 𝑋 au carré moins 𝑌 au carré ?
Bien, pour résoudre ce problème, nous allons tout d’abord évaluer 𝑋 au carré et 𝑌 au carré séparément. Si nous commençons par 𝑋 au carré, cela est égal à la matrice moins trois, moins trois, cinq, moins six multipliée par la matrice moins trois, moins trois, cinq, moins six. Nous savons que nous pouvons évaluer ce produit. En effet, la multiplication des matrices n’est possible que lorsque le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Puisque les deux matrices sont d’ordre deux deux, nous pouvons multiplier l’une par l’autre.
Ainsi, pour déterminer le premier élément de notre matrice, nous allons multiplier les éléments correspondants de la première ligne de la première matrice par les éléments correspondants de la première colonne de la seconde matrice. Tout d’abord, nous allons avoir moins trois multiplié par moins trois. Puis, nous allons additionner à cela le produit du deuxième élément de la première ligne de la première matrice et du deuxième élément de la première colonne de la seconde matrice. Ainsi, nous aurons moins trois multiplié par cinq.
Passons ensuite à l’élément suivant. Il s’agit donc du deuxième élément de la première ligne de notre matrice de réponses. Puis, nous avons ici le premier élément de la première ligne de la première matrice multiplié par le premier élément de la seconde colonne de la seconde matrice. Soit, moins trois multiplié par moins trois. Puis, nous allons additionner ceci à moins trois multiplié par moins six. Bien. Voilà donc la première ligne de notre matrice de réponses.
Nous avons donc cinq fois moins trois. Voici la ligne inférieure de notre matrice de réponses. En effet, ce que nous avons ici est le premier élément de la seconde ligne de la première matrice multiplié par le premier élément de la première colonne de la seconde matrice. Puis, nous ajoutons à cela, moins six multiplié par cinq. Pour le dernier élément, nous avons cinq fois moins trois plus moins six fois moins six.
Bien. Il ne nous reste plus qu’à simplifier chacun de nos éléments. Ainsi, notre premier élément sera moins six. En effet, nous avions neuf plus moins 15. Additionner un nombre négatif revient à soustraire un nombre positif. Ainsi, nous aurons moins six. Puis, si nous continuons avec les autres, nous avons neuf plus 18, soit 27. Ensuite, nous avons moins 15 plus moins 30, qui est égal à moins 45. Pour finir, nous avons moins 15 plus 36, qui est égal à 21. Ainsi, 𝑋 au carré est égal à la matrice moins six, 27, moins 45 et 21.
Bien. Alors maintenant, passons à 𝑌 au carré. 𝑌 au carré, est égal à la matrice un, trois, six, moins six multipliée par la matrice un, trois, six, moins six. Ainsi, si nous utilisons la même méthode que la dernière fois, le premier élément sera un multiplié par un plus trois multiplié par six. Ensuite, nous passons à l’élément suivant, qui est un multiplié par trois plus trois multiplié par moins six. Puis, pour la seconde ligne, nous avons six multiplié par un plus moins six multiplié par six. Ensuite, pour le dernier élément, nous avons six multiplié par trois plus moins six multiplié par moins six.
Puis, on simplifie chaque élément. Ainsi, le premier sera 19 car nous avons un plus 18. Ensuite, nous avons trois plus moins 18, ce qui est égal à moins 15. Ensuite, nous avons six plus moins 36, ce qui est égal à moins 30. Pour finir, nous avons 18 plus 36, soit 54. Ainsi, nous pouvons dire que la matrice 𝑌 au carré est égale à 19, moins 15, moins 30 et 54.
Bien. Maintenant, il ne nous reste plus qu’à soustraire ceci de 𝑋 au carré. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons la matrice moins six, 27, moins 45, 21 moins la matrice 19, moins 15, moins 30, 54. Pour ce faire, on soustrait les éléments correspondants. Nous allons donc avoir moins six moins 19 et ensuite 27 moins moins 15, puis moins 45 moins moins 30 et enfin 21 moins 54. Cela va nous donner notre réponse finale, qui est la matrice moins 25, 42, moins 15 et moins 33.
Il faut faire attention en évaluant l’élément inférieur gauche de la matrice. Nous avons moins 45 moins moins 30. Nous savons que, soustraire un nombre négatif revient à additionner un nombre positif. Ainsi, cela donne moins 45 plus 30, ce qui nous donne moins 15.
