Video Transcript
Complétez ce qui suit: 𝐴 plus moins 𝐴 transposée est égale à.
La première chose que nous remarquons est que nous avons plus moins 𝐴. Maintenant, même si nous appliquons ces opérations sur des matrices, le plus et le moins interagissent toujours de la même manière que si nous manipulions de simples nombres. Nous pouvons donc dire que 𝐴 plus moins 𝐴 transposée est égale à 𝐴 moins 𝐴 transposée. Ensuite, nous pouvons traiter le 𝐴 moins 𝐴. Nous soustrayons une matrice d’elle-même. Maintenant, quel que soit l’ordre de 𝐴 ou les valeurs des éléments de 𝐴, lorsque nous soustrayons cette matrice 𝐴 d’elle-même, nous obtiendrons toujours la matrice nulle.
Par exemple, considérons une matrice deux par deux où les entrées sont 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑. Puis, nous soustrayons cette matrice d’elle-même. Nous pouvons donc simplifier cela en soustrayant chaque élément de lui-même, ce qui nous laissera une matrice nulle. Ainsi, pour revenir à notre question, nous avons que 𝐴 moins 𝐴 est juste la matrice nulle. Puisque nous ne connaissons pas l’ordre de 𝐴, nous ne connaissons pas l’ordre de la matrice nulle. Cependant, cela n’a pas vraiment d’importance, puisqu’il existe une matrice nulle pour chaque dimension.
Maintenant, tout ce qui reste à faire est de trouver la transposée de cette matrice nulle. Dans la transposée d’une matrice, toutes les lignes de l’ancienne matrice deviennent les colonnes de la nouvelle matrice. Puisque toutes les entrées de la matrice nulle sont nulles, cela signifie que même lorsque nous changeons les lignes et les colonnes de la matrice nulle, celle-ci ne contiendra que des zéros. La seule chose qui va changer est la dimension de cette matrice. Cependant, comme indiqué précédemment, il existe une matrice nulle pour chaque dimension. Nous pouvons donc dire que la transposée de la matrice nulle est juste une autre matrice nulle. Ici, nous avons atteint notre solution, qui est que la transposée de 𝐴 plus moins 𝐴 est égale à la matrice nulle.
