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Soit le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que 𝐴𝐵 égale 25 et 𝐵𝐶 égale 36. Tracez les segments 𝐵𝐻 et 𝐴𝑂 d’un même côté du plan du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 de sorte que 𝐵𝐻 et 𝐴𝑂 sont perpendiculaires au plan et mesurent tous les deux 27. Quelle est l’aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻 ?
Étant donné que ces deux segments sont perpendiculaires au plan de notre rectangle, nous savons que nous allons travailler en trois dimensions. Si le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 appartient à ce plan 𝑥𝑦, alors nous pouvons tracer les segments 𝐵𝐻 et 𝐴𝑂 vers le haut, dans la direction 𝑧 perpendiculaire au plan 𝑥𝑦. Ces deux segments perpendiculaires au plan mesurent tous les deux 27. 𝐴𝐵 mesure 25 et 𝐵𝐶 mesure 36. Soulignons ici qu’il existe de nombreuses façons de dessiner cette figure. Le but de cette figure est surtout de pouvoir visualiser nos formes géométriques.
Avant de calculer l’aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻, voyons où cela se situe sur notre figure. 𝐶𝐷𝑂𝐻 est le rectangle représenté en rose sur la figure. Pour trouver l’aire du rectangle 𝐶𝐷𝑂𝐻, nous devons identifier sa longueur et sa largeur. La longueur est le segment 𝐶𝐷, qui fait aussi partie du rectangle d’origine 𝐴𝐵𝐶𝐷. Le segment 𝐶𝐷 est parallèle au segment 𝐴𝐵 et de même longueur, donc il mesure 25. Quant à la largeur, il s’agit de la distance entre 𝐶 et 𝐻. Nous savons que 𝐵𝐻 est perpendiculaire à 𝐵𝐶, donc nous pouvons utiliser nos connaissances sur les triangles rectangles pour déterminer la largeur de 𝐶𝐷𝑂𝐻.
𝐵𝐻 égale 27 et 𝐵𝐶 égale 36. Nous allons utiliser le théorème de Pythagore, d’après lequel 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, et 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des deux autres côtés. Ainsi, notre longueur manquante, que nous notons 𝑤, est égale à 27 au carré plus 36 au carré, soit 2025. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons 𝑤 égale 45. Nous complétons notre figure d’origine avec cette information et nous constatons que le rectangle 𝐶𝐷𝑂𝐻 a une longueur de 25 et une largeur de 45.
Pour déterminer l’aire d’un rectangle, il suffit de multiplier sa longueur par sa largeur. Dans le cas de notre rectangle, cela nous donne une aire de 1125. On ne nous a pas donné d’unité de longueur, donc nous allons simplement dire qu’il s’agit d’unités au carré. L’aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻 est égale à 1125 unités au carré.
