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Vidéo de la leçon : Application du théorème de Pythagore aux pyramides et aux cônes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les éléments des pyramides et des cônes et à utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer leurs dimensions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les éléments des pyramides et des cônes et à utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer leurs dimensions.

Rappelons que le théorème de Pythagore stipule que le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Le théorème de Pythagore peut être appliqué à des problèmes en trois dimensions de plusieurs façons. Une méthode consiste à utiliser des triangles rectangles appartenant aux faces de l’objet en trois dimensions ou à prendre des coupes en deux dimensions à travers son intérieur. Pour identifier de tels triangles, nous devons être familiers avec les éléments et les propriétés de certains objets tridimensionnels courants, tels que les pyramides et les cônes, par exemple, la pyramide régulière à base carrée.

La hauteur de la pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet de la pyramide et sa base. Et la droite représentant la hauteur est donc perpendiculaire à toute droite contenue dans la base de la pyramide qui la coupe. L’arête latérale de la pyramide est l’arête reliant son sommet à l’un de ses autres sommets qui constituent la base. La hauteur latérale d’une pyramide est la distance perpendiculaire entre l’un des côtés de la base et le sommet de la pyramide.

Un cône circulaire droit est semblable à une pyramide, mais sa base est circulaire. Les longueurs principales dans un cône sont la génératrice, la hauteur et le rayon de la base du cône. Ces trois longueurs forment un triangle rectangle, comme indiqué sur le schéma.

Dans cette vidéo, nous verrons des exemples qui montrent comment nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore aux angles droits dans les figures en 3D, y compris les pyramides et les cônes, pour calculer des longueurs inconnues. Regardons un exemple de déterminer une longueur inconnue dans un cube.

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube dont la longueur d’arête est de six racine de deux centimètres et que 𝑋 est le milieu du segment 𝐴𝐵, déterminez l’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸.

L’aire d’un rectangle est égale au produit de ses côtés. Dans ce cas, les longueurs des côtés du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸 sont 𝐷𝑋 et 𝑋𝑌. On nous indique dans la question que la longueur de l’arête du cube est de six racine de deux centimètres. La droite 𝑋𝑌 est parallèle à une arête du cube et s’étend entre deux autres arêtes. Par conséquent, elle doit également être de longueur six racine de deux.

Pour déterminer la longueur de 𝐷𝑋, considérons la vue du dessus de la base du cube. Le triangle coloré est un triangle rectangle, puisque les angles internes de la face d’un cube, comme 𝐷𝐴𝑋, sont de 90 degrés. Le côté 𝐴𝐷 est une arête du cube, donc sa longueur est de six racine de deux. Puisque 𝑋 est le milieu d’une arête du cube, le côté 𝐴𝑋 est la moitié de la longueur de l’arête, soit trois racine de deux.

𝐷𝑋 est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Ainsi, la longueur du côté 𝐷𝑋 peut donc être déterminée à partir du théorème de Pythagore, qui stipule que le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, 𝑐, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝑎 et 𝑏. Dans ce cas, 𝐷𝑋 au carré est donc égal à 𝐴𝐷 au carré plus 𝐴𝑋 au carré. 𝐴𝐷 est égal à six racine de deux et 𝐴𝑋 est égal à trois racine de deux. Donc 𝐷𝑋 au carré est égal à six racine de deux le tout au carré plus trois racine de deux le tout au carré. Six racine carrée de deux égale 36 fois deux, soit 72. Et trois racine carrée de deux le tout au carré égale neuf fois deux, soit 18. Et en les additionnant, nous obtenons 90.

Par conséquent, la longueur de 𝐷𝑋 est égale à la racine carrée de 90, qui peut être simplifiée à trois racine carrée de 10. L’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸 est donc égale à 𝐷𝑋 fois 𝑋𝑌, soit trois racine de 10 fois six racine de deux. En rassemblant les racines, nous obtenons trois fois six, soit 18, et la racine carrée de 10 fois deux, soit la racine de 20. Et cela se simplifie pour nous donner l’aire de 𝐷𝑋𝑌𝐸, 36 racine de cinq, et l’unité est le centimètre carré.

Voyons maintenant un exemple où nous calculons la hauteur d’une pyramide dont la base est un triangle équilatéral.

𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide régulière dont la base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral de côté de 32 centimètres. Si la longueur de son arête latérale est de 88 centimètres, déterminez la hauteur de la pyramide au centième près.

Commençons par tracer la pyramide. La pyramide a une base triangulaire équilatérale. Ainsi, les trois côtés 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶 ont la même longueur de 32 centimètres. C’est aussi une pyramide régulière, donc les arêtes latérales ont également la même longueur de 88 centimètres.

Par la symétrie des côtés, la hauteur de la pyramide est donnée par la longueur de 𝑀𝑋, où 𝑋 est le centre de gravité de la base triangulaire. Cette hauteur est verticale. Elle est donc perpendiculaire à tout segment contenue dans la base du triangle, tel que le segment 𝐴𝑋. Le triangle 𝐴𝑀𝑋 est donc un triangle rectangle. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse de ce triangle rectangle, 𝐴𝑀, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝐴𝑋 et 𝑀𝑋.

𝑀𝑋 au carré est le carré de la hauteur de la pyramide, la grandeur que nous souhaitons déterminer. Nous allons donc réarranger cette équation pour déterminer 𝑀𝑋. Nous pouvons le faire en soustrayant 𝐴𝑋 au carré des deux membres et en prenant la racine carrée, ce qui nous donne 𝑀𝑋 est égal à la racine carrée de 𝐴𝑀 au carré moins 𝐴𝑋 au carré. 𝐴𝑀 est l’arête latérale de la pyramide, qui nous est donnée dans la question, 88 centimètres. 𝐴𝑋 est actuellement inconnu, nous devrons donc le trouver à partir de la base triangulaire équilatérale.

La base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral avec un centre de gravité au point 𝑋. Si nous prolongeons 𝐴𝑋 vers l’autre côté du triangle, elle coupe 𝐵𝐶 en son milieu, 𝑌. Une médiane passant du sommet d’un triangle à son centre de gravité est divisée en un rapport de deux à un. Donc 𝐴𝑋 est le double de la longueur de 𝑋𝑌. Cela signifie également que 𝐴𝑋 est égal aux deux tiers de la longueur de 𝐴𝑌.

Ce sous-triangle 𝐴𝐵𝑌 est un triangle rectangle. L’hypoténuse 𝐴𝐵 est la longueur de la base, 32 centimètres. Et le côté 𝐵𝑌 est la moitié de la base, 16 centimètres. Nous pouvons à nouveau appliquer le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle. Le carré de l’hypoténuse, 𝐴𝐵, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝐴𝑌 et 𝐵𝑌. Nous pouvons réarranger pour déterminer 𝐴𝑌 en soustrayant 𝐵𝑌 au carré des deux membres et en prenant la racine carrée, ce qui donne 𝐴𝑌 est égal à la racine carrée de 𝐴𝐵 au carré moins 𝐵𝑌 au carré.

Puisque 𝐴𝑋 est égal aux deux tiers de 𝐴𝑌, 𝐴𝑋 est égal à deux tiers fois la racine carrée de 𝐴𝐵 au carré moins 𝐵𝑌 au carré. Élever au carré nous donne finalement 𝐴𝑋 au carré, ce qui est égal à quatre neuvièmes fois 𝐴𝐵 au carré moins 𝐴𝑌 au carré.

Nous pouvons maintenant exprimer la hauteur de la pyramide, 𝑀𝑋, entièrement en fonction des valeurs connues. 𝑀𝑋 est égal à la racine carrée de 𝐴𝑀 au carré moins quatre neuvièmes 𝐴𝐵 au carré moins 𝐵𝑌 au carré. 𝐴𝑀 est l’arête latérale de la pyramide, qui est égale à 88 centimètres. 𝐴𝐵 est la longueur de la base, qui est égale à 32 centimètres. Et 𝐵𝑌 est la moitié de la base, soit 16 centimètres. Par conséquent, 𝑀𝑋 est égal à la racine carrée de 88 au carré moins quatre neuvièmes fois 32 au carré moins 16 au carré. Ce calcul nous donne la hauteur de la pyramide, 86,04 centimètres, au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons le patron d’une pyramide pour calculer sa hauteur verticale et sa hauteur latérale.

Considérez le patron de la pyramide à base carrée avec les dimensions indiquées. Déterminez, au centième près, la hauteur de la pyramide. Et déterminez, au centième près, la hauteur latérale de la pyramide.

Commençons par tracer la pyramide construite en 3D. Nous pouvons nommer les quatre sommets de la base 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 et le sommet supérieur 𝐸. À partir du patron, la longueur de la base carrée est de cinq centimètres et l’arête latérale de la pyramide est de quatre centimètres. Nous pouvons tracer un segment vertical issu du sommet 𝐸 à la base de la pyramide. Le segment coupe la base de la pyramide en son centre de gravité 𝑋. Et sa longueur est la hauteur de la pyramide.

Cette hauteur est perpendiculaire à tout segment contenue dans la base, tel que le segment 𝐴𝑋. Il forme donc un triangle rectangle 𝐴𝑋𝐸. Par conséquent, d’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse de ce triangle, 𝐴𝐸, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝑋𝐸 et 𝐴𝑋. En réarrangeant la hauteur, 𝑋𝐸, en soustrayant 𝐴𝑋 au carré et en prenant la racine carrée, nous obtenons 𝑋𝐸 est égal à la racine carrée de 𝐴𝐸 au carré moins 𝐴𝑋 au carré. 𝐴𝐸 est la hauteur perpendiculaire de la pyramide, qui vaut quatre centimètres. 𝐴𝑋 est actuellement inconnu.

Pour trouver la longueur de 𝐴𝑋, considérons la vue du dessus de la base de la pyramide. Le centre de la base, 𝑋, est le milieu de la diagonale du carré, 𝐴𝐶. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle. Par conséquent, d’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse de ce triangle, 𝐴𝐶, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶.

𝐴𝐶 est le double de la longueur de 𝐴𝑋, donc le membre gauche pourrait être réécrit comme deux 𝐴𝑋 le tout au carré. De plus, puisque la base est un carré, 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐶, donc le membre droit est égal à deux 𝐴𝐵 au carré. Le membre gauche a un facteur de quatre et le membre de droite a un facteur de deux. En divisant les deux membres par quatre, nous obtenons donc 𝐴𝑋 au carré égale un demi 𝐴𝐵 au carré.

Par conséquent, nous pouvons exprimer la hauteur de la pyramide entièrement en fonction des valeurs connues. 𝑋𝐸 est égal à la racine carrée de 𝐴𝐸 au carré moins la moitié de 𝐴𝐵 au carré. 𝐴𝐸 est l’arête latérale de la pyramide, quatre centimètres, et 𝐴𝐵 est la longueur de la base, cinq centimètres. Par conséquent, 𝑋𝐸 est égal à la racine carrée de quatre au carré moins un demi fois cinq au carré. Ce calcul nous donne la hauteur de la pyramide, 1,87 centimètres, au centième près.

Pour la deuxième partie de la question, libérons de l’espace et retraçons la pyramide. La hauteur latérale de la pyramide est la longueur du segment allant du sommet supérieur, 𝐸, jusqu’au milieu de l’une de ses arêtes de la base, disons, 𝐵𝐶. Comme précédemment, nous pouvons tracer un segment vertical du sommet 𝐸 au point 𝑋, le centre de gravité de la base. L’angle entre ce segment et 𝑋𝑌 est un angle droit. Le triangle 𝑋𝑌𝐸 est donc un triangle rectangle.

Nous pouvons donc à nouveau utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la hauteur latérale, 𝑌𝐸. C’est l’hypoténuse du triangle rectangle 𝑋𝑌𝐸. Le carré de l’hypoténuse est donc égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝑋𝑌 et 𝑋𝐸. 𝑋𝐸 est déjà connu d’après la partie précédente de la question. Il suffit donc de déterminer 𝑋𝑌. 𝑋 est le centre de la base et 𝑋𝑌 est parallèle à l’arête 𝐴𝐵. Par conséquent, 𝑋𝑌 est la moitié de l’arête, qui vaut cinq sur deux centimètres.

Prendre la racine carrée de l’équation ci-dessus nous donne explicitement la hauteur latérale. 𝑌𝐸 est égal à la racine carrée de 𝑋𝑌 au carré plus 𝑋𝐸 au carré. 𝑋𝑌 au carré est égal à cinq sur deux le tout au carré, et 𝑋𝐸 est égal à la racine carrée de quatre au carré moins un demi fois cinq au carré. Donc 𝑋𝐸 au carré est juste quatre au carré moins un demi fois cinq au carré. En effectuant ce calcul, nous obtenons 𝑌𝐸, la hauteur latérale de la pyramide, 3,12 centimètres, au centième près.

Dans le dernier exemple, nous allons calculer le périmètre et l’aire de la base d’un cône circulaire droit en déterminant son rayon.

Un cône circulaire droit à une hauteur de 90 centimètres et une génératrice de 106 centimètres. Déterminez le périmètre et l’aire de la base en fonction de 𝜋.

Commençons par tracer le cône. La hauteur est de 90 centimètres, la génératrice est de 106 centimètres et le rayon de la base, 𝑟, est inconnu. La base est circulaire. Et rappelons que le périmètre d’un cercle est égal à deux 𝜋 fois le rayon 𝑟. Et l’aire d’un cercle est donnée par 𝜋 fois le rayon 𝑟 au carré.

La hauteur, la génératrice et le rayon forment un triangle rectangle. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, selon lequel le carré de l’hypoténuse de ce triangle rectangle, la génératrice 𝑠, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, le rayon 𝑟 et la hauteur ℎ.

Réarranger pour déterminer 𝑟 en soustrayant ℎ au carré des deux membres et en prenant la racine carrée nous donne le rayon, 𝑟, égal à la racine carrée de 𝑠 au carré moins ℎ au carré. Le périmètre du cercle est égal à deux 𝜋 fois 𝑟, ce qui est donc égal à deux 𝜋 fois la racine carrée de 106 au carré moins 90 au carré. Effectuer ce calcul nous donne le périmètre de la base, 112𝜋 centimètres, que nous pouvons laisser sous cette forme comme nous l’indique la question. Et l’aire de la base est égale à 𝜋 fois 𝑟 au carré, soit 𝜋 fois 106 au carré moins 90 au carré. Ce calcul nous donne l’aire de la base du cône, 3136𝜋 centimètres carrés, que nous laissons encore une fois en fonction de 𝜋.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Le théorème de Pythagore stipule que le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, 𝑐, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, 𝑎 et 𝑏. Ce théorème peut être appliqué à des figures en trois dimensions, telles que des cubes, des pyramides et des cônes, en construisant des coupes en deux dimensions pour former des triangles rectangles, où deux des côtés sont connus afin que le troisième puisse être déterminé à partir du théorème de Pythagore.

La hauteur d’une pyramide régulière est perpendiculaire à toute droite passant par le centre de sa base et contenu dans cette base. Et par conséquent, un triangle rectangle peut être formé avec l’arête latérale. La hauteur latérale d’une pyramide régulière est la distance perpendiculaire issue de n’importe quel côté de la base au sommet de la pyramide. Le rayon de la base 𝑟, la hauteur verticale ℎ et la génératrice 𝑠 d’un cône forment un triangle rectangle, avec la génératrice comme hypoténuse. Par conséquent, d’après le théorème de Pythagore, 𝑟 au carré plus ℎ au carré est égal à 𝑠 au carré.

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