Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les éléments de pyramides et de cônes et à utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer leurs dimensions.
On rappelle que le théorème de Pythagore décrit la relation entre les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle et que nous devrions déjà être familiarisés avec l’application de ce résultat à des problèmes en deux dimensions.
Théorème : Théorème de Pythagore en deux dimensions
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour le triangle ci-dessous,
Le théorème de Pythagore peut être appliqué à des problèmes en trois dimensions de plusieurs façons. Une méthode consiste à utiliser les triangles rectangles contenus dans les faces d’un objet tridimensionnel ou à prendre des « coupes » planes de son intérieur. Pour identifier de tels triangles, nous devons nous familiariser avec les éléments et les propriétés de certains objets tridimensionnels usuels, tels que les pyramides et les cônes.
On rappelle d’abord deux types particuliers de pyramides. Premièrement, une pyramide droite est une pyramide dont le sommet est situé verticalement au-dessus du centre, ou dans le cas d’un triangle du centre de gravité, de sa base. Deuxièmement, une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier.
Termes-clés : Éléments d’une pyramide
Considérons la pyramide carrée régulière sur la figure ci-dessous. On rappelle la terminologie utilisée pour décrire les longueurs et les éléments d’une pyramide. La hauteur d’une pyramide est la distance entre le sommet de la pyramide et sa base et elle est perpendiculaire à toute droite de la base de la pyramide qu’elle coupe. La hauteur latérale d’une pyramide est la distance perpendiculaire entre l’un des côtés de la base et le sommet de la pyramide. On peut noter que la hauteur latérale sera la même sur les quatre faces latérales.
Termes-clés : Eléments d’un cône
Sur la figure ci-dessous, on rappelle la terminologie utilisée pour décrire les longueurs et les éléments d’un cône. Notons que les longueurs principales dans un cône sont la génératrice, la hauteur et le rayon de base du cône. Ces trois longueurs forment un triangle rectangle.
Au cours de cette fiche explicative, nous verrons des exemples d’application du théorème de Pythagore à des triangles rectangles dans des pyramides et des cônes pour calculer des longueurs inconnues. Dans le premier exemple, nous allons examiner comment déterminer l’aire d’une coupe diagonale dans un cube, connaissant la longueur de son arête.
Exemple 1: Déterminer l’aire d’une coupe diagonale d’un cube connaissant ses dimensions
Sachant que est un cube d’arête de longueur cm et que est le milieu de , déterminez l’aire du rectangle .
Réponse
On rappelle d’abord que l’aire d’un rectangle est donnée par la formule suivante : . Pour le rectangle , l’aire sera donc égale à .
La longueur de est cm car ce segment est parallèle à l’arête du cube et a la même longueur. Pour déterminer la longueur de considérons la base carrée du cube. Comme est le milieu de , il divise en deux parties égales, chacune de longueur . Comme tous les angles à l’intérieur d’un carré mesurent , le triangle formé par , et est un triangle rectangle en .
L’hypoténuse de ce triangle est et ainsi, d’après le théorème de Pythagore,
Remplacer par le terme et par le terme donne
On résout cette équation en calculant d’abord les carrés puis en simplifiant :
En calculant la racine carrée de chaque membre de l’équation, on obtient
L’aire du rectangle est donc égale à
Considérons maintenant deux exemples relatifs aux pyramides. Dans le premier exemple, nous allons calculer la hauteur d’une pyramide dont la base est un triangle équilatéral, connaissant la longueur du côté du triangle et la longueur de l’arête latérale de la pyramide.
Exemple 2: Déterminer la hauteur d’une pyramide en appliquant le théorème de Pythagore
est une pyramide régulière dont la base est un triangle équilatéral de 32 cm de côté. Si la longueur de son arête latérale est de 88 cm, déterminez la hauteur de la pyramide au centième près.
Réponse
On commence par dessiner la pyramide comme indiqué ci-dessous (sans échelle).
On nous demande de calculer la hauteur de la pyramide. C’est la distance entre son sommet et le centre de la base de la pyramide, que nous appellerons . Dessinons cette hauteur sur le schéma ainsi que la droite reliant un sommet de la base au point .
est l’arête latérale de cette pyramide, sa longueur est donnée dans la question. est un segment contenu dans la base de la pyramide, et est la hauteur de la pyramide, qui est perpendiculaire à . Ainsi, nous avons un triangle rectangle formé par , et . D’après le théorème de Pythagore :
La longueur de est donnée dans la question. Pour calculer la longueur de , il faut d’abord calculer la longueur de .
Considérons maintenant le triangle équilatéral à la base de la pyramide. Le point est le centre de gravité de ce triangle, à savoir le point d’intersection des trois médianes du triangle. Le point est le milieu du côté .
Comme le triangle est équilatéral, ses trois médianes sont toutes de même longueur. Nous savons aussi que le centre de gravité d’un triangle divise chaque médiane avec un rapport à partir du sommet. Par conséquent, et .
Considérons maintenant le triangle . C’est un triangle rectangle en puisque la médiane divise le triangle équilatéral en deux triangles rectangles. La longueur de est la moitié de la longueur de , elle vaut ainsi 16 cm. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de , ce qui nous permettra ensuite de calculer la longueur de .
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle , on obtient
En substituant et , on obtient
On détermine en calculant la racine carrée :
On peut alors calculer la longueur de en rappelant que :
Enfin, revenons à l’application du théorème de Pythagore dans le triangle ,
Avec et on obtient :
Soustraire de chaque membre de l’équation et puis calculer les carrés donne
On trouve en utilisant la racine carrée :
La hauteur de la pyramide, au centième près, est de 86,04 cm.
Considérons maintenant un problème dans lequel nous devons calculer la hauteur et la hauteur latérale d’une pyramide à partir de son patron. Nous aurons besoin d’étudier le patron avec soin pour savoir quelles sont les dimensions de la pyramide.
Exemple 3: Déterminer la hauteur verticale et la hauteur latérale d’une pyramide carrée connaissant les dimensions de son patron
On considère le patron d’une pyramide carrée avec les dimensions indiquées.
- Déterminez, au centième près, la hauteur de la pyramide.
- Déterminez, au centième près, la hauteur latérale de la pyramide.
Réponse
Partie 1
Commençons par dessiner la pyramide en trois dimensions. À partir du patron, on identifie que la longueur du côté de la base carrée est 5 cm. Les segments de longueur 4 cm représentent les deux autres côtés des faces triangulaires de la pyramide, et on en déduit que la longueur de l’arête latérale de la pyramide est de 4 cm.
Le point sur le schéma est le point d’intersection entre la droite verticale passant par le sommet et la base carrée de la pyramide. Ce point est au centre de la base. La hauteur de la pyramide est , qui est perpendiculaire à toute droite de la base de la pyramide passant par le point . En particulier, elle est perpendiculaire à chaque segment joignant le point à un des sommets de la pyramide. Ainsi, le triangle formé par la hauteur , l’arête latérale et est un triangle rectangle en , comme indiqué ci-dessous.
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore :
La longueur de est donnée, mais il faut calculer la longueur de avant de pouvoir calculer la longueur de . On considère la base carrée de la pyramide, et on rappelle que se situe au centre de ce carrée. Nous rappelons également que le centre d’un carré est le point d’intersection de ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
La longueur de est égale à la moitié de la longueur de la diagonale . Cette diagonale divise la base carrée en deux triangles rectangles superposables. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle :
Remplacer et par 5 donne
On trouve en calculant la racine carrée :
La longueur de est égale à la moitié de cette valeur :
On revient à l’énoncé du théorème de Pythagore dans le triangle on remplace par le terme et par 4 le terme et on obtient l’équation suivante :
Cette équation peut être résolue en calculant d’abord les carrés, puis en isolant :
Enfin, on trouve en calculant la racine carrée de chaque membre de l’équation :
La hauteur de la pyramide, au centième près, est de 1,87 cm.
Partie 2
Dessinons maintenant la hauteur latérale de la pyramide le long de l’une de ses faces. On définit comme étant le milieu du côté .
Cette hauteur latérale forme un triangle rectangle avec la hauteur de la pyramide et le segment reliant les points et , c’est-à-dire le segment reliant le centre de la base au milieu de l’un des côtés de la base. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore :
Dans la première partie de la question, nous avons déterminé que la valeur de vaut . est parallèle au côté de la base de la pyramide, et comme est le centre de la base, . Ainsi, la longueur de est cm. On remplace ces valeurs dans l’énoncé du théorème de Pythagore dans le triangle ce qui donne
Calculer et simplifier nous donnent
Pour obtenir on cherche la racine carrée de chaque membre de cette équation :
La hauteur latérale de la pyramide, au centième près, est de3,12 cm.
Considérons maintenant des problèmes liés aux cônes. Dans le prochain exemple, nous allons calculer la circonférence et l’aire de la base d’un cône circulaire droit en déterminant d’abord son rayon. Rappelons que, dans un tel cône, la relation entre le rayon de la base, la hauteur et la génératrice peut être décrite en utilisant le théorème de Pythagore.
Exemple 4: Déterminer la circonférence et l’aire de la base d’un cône circulaire droit connaissant ses dimensions en appliquant le théorème de Pythagore
Un cône circulaire droit de hauteur de 90 cm et une génératrice de 106 cm. Déterminez la circonférence et l’aire de la base en fonction de .
Réponse
Rappelons d’abord les formules pour calculer la circonférence et l’aire d’un cercle : et , où représente le rayon. Par conséquent, nous devons d’abord calculer le rayon de la base circulaire du cône.
Traçons le cône. Rappelons que la hauteur d’un cône circulaire droit, souvent désignée par , est la distance entre le centre de la base et le sommet du cône. La génératrice, notée , est la distance entre tout point situé sur la circonférence de la base circulaire et le sommet, le long de la surface du cône.
Ensuite, notons que si on dessine le rayon du cône, le triangle formé par le rayon, la hauteur et la génératrice du cône est un triangle rectangle.
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore :
Soustraire de chaque membre de l’équation et simplifier donne
On trouve en utilisant la valeur positive de la racine carrée :
Remplacer dans la formule pour la circonférence d’un cercle donne
L’énoncé précise que nos réponses doivent être données en fonction de , nous ne sommes donc pas obligés de calculer cette expression.
Remplacer par le résultat précèdent dans la formule de l’aire d’un cercle donne
Ainsi, on trouve que la base circulaire a pour circonférence cm et pour aire cm2.
Exemple 5: Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur d’un cône à partir de son patron
Une feuille de papier en forme de secteur circulaire ayant un rayon de 72 cm et un angle de est pliée de telle sorte que les points et se rencontrent pour former un cône circulaire ayant la plus grande aire possible. Déterminez la hauteur du cône au centième près.
Réponse
La figure donnée représente le patron du cône. Commençons par dessiner le cône en trois dimensions. La génératrice du cône pliée sera équivalente à la longueur des segments joignant chacun des points et au centre du secteur circulaire. C’est la longueur du rayon du secteur, donnée dans l’énoncé et égale à 72 cm. Puisque le cône doit avoir la plus grande aire possible, alors le papier ne doit pas se superposer ; ainsi la circonférence du cercle à la base du cône doit être égale à la longueur d’arc du secteur circulaire.
Rappelons que le rayon de la base, la hauteur et la génératrice d’un cône forment un triangle rectangle. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle dans le cône ci-dessus, nous avons
Pour déterminer la hauteur du cône, nous devons d’abord calculer le rayon de sa base. Nous commencerons par calculer la longueur d’arc du secteur circulaire, qui est égale à la circonférence de la base circulaire. On rappelle la formule où est l’angle au centre du secteur, mesuré en degrés, et est le rayon. Notez que nous avons utilisé une majuscule ici pour distinguer cette longueur du rayon de la base du cône. On peut alors substituer et pour calculer la longueur d’arc :
Comme la longueur d’arc du secteur circulaire est égale à la circonférence de la base circulaire du cône, nous pouvons calculer le rayon du cercle en rappelant la formule . Par conséquent,
Diviser les deux membres de cette équation par donne
Enfin, nous substituons cette valeur de dans l’énoncé du théorème de Pythagore :
Le calcul des carrés donne
Pour trouver , on soustrait d’abord 3 025 de chaque membre de l’équation puis on détermine la racine carrée :
La hauteur du cône, au centième près, est 46,47 cm.
Terminons par résumer quelques points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Le théorème de Pythagore en deux dimensions peut être appliqué à des triangles rectangles appartenant à des faces d’un objet en trois dimensions, ou à des coupes en deux dimensions de son intérieur, pour calculer des longueurs inconnues.
- La hauteur d’une pyramide régulière est perpendiculaire à toute droite passant par le centre de sa base et située sur cette base, et par conséquent un triangle rectangle peut être formé avec l’arête latérale. La hauteur latérale d’une pyramide régulière est la distance perpendiculaire entre un côté de la base et le sommet de la pyramide.
- Le rayon de la base , la hauteur et la génératrice d’un cône forment un triangle rectangle et sont donc liés par le théorème de Pythagore comme suit :
