Fiche explicative de la leçon : Appliquer le théorème de Pythagore aux pyramides et aux cônes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les éléments de pyramides et de cônes et à utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer leurs dimensions.

On rappelle que le théorème de Pythagore décrit la relation entre les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle et que nous devrions déjà être familiarisés avec l’application de ce résultat à des problèmes en deux dimensions.

Théorème : Théorème de Pythagore en deux dimensions

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour le triangle ci-dessous, 𝑎+𝑏=𝑐.

Le théorème de Pythagore peut être appliqué à des problèmes en trois dimensions de plusieurs façons. Une méthode consiste à utiliser les triangles rectangles contenus dans les faces d’un objet tridimensionnel ou à prendre des « coupes » planes de son intérieur. Pour identifier de tels triangles, nous devons nous familiariser avec les éléments et les propriétés de certains objets tridimensionnels usuels, tels que les pyramides et les cônes.

On rappelle d’abord deux types particuliers de pyramides. Premièrement, une pyramide droite est une pyramide dont le sommet est situé verticalement au-dessus du centre, ou dans le cas d’un triangle du centre de gravité, de sa base. Deuxièmement, une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier.

Termes-clés : Éléments d’une pyramide

Considérons la pyramide carrée régulière sur la figure ci-dessous. On rappelle la terminologie utilisée pour décrire les longueurs et les éléments d’une pyramide. La hauteur d’une pyramide est la distance entre le sommet de la pyramide et sa base et elle est perpendiculaire à toute droite de la base de la pyramide qu’elle coupe. La hauteur latérale d’une pyramide est la distance perpendiculaire entre l’un des côtés de la base et le sommet de la pyramide. On peut noter que la hauteur latérale sera la même sur les quatre faces latérales.

Termes-clés : Eléments d’un cône

Sur la figure ci-dessous, on rappelle la terminologie utilisée pour décrire les longueurs et les éléments d’un cône. Notons que les longueurs principales dans un cône sont la génératrice, la hauteur et le rayon de base du cône. Ces trois longueurs forment un triangle rectangle.

Au cours de cette fiche explicative, nous verrons des exemples d’application du théorème de Pythagore à des triangles rectangles dans des pyramides et des cônes pour calculer des longueurs inconnues. Dans le premier exemple, nous allons examiner comment déterminer l’aire d’une coupe diagonale dans un cube, connaissant la longueur de son arête.

Exemple 1: Déterminer l’aire d’une coupe diagonale d’un cube connaissant ses dimensions

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube d’arête de longueur 62 cm et que 𝑋 est le milieu de 𝐴𝐵, déterminez l’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸.

Réponse

On rappelle d’abord que l’aire d’un rectangle est donnée par la formule suivante:airelongueurlargeur=×. Pour le rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸, l’aire sera donc égale à 𝐷𝑋×𝑋𝑌.

La longueur de 𝑋𝑌 est 62 cm car ce segment est parallèle à l’arête du cube et a la même longueur. Pour déterminer la longueur de 𝐷𝑋 considérons la base carrée du cube. Comme 𝑋 est le milieu de 𝐴𝐵, il divise 𝐴𝐵 en deux parties égales, chacune de longueur 622=32cm. Comme tous les angles à l’intérieur d’un carré mesurent 90, le triangle formé par 𝐴𝑋, 𝐴𝐷 et 𝐷𝑋 est un triangle rectangle en 𝐴.

L’hypoténuse de ce triangle est 𝐷𝑋 et ainsi, d’après le théorème de Pythagore, 𝐷𝑋=𝐴𝑋+𝐴𝐷.

Remplacer par 32 le terme 𝐴𝑋 et par 62 le terme 𝐴𝐷 donne 𝐷𝑋=32+62.

On résout cette équation en calculant d’abord les carrés puis en simplifiant:𝐷𝑋=18+72=90.

En calculant la racine carrée de chaque membre de l’équation, on obtient 𝐷𝑋=90=310.cm

L’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸 est donc égale à𝐷𝑋×𝑋𝑌=310×62=1820=184×5=365.cm

Considérons maintenant deux exemples relatifs aux pyramides. Dans le premier exemple, nous allons calculer la hauteur d’une pyramide dont la base est un triangle équilatéral, connaissant la longueur du côté du triangle et la longueur de l’arête latérale de la pyramide.

Exemple 2: Déterminer la hauteur d’une pyramide en appliquant le théorème de Pythagore

𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide régulière dont la base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral de 32 cm de côté. Si la longueur de son arête latérale est de 88 cm, déterminez la hauteur de la pyramide au centième près.

Réponse

On commence par dessiner la pyramide comme indiqué ci-dessous (sans échelle).

On nous demande de calculer la hauteur de la pyramide. C’est la distance entre son sommet 𝑀 et le centre de la base de la pyramide, que nous appellerons 𝑋. Dessinons cette hauteur sur le schéma ainsi que la droite reliant un sommet de la base au point 𝑋.

𝐴𝑀 est l’arête latérale de cette pyramide, sa longueur est donnée dans la question. 𝐴𝑋 est un segment contenu dans la base de la pyramide, et 𝑀𝑋 est la hauteur de la pyramide, qui est perpendiculaire à 𝐴𝑋. Ainsi, nous avons un triangle rectangle formé par 𝐴𝑀, 𝐴𝑋 et 𝑀𝑋. D’après le théorème de Pythagore:𝐴𝑋+𝑀𝑋=𝐴𝑀.

La longueur de 𝐴𝑀 est donnée dans la question. Pour calculer la longueur de 𝑀𝑋, il faut d’abord calculer la longueur de 𝐴𝑋.

Considérons maintenant le triangle équilatéral à la base de la pyramide. Le point 𝑋 est le centre de gravité de ce triangle, à savoir le point d’intersection des trois médianes du triangle. Le point 𝑌 est le milieu du côté 𝐵𝐶.

Comme le triangle 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral, ses trois médianes sont toutes de même longueur. Nous savons aussi que le centre de gravité d’un triangle divise chaque médiane avec un rapport 21 à partir du sommet. Par conséquent, 𝐴𝑋=𝐵𝑋=𝐶𝑋 et 𝐴𝑋=23𝐴𝑌.

Considérons maintenant le triangle 𝐴𝐵𝑌. C’est un triangle rectangle en 𝑌 puisque la médiane 𝐴𝑌 divise le triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 en deux triangles rectangles. La longueur de 𝐵𝑌 est la moitié de la longueur de 𝐵𝐶, elle vaut ainsi 16 cm. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de 𝐴𝑌, ce qui nous permettra ensuite de calculer la longueur de 𝐴𝑋.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle 𝐴𝐵𝑌, on obtient 𝐴𝑌+𝐵𝑌=𝐴𝐵.

En substituant 𝐵𝑌=16 et 𝐴𝐵=32, on obtient 𝐴𝑌+16=32𝐴𝑌=3216=768.

On détermine 𝐴𝑌 en calculant la racine carrée:𝐴𝑌=768=163.cm

On peut alors calculer la longueur de 𝐴𝑋 en rappelant que 𝐴𝑋=23𝐴𝑌:𝐴𝑋=23×163=3233.cm

Enfin, revenons à l’application du théorème de Pythagore dans le triangle 𝐴𝑋𝑀, 𝐴𝑋+𝑀𝑋=𝐴𝑀.

Avec 𝐴𝑋=3233 et 𝐴𝑀=88 on obtient:3233+𝑀𝑋=88.

Soustraire 3233 de chaque membre de l’équation et puis calculer les carrés donne 𝑀𝑋=883233=222083.

On trouve 𝑀𝑋 en utilisant la racine carrée:𝑀𝑋=222083=86,03886,04.

La hauteur de la pyramide, au centième près, est de 86,04 cm.

Considérons maintenant un problème dans lequel nous devons calculer la hauteur et la hauteur latérale d’une pyramide à partir de son patron. Nous aurons besoin d’étudier le patron avec soin pour savoir quelles sont les dimensions de la pyramide.

Exemple 3: Déterminer la hauteur verticale et la hauteur latérale d’une pyramide carrée connaissant les dimensions de son patron

On considère le patron d’une pyramide carrée avec les dimensions indiquées.

  1. Déterminez, au centième près, la hauteur de la pyramide.
  2. Déterminez, au centième près, la hauteur latérale de la pyramide.

Réponse

Partie 1

Commençons par dessiner la pyramide en trois dimensions. À partir du patron, on identifie que la longueur du côté de la base carrée est 5 cm. Les segments de longueur 4 cm représentent les deux autres côtés des faces triangulaires de la pyramide, et on en déduit que la longueur de l’arête latérale de la pyramide est de 4 cm.

Le point 𝑋 sur le schéma est le point d’intersection entre la droite verticale passant par le sommet (𝐸) et la base carrée de la pyramide. Ce point est au centre de la base. La hauteur de la pyramide est 𝑋𝐸, qui est perpendiculaire à toute droite de la base de la pyramide passant par le point 𝑋. En particulier, elle est perpendiculaire à chaque segment joignant le point 𝑋 à un des sommets de la pyramide. Ainsi, le triangle formé par la hauteur 𝑋𝐸, l’arête latérale 𝐴𝐸 et 𝐴𝑋 est un triangle rectangle en 𝑋, comme indiqué ci-dessous.

Ainsi, d’après le théorème de Pythagore:𝑋𝐸+𝐴𝑋=𝐴𝐸.

La longueur de 𝐴𝐸 est donnée, mais il faut calculer la longueur de 𝐴𝑋 avant de pouvoir calculer la longueur de 𝑋𝐸. On considère la base carrée de la pyramide, et on rappelle que 𝑋 se situe au centre de ce carrée. Nous rappelons également que le centre d’un carré est le point d’intersection de ses diagonales qui se coupent en leur milieu.

La longueur de 𝐴𝑋 est égale à la moitié de la longueur de la diagonale 𝐴𝐶. Cette diagonale divise la base carrée en deux triangles rectangles superposables. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle 𝐴𝐵𝐶:𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶.

Remplacer 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 par 5 donne 𝐴𝐶=5+5=25+25=50.

On trouve 𝐴𝐶 en calculant la racine carrée:𝐴𝐶=50=52.cm

La longueur de 𝐴𝑋 est égale à la moitié de cette valeur:𝐴𝑋=12𝐴𝐶=522.cm

On revient à l’énoncé du théorème de Pythagore dans le triangle 𝐴𝑋𝐸 on remplace par 522 le terme 𝐴𝑋 et par 4 le terme 𝐴𝐸 et on obtient l’équation suivante:522+𝑋𝐸=4.

Cette équation peut être résolue en calculant d’abord les carrés, puis en isolant 𝑋𝐸:252+𝑋𝐸=16𝑋𝐸=72.

Enfin, on trouve 𝑋𝐸 en calculant la racine carrée de chaque membre de l’équation:𝑋𝐸=72=1,8701,87.

La hauteur de la pyramide, au centième près, est de 1,87 cm.

Partie 2

Dessinons maintenant la hauteur latérale de la pyramide le long de l’une de ses faces. On définit 𝑌 comme étant le milieu du côté 𝐵𝐶.

Cette hauteur latérale forme un triangle rectangle avec la hauteur de la pyramide et le segment reliant les points 𝑋 et 𝑌, c’est-à-dire le segment reliant le centre de la base au milieu de l’un des côtés de la base. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore:𝑌𝐸=𝑋𝑌+𝑋𝐸.

Dans la première partie de la question, nous avons déterminé que la valeur de 𝑋𝐸 vaut 72. 𝑋𝑌 est parallèle au côté 𝐴𝐵 de la base de la pyramide, et comme 𝑋 est le centre de la base, 𝑋𝑌=12𝐴𝐵. Ainsi, la longueur de 𝑋𝑌 est 52 cm. On remplace ces valeurs dans l’énoncé du théorème de Pythagore dans le triangle 𝑋𝑌𝐸 ce qui donne𝑌𝐸=52+72.

Calculer et simplifier nous donnent 𝑌𝐸=254+72=394.

Pour obtenir 𝑌𝐸 on cherche la racine carrée de chaque membre de cette équation:𝑌𝐸=394=3,1223,12.cm

La hauteur latérale de la pyramide, au centième près, est de3,12 cm.

Considérons maintenant des problèmes liés aux cônes. Dans le prochain exemple, nous allons calculer la circonférence et l’aire de la base d’un cône circulaire droit en déterminant d’abord son rayon. Rappelons que, dans un tel cône, la relation entre le rayon de la base, la hauteur et la génératrice peut être décrite en utilisant le théorème de Pythagore.

Exemple 4: Déterminer la circonférence et l’aire de la base d’un cône circulaire droit connaissant ses dimensions en appliquant le théorème de Pythagore

Un cône circulaire droit de hauteur de 90 cm et une génératrice de 106 cm. Déterminez la circonférence et l’aire de la base en fonction de 𝜋.

Réponse

Rappelons d’abord les formules pour calculer la circonférence et l’aire d’un cercle:circonférence=2𝜋𝑟 et aire=𝜋𝑟, 𝑟 représente le rayon. Par conséquent, nous devons d’abord calculer le rayon de la base circulaire du cône.

Traçons le cône. Rappelons que la hauteur d’un cône circulaire droit, souvent désignée par , est la distance entre le centre de la base et le sommet du cône. La génératrice, notée 𝑙, est la distance entre tout point situé sur la circonférence de la base circulaire et le sommet, le long de la surface du cône.

Ensuite, notons que si on dessine le rayon du cône, le triangle formé par le rayon, la hauteur et la génératrice du cône est un triangle rectangle.

Ainsi, d’après le théorème de Pythagore:𝑟+90=106.

Soustraire 90 de chaque membre de l’équation et simplifier donne 𝑟=10690=3136.

On trouve 𝑟 en utilisant la valeur positive de la racine carrée:𝑟=3136=56.cm

Remplacer 𝑟=56 dans la formule pour la circonférence d’un cercle donne circonférencecm=2×𝜋×56=112𝜋.

L’énoncé précise que nos réponses doivent être données en fonction de 𝜋, nous ne sommes donc pas obligés de calculer cette expression.

Remplacer 𝑟 par le résultat précèdent dans la formule de l’aire d’un cercle donne airecm=3136𝜋.

Ainsi, on trouve que la base circulaire a pour circonférence 112𝜋 cm et pour aire 3136𝜋 cm2.

Exemple 5: Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur d’un cône à partir de son patron

Une feuille de papier en forme de secteur circulaire ayant un rayon de 72 cm et un angle de 275 est pliée de telle sorte que les points 𝐴 et 𝐵 se rencontrent pour former un cône circulaire ayant la plus grande aire possible. Déterminez la hauteur du cône au centième près.

Réponse

La figure donnée représente le patron du cône. Commençons par dessiner le cône en trois dimensions. La génératrice du cône pliée sera équivalente à la longueur des segments joignant chacun des points 𝐴 et 𝐵 au centre du secteur circulaire. C’est la longueur du rayon du secteur, donnée dans l’énoncé et égale à 72 cm. Puisque le cône doit avoir la plus grande aire possible, alors le papier ne doit pas se superposer;ainsi la circonférence du cercle à la base du cône doit être égale à la longueur d’arc du secteur circulaire.

Rappelons que le rayon de la base, la hauteur et la génératrice d’un cône forment un triangle rectangle. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle dans le cône ci-dessus, nous avons 𝑟+=72.

Pour déterminer la hauteur du cône, nous devons d’abord calculer le rayon de sa base. Nous commencerons par calculer la longueur d’arc du secteur circulaire, qui est égale à la circonférence de la base circulaire. On rappelle la formule longuerdarc=𝜃360×2𝜋𝑅,𝜃 est l’angle au centre du secteur, mesuré en degrés, et 𝑅 est le rayon. Notez que nous avons utilisé une 𝑅 majuscule ici pour distinguer cette longueur du rayon de la base du cône. On peut alors substituer 𝜃=275 et 𝑅=72 pour calculer la longueur d’arc:longuerdarccm=275360×2𝜋×72=110𝜋.

Comme la longueur d’arc du secteur circulaire est égale à la circonférence de la base circulaire du cône, nous pouvons calculer le rayon du cercle en rappelant la formule 𝑐=2𝜋𝑟. Par conséquent, 2𝜋𝑟=110𝜋.

Diviser les deux membres de cette équation par 2𝜋 donne 𝑟=110𝜋2𝜋=55.cm

Enfin, nous substituons cette valeur de 𝑟 dans l’énoncé du théorème de Pythagore:𝑟+=7255+=72.

Le calcul des carrés donne 3025+=5184.

Pour trouver , on soustrait d’abord 3‎ ‎025 de chaque membre de l’équation puis on détermine la racine carrée:=2159=46,46546,47.cm

La hauteur du cône, au centième près, est 46,47 cm.

Terminons par résumer quelques points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le théorème de Pythagore en deux dimensions peut être appliqué à des triangles rectangles appartenant à des faces d’un objet en trois dimensions, ou à des coupes en deux dimensions de son intérieur, pour calculer des longueurs inconnues.
  • La hauteur d’une pyramide régulière est perpendiculaire à toute droite passant par le centre de sa base et située sur cette base, et par conséquent un triangle rectangle peut être formé avec l’arête latérale. La hauteur latérale d’une pyramide régulière est la distance perpendiculaire entre un côté de la base et le sommet de la pyramide.
  • Le rayon de la base (𝑟), la hauteur () et la génératrice (𝑙) d’un cône forment un triangle rectangle et sont donc liés par le théorème de Pythagore comme suit:𝑟+=𝑙.

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