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Sur la figure ci-dessous, les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles et la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷 est égale à 74 degrés. Trouvez la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶.
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser trois théorèmes sur les cercles.
Le premier nous dit que les mesures des arcs entre deux cordes parallèles sont égales. Puisque les cordes du cercle, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, sont parallèles, cela signifie que les mesures des arcs 𝐵𝐷 et 𝐴𝐶 sont égales.
Le deuxième théorème que nous pouvons utiliser pour trouver la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 nous dit que lorsque deux angles interceptent le même arc, la mesure de l’angle au centre du cercle est le double de la mesure de l’angle à la circonférence. Appliqué à notre cercle, cela signifie que tout angle à la circonférence interceptant l’arc 𝐵𝐷 doit être de mesure la moitié de celle de l’angle interceptant 𝐵𝐷 au centre. Si nous posons un point 𝐹 sur la circonférence, alors la mesure de l’angle 𝐵𝐹𝐷 vaut la moitié de la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷. Cela donne la moitié de 74 degrés, soit 37 degrés.
Le troisième théorème est que les angles à la circonférence interceptant le même arc ont la même mesure. Maintenant, nous allons appliquer cela à notre cercle en utilisant le fait que nous avons noté plus tôt du premier théorème que les arcs 𝐵𝐷 et 𝐴𝐶 sont égaux. Cela étant, tout angle à la circonférence interceptant l’arc 𝐵𝐷 sera égal en mesure à tout angle à la circonférence interceptant l’arc 𝐴𝐶. Ainsi, la mesure de l’angle 𝐵𝐹𝐷 que nous avons trouvée précédemment en utilisant le deuxième théorème sera égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶, puisque l’angle 𝐴𝐸𝐶 intercepte l’arc 𝐴𝐶. Cela donne 37 degrés.
Par conséquent, si les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles et que la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷 est de 74 degrés, alors la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 est égale à 37 degrés.
