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Calculez le taux de variation de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre 𝑥 au carré moins 𝑥 moins trois lorsque 𝑥 est égal à un et et déterminez, à la minute près, la mesure de l’angle formé par la tangente à la courbe au point de coordonnées un, zéro avec l’axe des abscisses positives.
Rappelez-vous, nous déterminons le taux de variation d’une fonction 𝑓 donnée en calculant 𝑓 prime en un point 𝑎 qui est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Dans cette question, nous cherchons le taux de variation de la fonction définie par quatre 𝑥 au carré moins 𝑥 moins trois lorsque 𝑥 est égal à un. Donc, nous connaissons 𝑓 de 𝑥 et nous avons 𝑎 égal à un. Cela signifie que le taux de variation est donné par 𝑓 prime de un. C’est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un sur ℎ.
Pour calculer notre limite, nous allons simplement commencer par déterminer ce que vaut 𝑓 de un plus ℎ. Et pour ce faire, nous remplaçons nos 𝑥 dans l’expression de notre fonction par un plus ℎ. Ca donne quatre fois un plus ℎ le tout au carré moins un plus ℎ moins trois. En développant, nous obtenons quatre fois un plus deux ℎ plus ℎ au carré moins un moins ℎ moins trois. Et puis, en développant de nouveau. Nous obtenons quatre plus huit ℎ plus quatre ℎ au carré moins ℎ moins quatre. Bien sûr, quatre moins quatre donne zéro. Donc, cela se simplifie très bien en quatre ℎ au carré plus sept ℎ.
Notre prochaine étape consiste à calculer 𝑓 de un. Cette fois, nous remplaçons nos 𝑥 par un. Cela nous donne quatre fois un au carré moins un moins trois, ce qui vaut tout simplement zéro. Nous devons donc calculer la limite lorsque ℎ tend vers zéro de quatre ℎ au carré plus sept ℎ moins zéro sur ℎ. Et bien sûr, nous n’avons pas besoin de moins zéro. Il s’agit donc de la limite lorsque ℎ tend vers zéro de quatre ℎ au carré plus sept ℎ sur ℎ.
Ensuite, nous remarquons que nous pouvons diviser le numérateur par ℎ. Et donc, le taux de variation de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un va être la limite lorsque ℎ tend vers zéro de quatre ℎ plus sept. À ce stade, nous pouvons pratiquer la substitution directe: lorsque ℎ est égal à zéro, quatre ℎ est égal à zéro. Ainsi, la limite lorsque ℎ tend vers zéro de quatre ℎ plus sept est sept. Nous avons donc trouvé le taux de variation de notre fonction.
Ensuite, nous devons déterminer la mesure de l’angle entre la tangente en un, zéro et l’axe des 𝑥 positifs. Eh bien, en trouvant le taux de variation en 𝑥 égale un, nous avons trouvé la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse un, le point un, zéro. Si nous utilisons le fait que la pente est une variation de 𝑦 divisée par une variation de 𝑥, nous pouvons construire un triangle rectangle, comme indiqué. Ici, l’hypoténuse représente la tangente. Et nous cherchons à trouver l’angle 𝜃. C’est l’angle entre cette tangente et l’axe des 𝑥 positif.
Nous étiquetons les côtés de notre triangle rectangle. Et nous voyons que nous connaissons la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent. Puisque tangente 𝜃 est égale à l’opposé divisé par l’adjacent, nous pouvons dire ici que tangente 𝜃 est égal à sept divisé par un, ce qui donne sept. Nous résolvons cette équation en appliquant la réciproque de la tangente des deux côtés, ce qui donne 81,869... Nous pouvons utiliser le bouton correspondant de notre calculatrice pour convertir cela en degrés, minutes et secondes. Et nous voyons que, à la minute près, l’angle entre la tangente en un, zéro et l’axe des 𝑥 positif est de 81 degrés et 52 minutes.
