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Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑦 égale neuf 𝑥 plus cinq 𝑥 multiplié par quatre 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥 le tout au carré.
La première étape pour cette question est d’écrire l’expression avec les deux parenthèses. C’est parce que nous avons quatre 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥 le tout au carré. Nous avons donc écrit l’expression pour avoir neuf 𝑥 plus cinq 𝑥 multiplié par quatre 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥 multiplié par quatre 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥.
Et maintenant ce que nous allons faire c’est réécrire cinq sur 𝑥 sous forme d’exposant. Et nous allons le faire en utilisant la règle selon laquelle 𝑥 à la puissance moins un est égal à un sur 𝑥. Maintenant, dans chacune des parenthèses, nous avons cinq 𝑥 à la puissance moins un comme dernier terme. Donc, ce que nous allons faire, c’est développer les parenthèses. Et pour développer les parenthèses, nous allons utiliser une autre règle d’exposants. C’est-à-dire que si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏, nous ajoutons les exposants. C’est donc 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏.
Par conséquent, le premier terme sera 16 𝑥 à la puissance quatre. Et c’est parce que quatre multiplié par quatre égale 16. Et puis 𝑥 carré multiplié par 𝑥 carré nous donne 𝑥 à la puissance quatre, car deux plus deux est égal à quatre. Et puis nous allons avoir plus 20𝑥. C’est parce que nous avons quatre 𝑥 au carré multiplié par cinq 𝑥 à la puissance moins un. Quatre multiplié par cinq égale 20.
Et puis, nous avons 𝑥 carré multiplié par 𝑥 à la puissance moins un. Deux plus moins un égale un. Nous avons donc juste 𝑥. Et puis nous avons encore plus 20𝑥, parce que nous avons de nouveau, plus cinq 𝑥 à la puissance moins un multiplié par quatre 𝑥 au carré. Enfin, nous avons plus 25 𝑥 à la puissance moins deux. Et c’est parce que nous avons cinq 𝑥 à la puissance moins un multiplié par cinq 𝑥 à la puissance moins un.
L’étape suivante consiste alors à rassembler les termes similaires. Nous avons deux termes en 𝑥 ici, donc nous pouvons les rassembler. En faisant cela, nous obtenons neuf 𝑥 plus cinq 𝑥 multiplié par 16 𝑥 à la puissance quatre plus 40𝑥. Et c’est parce que nous avons 20𝑥 plus 20𝑥 plus 25 𝑥 à la puissance moins deux. Maintenant, nous devons développer les parenthèses en multipliant cinq 𝑥 par chacun des termes à l’intérieur.
Le premier terme va donc être 80 𝑥 à la puissance cinq. Nous avons donc neuf 𝑥 plus 80 𝑥 à la puissance cinq. Et c’est parce que nous avons cinq 𝑥 multiplié par 16 𝑥 à la puissance quatre. Ensuite, plus 200 𝑥 au carré. Enfin, plus 125 𝑥 à la puissance moins un. Et c’est parce que si nous avons cinq 𝑥 multiplié par 25 𝑥 à la puissance moins deux. Mais si nous avons 𝑥 seul, c’est la même chose que 𝑥 à la puissance un. Nous avons donc un plus moins deux, ce qui nous donne une puissance ou exposant de moins un.
Maintenant, nous réécrivons notre fonction en exposants décroissants de 𝑥. Et nous l’avons maintenant sous une forme facile à dériver. Donc, dans la dérivée première, le premier terme sera 400 𝑥 à la puissance quatre. Et juste pour nous rappeler comment nous dérivons, nous multiplions l’exposant par le coefficient, donc cinq fois 80, ce qui nous donne notre 400. Et puis, nous soustrayons un à l’exposant. Nous obtenons donc cinq moins un, ce qui nous donne quatre. Nous avons donc obtenu 400 𝑥 à la puissance quatre.
Ensuite, plus 400𝑥 puis plus neuf parce que si nous dérivons neuf 𝑥, nous obtenons juste neuf. Enfin, moins 125 𝑥 à la puissance moins deux. Et c’est un signe moins parce que nous allons multiplier par l’exposant, qui est moins un. Donc, si nous multiplions 125 par moins un, nous obtenons moins 125.
Nous pouvons donc dire, que la dérivée première de la fonction 𝑦 égale neuf 𝑥 plus cinq 𝑥 multiplié par quatre 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥 le tout au carré est 400 𝑥 à la puissance quatre plus 400𝑥 moins 125 𝑥 à la puissance moins deux plus neuf.
