Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles remarquables Mathématiques

Déterminez la valeur de 𝜃 qui vérifie csc 𝜃 - √2 = 0, où 𝜃 ∈ (0, 𝜋/2).

03:25

Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de 𝜃 qui vérifie cosécante 𝜃 moins racine de deux égale zéro, où 𝜃 est compris entre zéro et 𝜋 sur deux.

Tout d’abord, rappelons la définition de cosécante 𝜃. Nous avons cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃. Maintenant, nous pouvons remplacer cela dans l’équation donnée dans la question. Et nous obtenons un sur sin 𝜃 moins racine de deux égale zéro. Ajouter racine de deux des deux côtés nous donne un sur sin 𝜃 égale racine de deux.

Et maintenant, si nous multiplions les deux côtés par sin 𝜃 et divisons les deux côtés par racine de deux, alors nous obtenons sin 𝜃 égale un sur racine de deux. Et à partir de là, nous pouvons voir que 𝜃 est égal à arc sinus de un sur racine de deux. En saisissant cela dans nos calculatrices, nous obtenons 𝜋 sur quatre radians.

Nous pouvons vérifier cette solution en dessinant un triangle rectangle avec un angle de 𝜋 sur quatre. Puisqu’il s’agit d’un triangle isocèle, nous pouvons étiqueter deux des côtés avec la longueur un, ce qui signifie que l’hypoténuse aura une longueur de racine de deux.

Et maintenant, nous pouvons utiliser SOHCAHTOA pour nous aider à trouver la valeur du sinus de 𝜋 sur quatre. Puisque nous cherchons le sinus d’un angle, nous allons devoir utiliser SOH. Et cela signifie que le sinus de 𝜃 est égal à opposé sur hypoténuse. L’angle qui nous intéresse est 𝜋 sur quatre. On l’appelle 𝜃.

Nous pouvons maintenant désigner le côté adjacent et l’hypoténuse par rapport à cet angle 𝜃. L’adjacent est le côté à côté de l’angle. L’opposé est le côté qui lui est opposé. Et l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Maintenant, nous avons sin 𝜋 sur quatre est égal à opposé sur hypoténuse. Soit un sur racine de deux. Et cela correspond bien à notre résultat précédent.

Enfin, il suffit de vérifier que notre valeur de 𝜃 est comprise entre zéro et 𝜋 sur deux. Pour cela, dessinons la courbe représentative de sinus. Voici la courbe 𝑦 égale sin 𝜃. Regardons la valeur en 𝜃 égale zéro et en 𝜃 égale 𝜋 sur deux. Nous pouvons hachurer les régions que nous excluons puisque nous ne sommes intéressés que par des valeurs entre zéro et 𝜋 sur deux.

Nous avons un sur racine de deux est à peu près égal à 0,7. Nous pouvons utiliser cela pour tracer la droite 𝑦 égale un sur racine de deux. Ainsi nous pouvons voir que notre solution pour 𝜃 est le point où la droite 𝑦 égale un sur racine de deux et la courbe 𝑦 égale sin 𝜃 se croisent. Cela se produit bien en 𝜋 sur quatre, conformément à ce que nous avons trouvé plus tôt.

Par conséquent, nous pouvons être sûrs que notre solution ici est 𝜃 égale 𝜋 sur quatre.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.