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Une particule se déplace le long de l’axe 𝑥 de sorte qu’après 𝑡 secondes son déplacement à partir de l’origine est donné par 𝑥 égale 10 sin de deux 𝑡 mètres, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Déterminez l’accélération de la particule lorsque 𝑥 est égal à moins cinq.
Dans cette question on nous donne une fonction pour le déplacement à l’instant 𝑡 secondes. Et on nous demande de trouver l’accélération de la particule. Avant de calculer l’accélération lorsque 𝑥 est égal à moins cinq mètres, commençons tout d’abord par trouver l’expression pour l’accélération de la particule. Et donc, commençons par rappeler que la vitesse est la variation du déplacement par rapport au temps. En termes de dérivées, on peut dire que 𝑣 est égal à d𝑥 sur d𝑡. De même, l’accélération est la variation de la vitesse par rapport au temps. Donc, en termes de dérivées, on l’écrit d𝑣 sur d𝑡. Puisque 𝑣 est d𝑥 sur d𝑡, on peut dire que l’accélération peut aussi s’écrire d deux 𝑥 sur d𝑡 au carré.
Alors, on nous dit que 𝑥 est égal à 10 sin de deux 𝑡. Dérivons cela deux fois par rapport à 𝑡 pour trouver l’expression pour l’accélération. Eh bien, on sait que la dérivée de sin 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 cos de 𝑎𝑥, où 𝑎 est une constante réelle et 𝑥 est mesurée en radians. Puisque 𝑥 est 10 sin de deux 𝑡, on peut dire que d𝑥 sur d𝑡 est 10 fois deux cos de deux 𝑡, ou 20 cos de deux 𝑡.
On va dériver encore une fois pour trouver l’expression pour l’accélération. Cependant, cette fois-là l’on fait usage de la dérivée de cos 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥, qui est moins 𝑎 sin de 𝑎𝑥. Ainsi, la dérivée seconde de 𝑥 par rapport à 𝑡 est 20 fois moins deux sin de deux 𝑡, ce qui est moins 40 sin de deux 𝑡.
La question nous demande de l’évaluer lorsque 𝑥 égale moins cinq. Donc, on doit déterminer la valeur de 𝑡 lorsque la particule est à ce point. Et donc, on revient à notre équation d’origine. On fait 𝑥 égal à moins cinq, et on va résoudre pour 𝑡. On divise par 10. Et on sait que moins cinq divisé par 10 est moins un demi. Donc, notre équation est moins un demi est égal à sin de deux 𝑡. Ensuite, l’on prend l’arc sin ou sin inverse des deux côtés tel que deux 𝑡 est égal à l’arc sin de moins un demi. Mais l’arc sin de moins un demi est moins 𝜋 sur six. Donc, on a deux 𝑡 est égal à moins 𝜋 sur six.
Et on utilise cela pour calculer la valeur de 𝑡. Mais si l’on revient à notre expression pour l’accélération, on voit bien qu’on a besoin de deux 𝑡 de toute façon. Et donc, on obtient que la dérivée seconde de 𝑥 par rapport à 𝑡, c’est-à-dire l’accélération, est moins 40 sinus de moins 𝜋 sur six, ce qui est moins 40 fois moins un demi, ce qui donne 20. L’accélération de la particule lorsque 𝑥 est égale à moins cinq mètres est 20 mètres par seconde carrée.
