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Déterminez si la matrice un, deux, trois, zéro, deux, un, deux, six, sept est inversible en vérifiant si le déterminant est non nul. Si le déterminant est non nul, calculez l’inverse à l’aide de la formule de l’inverse impliquant la matrice des cofacteurs.
Alors, la première chose est de rappeler comment se calcule le déterminant d’une matrice de dimension trois. Considérons le déterminant de la matrice de dimension trois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖. Nous avons 𝑎 multiplié par le déterminant de son mineur, qui est la sous-matrice de dimension deux, 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 moins 𝑏 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.
On peut se demander : comment s’obtiennent ces mineurs ou sous-matrices ? Allez-y, regardons rapidement le premier. Nous prenons l’élément de la première ligne et de la première colonne, qui est 𝑎. Eh bien, en supprimant tous les éléments de sa colonne et de sa ligne, il nous reste la sous-matrice de dimension deux 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Et nous utilisons la même méthode à chaque étape.
Très bien, nous savons maintenant calculer le déterminant d’une matrice de dimension trois. Alors, faisons-le, calculons le déterminant de cette matrice. Nous cherchons donc le déterminant de la matrice un, deux, trois, zéro, deux, un, deux, six, sept. Il est égal à un multiplié par le déterminant de la matrice (de dimension deux) deux, un, six, sept, moins deux multiplié par le déterminant de la matrice (de dimension deux) zéro, un, deux, sept plus trois multiplié par le déterminant de la matrice zéro, deux, deux, six.
C’est le moment de rappeler comment se calcule le déterminant d’une matrice de dimension deux. Alors, calculons le déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ; nous faisons un produit en croix, donc les produits 𝑎 par 𝑑 et 𝑏 par 𝑐, puis nous retranchons 𝑏𝑐 de 𝑎𝑑. Très bien, alors utilisons cela pour calculer le déterminant de la matrice.
Nous avons donc un multiplié par 14 moins six moins deux multiplié par zéro moins deux plus trois multiplié par zéro moins quatre, ce qui est égal à huit plus quatre moins 12, ce qui donne zéro. On constate que le déterminant est égal à zéro.
Donc, pour réponse à la question, il n’y a pas d’inverse car le déterminant est nul.
