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Lequel des choix suivants représente l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes ? S’agit-il de (A), 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un ? De (B) 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale 𝑐. De (C) 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. De (D) 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Ou de (E) 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 égale un.
Rappelons qu’il existe plusieurs façons d’écrire l’équation d’une droite. Par exemple, l’option (D) 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro est la forme cartésienne de l’équation d’une droite. Comme nous cherchons une forme comprenant les points d’intersection avec les axes, nous pouvons exclure cette proposition. La proposition (C) donne la forme réduite. On peut également parfois écrire 𝑦 égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou gradient de la droite, et 𝑏, ou 𝑐 dans cet exemple, est l’ordonnée à l’origine. Nous pouvons donc également exclure cette proposition.
Considérons la droite avec les deux points d’intersection avec les axes 𝑥 et 𝑦 représentée ici. Si cette droite coupe l’axe des 𝑥 en 𝑎 et l’axe des 𝑦 en 𝑏, nous savons que les coordonnées des points d’intersection sont 𝑎, zéro et zéro, 𝑏. Nous définissons ensuite l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère comme suit. L’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en 𝑎, zéro et l’axe des 𝑦 en zéro, 𝑏 est 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. La bonne réponse est la proposition (A).
Nous pouvons obtenir ce résultat comme suit. Commençons par rappeler que la pente, ou gradient d’une droite, est égale à 𝑦 indice deux moins 𝑦 indice un sur 𝑥 indice deux moins 𝑥 indice un, où 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux sont deux points de la droite. On appelle aussi parfois cela le rapport de la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. Sur le graphique, nous voyons que 𝑚 est égal à 𝑏 moins zéro sur zéro moins 𝑎. Cela se simplifie en 𝑏 sur moins 𝑎, qui peut également s’écrire moins 𝑏 sur 𝑎.
Ensuite, rappelons la forme point-pente de l’équation d’une droite. Cette équation est de la forme 𝑦 moins 𝑦 indice un est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 indice un. En remplaçant les valeurs de 𝑚, 𝑥 indice un et 𝑦 indice un, nous avons 𝑦 moins zéro est égal à moins 𝑏 sur 𝑎 multiplié par 𝑥 moins 𝑎. En développant le membre de droite, nous avons 𝑦 égal à moins 𝑏 sur 𝑎 fois 𝑥, plus 𝑏. Nous pouvons alors diviser par 𝑏, ce qui nous donne 𝑦 sur 𝑏 égale moins 𝑥 sur 𝑎, plus un. En ajoutant 𝑥 sur 𝑎 des deux côtés, nous obtenons l’équation initiale 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. Il s’agit de l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en 𝑎, zéro et l’axe des 𝑦 en zéro, 𝑏.
