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Vidéo de la leçon : Équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à formuler l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes des abscisses et des ordonnées.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à formuler l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes des abscisses et des ordonnées. Vous devez déjà être familier avec les autres formes sous lesquelles l’équation de la droite peut être exprimée. Une de ces formes est la forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 représente le coefficient directeur de la droite et 𝑏 représente son ordonnée à l’origine. Vous connaissez également peut-être la forme point-pente, 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑚 est le coefficient directeur de la droite comme précédemment et 𝑥 un, 𝑦 un sont les coordonnées d’un point quelconque appartenant à la droite.

Les différentes formes de l’équation d’une droite sont utiles dans différents contextes car elles révèlent différentes caractéristiques de la représentation graphique de la droite. Par exemple, il est très facile de déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une droite à partir de son équation réduite. Les différentes formes nous permettent de plus de trouver l’équation de la droite en fonction des informations dont nous disposons.

L’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère utilise le fait que la majorité des droites coupent les axes des abscisses et des ordonnées exactement une fois. Il y a cependant deux exceptions à cela: ce sont les droites horizontales et verticales, qui sont parallèles à un des axes du repère et ne le coupent donc pas. On ne peut donc pas écrire les équations des droites horizontales et verticales sous cette forme. Toutes les autres droites diagonales coupent chaque axe du repère exactement une fois. Appelons ces points 𝑎, zéro pour le point où la droite coupe l’axe des abscisses et zéro, 𝑏 pour le point où elle coupe l’axe des ordonnées. On appelle également 𝑏 son ordonnée à l’origine.

On peut ensuite définir l’équation de la droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère. L’équation de la droite qui coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏 est 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. La démonstration de cette forme de l’équation d’une droite est en fait relativement simple. On sait que le coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est défini par 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, c’est-à-dire la variation des 𝑦 sur la variation des 𝑥. Si on substitue les coordonnées des points d’intersection de notre droite avec les axes du repère, c’est-à-dire les points 𝑎, zéro et zéro, 𝑏, on obtient 𝑚 égale zéro moins 𝑏 sur 𝑎 moins zéro, ce qui se simplifie par moins 𝑏 sur 𝑎.

On rappelle ensuite que la forme point-pente de l’équation d’une droite est 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑚 est le coefficient directeur et 𝑥 un, 𝑦 un sont les coordonnées d’un point de la droite. En substituant le coefficient directeur que l’on vient de calculer et le point 𝑎, zéro pour 𝑥 un, 𝑦 un, on obtient 𝑦 moins zéro égale moins 𝑏 sur 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. On peut distribuer les parenthèses du membre droit pour obtenir 𝑦 égale moins 𝑏 sur 𝑎 𝑥 plus 𝑏. En divisant les deux membres de l’équation par 𝑏, on obtient 𝑦 sur 𝑏 égale moins 𝑥 sur 𝑎 plus un. Enfin, ajouter 𝑥 sur 𝑎 à chaque membre de l’équation donne 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. Et nous sommes maintenant arrivés à la l’équation de la droite qui coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏.

On peut remarquer que 𝑎 et 𝑏, les points d’intersection avec les axes du repère, sont aux dénominateurs des deux quotients. Cette forme nous permet donc d’identifier immédiatement les points d’intersection de la droite avec les axes du repère. On peut également faire l’opération inverse et déterminer l’équation de la droite à partir de ses points d’intersection avec les axes du repère. Nous allons maintenant étudier quelques exemples dans lesquels nous allons utiliser cette forme de l’équation d’une droite. Dans le premier exemple, nous allons nous entraîner à déterminer l’équation d’une droite sous cette forme à partir des coordonnées de ses points d’intersection avec les axes du repère.

Sachant qu’une droite coupe l’axe des abscisses en six, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, cinq, déterminez son équation.

Rappelons tout d’abord l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère. L’équation de la droite qui coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏 est 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. Il est indiqué que cette droite coupe l’axe des abscisses en six, zéro, donc la valeur de 𝑎 est six. Et qu’elle coupe l’axe des ordonnées en zéro, cinq, donc la valeur de 𝑏 est cinq. Substituer 𝑎 égale six et 𝑏 égale cinq dans la forme ci-dessus de l’équation d’une droite nous donne donc notre réponse. 𝑥 sur six plus 𝑦 sur cinq égale un.

Penchons-nous maintenant sur un exemple où nous devons suivre le raisonnement inverse. Nous allons donc voir comment identifier les points d’intersection d’une droite avec les axes du repère à partir de son équation.

Déterminez les coordonnées des points d’intersection avec l’axe des abscisses et avec l’axe des ordonnées de la droite 𝑥 sur trois moins 𝑦 sur deux égale un.

En observant attentivement la forme sous laquelle l’équation de cette droite est donnée, on remarque qu’elle ressemble beaucoup à l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère. Qui est de la forme 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un, où la droite coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏. En examinant de très près cette équation, on voit cependant qu’il y a un signe négatif plutôt que positif entre les deux termes du membre gauche. Nous devons donc manipuler cette équation pour qu’elle corresponde à la forme indiquée. Nous pourrons ensuite l’utiliser pour déterminer les coordonnées des points d’intersection avec les axes du repère.

On sait que soustraire 𝑦 sur deux équivaut à ajouter moins 𝑦 sur deux, ou de manière équivalente à ajouter 𝑦 sur moins deux. Écrire le signe moins au numérateur ou au dénominateur du quotient ne changera pas sa valeur. On peut donc prendre l’équation 𝑥 sur trois moins 𝑦 sur deux égale un et la reformuler par 𝑥 sur trois plus 𝑦 sur moins deux égale un. On a uniquement changé ce deuxième terme. Maintenant, on préfère généralement ne pas laisser de valeur négative au dénominateur d’un quotient comme celui-ci. Mais en le laissant ici, notre équation correspond exactement à l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère.

On peut donc déterminer leurs coordonnées en considérant les dénominateurs des deux quotients. Le dénominateur du terme en 𝑥 est trois, ce qui nous dit que la valeur de 𝑎 est trois, et donc que les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses sont trois, zéro. En pour le deuxième terme, on voit que le dénominateur de 𝑦 est moins deux. Cela nous indique que la valeur de 𝑏 est moins deux, et donc que les coordonnées de l’ordonnée à l’origine de la droite sont zéro, moins deux. En manipulant légèrement l’équation pour qu’elle corresponde parfaitement à l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère, nous avons trouvé que les coordonnées du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses sont trois, zéro et que les coordonnées de son ordonnée à l’origine sont zéro, moins deux.

Cet exemple a nécessité un peu de prudence car l’ordonnée à l’origine avait une valeur négative. Mais nous devons également faire attention si un des coefficients est une fraction.

Considérons la droite d’équation cinq 𝑥 plus sept 𝑦 égale un. On pourrait penser à première vue qu’il s’agit de l’équation de la droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère avec 𝑎 égal à cinq et 𝑏 égal à sept. On conclurait alors à tort que la droite coupe l’axe des abscisses en cinq, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, sept. En comparant soigneusement cette équation avec la forme qui s’affiche, on voit cependant que les termes en 𝑥 et 𝑦 doivent être divisés par les constantes qui représentent les points d’intersection avec les axes du repère, et non multipliés par celles-ci.

La petit astuce ici est que cinq 𝑥 est égal à 𝑥 divisé par un sur cinq. Cinq est en effet égal à un divisé par un sur cinq. De la même manière, sept 𝑦 égale 𝑦 divisé par un sur sept. Cette équation peut donc être réécrite par 𝑥 divisé par un sur cinq plus 𝑦 divisé par un sur sept égale un, et cette équation est maintenant sous la forme recherchée. Nous pouvons à présent conclure que la valeur de 𝑎 est un sur cinq, donc la droite coupe l’axe des abscisses au point un sur cinq, zéro. Et la valeur de 𝑏 est un sur sept, donc la droite coupe l’axe des ordonnées au point zéro, un sur sept.

Les équations de droites peuvent parfois être données sous d’autres formes, telles que la forme point-pente ou la forme réduite. Savoir passer d’une forme à l’autre est une compétence essentielle car les différentes formes permettent d’identifier différentes caractéristiques de la droite. Voyons maintenant un exemple dans lequel nous devons convertir l’équation réduite d’une droite dans sa forme en fonction des points d’intersection avec les axes du repère.

Écrivez l’équation de la droite 𝑦 égale moins deux 𝑥 plus six en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère.

Commençons par rappeler que l’équation de la droite qui coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏 est 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. Nous devons donc reformuler l’équation de l’énoncé. On commence par ajouter deux 𝑥 à chaque membre de l’équation, ce qui nous donne deux 𝑥 plus 𝑦 égale six. On a maintenant regroupé les termes en 𝑥 et 𝑦 sur un membre de l’équation et le terme constant sur l’autre membre. Mais cette équation n’est pas encore sous la forme demandée car le terme constant du membre droit doit être égal à un. On doit donc diviser les deux membres de l’équation par six. On obtient deux 𝑥 sur six plus 𝑦 sur six égale un.

Et on peut simplifier le premier quotient en annulant le diviseur commun deux au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne 𝑥 sur trois plus 𝑦 sur six égale un. Et cette équation est maintenant sous la forme requise. Bien que cela ne nous soit pas spécifiquement demandé, on peut l’utiliser pour déterminer les points d’intersection de cette droite avec les axes du repère. La valeur de 𝑎 est trois et la valeur de 𝑏 est six.

Comme nous l’avons vu dans cet exemple, il faut faire très attention à ne pas confondre l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère avec sa forme générale 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 égale 𝑐. À cette étape des calculs, notre équation était sous forme générale mais nous avons dû diviser chaque terme de l’équation par six pour obtenir la forme requise.

Voyons maintenant comment calculer le coefficient directeur d’une droite à partir de son équation. Lorsque nous avons déterminé l’équation de la droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère au début de cette leçon, nous avons en fait calculé son coefficient directeur. Et nous avons vu que le coefficient directeur de la droite passant par les points 𝑎, zéro et zéro, 𝑏 était égal à moins 𝑏 sur 𝑎. Il s’agit en réalité d’une propriété générale. Le coefficient directeur de la droite d’équation 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un qui coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏 est égal à moins 𝑏 sur 𝑎. Cette propriété générale est vraiment utile car elle nous permet de calculer le coefficient directeur d’une droite à partir de son équation sous cette forme sans avoir besoin de réorganiser l’équation ou de tracer sa représentation graphique.

Étudions maintenant un dernier exemple dans lequel nous devons calculer le coefficient directeur d’une droite et ses points d’intersection avec les axes du repère à partir de son équation.

La représentation graphique de l’équation 𝑥 sur quatre plus 𝑦 sur 12 égale un est une droite. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses? Quelles sont les coordonnées de l’ordonnée à l’origine de la droite? Quel est le coefficient directeur de la droite?

On remarque que l’équation donnée est sous la forme 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. Et on sait qu’une droite exprimée sous cette forme coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, b. On peut donc déterminer les coordonnées des points d’intersection de cette droite avec les axes du repère en comparant l’équation donnée et la forme générale; cela nous permettra de déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏, qui sont les dénominateurs des deux quotients. On voit d’abord que la valeur de 𝑎, c’est-à-dire la valeur par laquelle 𝑥 est divisé, est quatre donc les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des abscisses sont quatre, zéro. De même, la valeur de 𝑏 est 12 donc les coordonnées de l’ordonnée à l’origine sont zéro, 12.

On calcule ensuite le coefficient directeur de cette droite. On pourrait tout à fait le calculer en utilisant les coordonnées des deux points sur la droite que nous venons de déterminer. Ou on peut rappeler que le coefficient directeur d’une droite dont l’équation est exprimée sous cette forme est égal à moins 𝑏 sur 𝑎. La valeur de 𝑏 que nous venons de déterminer est 12 et la valeur de 𝑎 est quatre. On a donc 𝑚 égale moins 12 sur quatre, soit moins trois. Nous avons ainsi répondu au problème. Les coordonnées du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses sont quatre, zéro, les coordonnées de son ordonnée à l’origine sont zéro, 12 et son coefficient directeur est moins trois.

Terminons par récapituler certains des points clés de cette vidéo. L’équation de la droite qui coupe l’axe des abscisses en 𝑎, zéro et l’axe des ordonnées en zéro, 𝑏 est 𝑥 sur 𝑎 plus 𝑦 sur 𝑏 égale un. Les valeurs de 𝑎 et 𝑏 donnent les valeurs des points d’intersections de la droite avec les axes du repère. Le coefficient directeur d’une droite dont l’équation est donnée sous cette forme est égal à moins 𝑏 sur 𝑎. Nous avons également vu que l’on peut passer d’une forme d’équation de la droite à une autre en réarrangeant l’équation. Et il faut pour cela bien faire attention à distinguer la forme présentée ci-dessus et la forme générale 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 égale 𝑐.

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