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Fiche explicative de la leçon: Équation d’une droite : forme cartésienne Mathématiques • Première secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à formuler l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦.

Vous devez déjà connaître quelques-unes des différentes formes sous lesquelles l’équation d’une droite peut être exprimée. Nous rappelons ci-dessous celles que nous allons utiliser dans cette fiche explicative.

NomÉquationCaractéristiques
Forme réduite𝑦=𝑚𝑥+𝑏𝑚 = pente de la droite
𝑏 = ordonnée 𝑦 à l’origine
Forme point-pente𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥)𝑚 = pente de la droite
(𝑥;𝑦) = coordonnées d’un point quelconque de la droite
Forme standard𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐Pour des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐
Forme cartésienne𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0Pour des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐

Les différentes formes de l’équation d’une droite sont utiles dans différents contextes. Elles peuvent révéler différentes caractéristiques de la droite et de sa représentation graphique ou nous permettre de déterminer l’équation d’une droite à partir d’un ensemble particulier d’informations. Nous allons maintenant introduire une autre forme:l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère.

Définition : Équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère

L’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en (𝑎;0) et l’axe des 𝑦 en (0;𝑏) est 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,𝑎 et 𝑏0.

Cette forme de l’équation d’une droite est utile car elle nous permet d’identifier directement ses points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦 sans aucune manipulation. On peut alors utiliser les coordonnées de ces deux points à d’autres fins, comme pour tracer la droite ou calculer sa pente. Nous allons à présent expliquer comment obtenir l’équation d’une droite sous cette forme.

On rappelle que la pente de toute droite passant par les points de coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥.

Considérons maintenant une droite qui coupe l’axe des 𝑥 en (𝑎;0) et l’axe des 𝑦 en (0;𝑏), comme illustré sur la figure ci-dessous.

En substituant les coordonnées de ces deux points dans la formule de la pente, on trouve que la pente de cette droite est 𝑚=0𝑏𝑎0=𝑏𝑎.

On rappelle ensuite la forme point-pente de l’équation d’une droite, 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥). En substituant 𝑚=𝑏𝑎 et (𝑎;0) à (𝑥;𝑦), on a 𝑦0=𝑏𝑎(𝑥𝑎).

En distribuant les parenthèses puis en divisant les deux membres par 𝑏, on obtient 𝑦=𝑏𝑥𝑎+𝑏𝑦𝑏=𝑥𝑎+1.

Enfin, ajouter 𝑥𝑎 à chaque membre de l’équation donne 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1.

Il s’agit bien de l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en (𝑎;0) et l’axe des 𝑦 en (0;𝑏). On voit que 𝑎 et 𝑏 sont les dénominateurs des deux fractions;d’après l’équation d’une droite sous cette forme, on peut donc immédiatement identifier ses points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦. Réciproquement, à partir des points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦 d’une droite, on peut déterminer son équation sous cette forme.

Il y a cependant trois exceptions à connaître:les équations des droites horizontales et des droites verticales ne peuvent pas être exprimées sous cette forme. Ces deux types de droites sont parallèles à l’un des axes du repère et ne le coupent donc pas. On rappelle que l’équation d’une droite horizontale est 𝑦=𝑐 et que l’équation d’une droite verticale est 𝑥=𝑐, pour une constante 𝑐. Aucune de ces équations ne peut être réarrangée sous la forme étudiée dans cette fiche explicative. La troisième exception est représentée par les droites passant par l'origine (𝑎=𝑏=0) pour lesquelles le terme constant est 0 et donc elles ne peuvent non plus être écrites sur cette forme.

Nous allons maintenant étudier une série d’exemples dans lesquels nous allons utiliser cette forme de l’équation d’une droite. Dans le premier exemple, nous allons nous entraîner à écrire l’équation d’une droite à partir de ses points d’intersection avec les axes du repère.

Exemple 1: Déterminer l’équation d’une droite à partir de ses points d’intersection avec les axes du repère

Déterminez l’équation de la droite coupant l’axe des 𝑥 en (6;0) et l’axe des 𝑦 en (0;5).

Réponse

On rappelle d’abord que l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en (𝑎;0) et l’axe des 𝑦 en (0;𝑏) est 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1.

Comme cette droite coupe l’axe des 𝑥 en (6;0), la valeur de 𝑎 est 6. De plus, elle coupe l’axe des 𝑦 en (0;5), donc la valeur de 𝑏 est 5. En remplaçant 𝑎=6 et 𝑏=5 dans l’équation ci-dessus, on obtient 𝑥6+𝑦5=1.

Nous avons vu comment écrire l’équation d’une droite à partir de ses points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦. Nous allons maintenant effectuer l’opération réciproque:identifier les points d’intersection d’une droite avec les axes des 𝑥 et des 𝑦 à partir de son équation. Dans l’exemple que nous allons maintenant étudier, nous devrons faire preuve de prudence car l’ordonnée à l’origine est négative.

Exemple 2: Déterminer les points d’intersection d’une droite avec les axes du repère à partir de son équation

Déterminez les coordonnées des points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦 de la droite 𝑥3𝑦2=1.

Réponse

On remarque que l’équation de cette droite ressemble beaucoup à l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère:𝑥𝑎+𝑦𝑏=1, où la droite coupe l’axe des 𝑥 en (𝑎;0) et l’axe des 𝑦 en (0;𝑏). L’équation donnée comporte cependant un signe de soustraction, plutôt que d’addition, entre les deux termes sur le membre gauche.

On peut alors manipuler légèrement l’équation pour qu’elle corresponde mieux à l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère. Le terme 𝑦2 est équivalent à 𝑦2 donc l’équation peut être réécrite comme suit 𝑥3+𝑦2=1.

Bien qu’on préfère normalement ne pas laisser une valeur négative au dénominateur d’une fraction, cette forme correspond maintenant totalement à l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère. On peut donc déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏 grâce aux dénominateurs des deux fractions. La valeur de 𝑎 est 3 et la valeur de 𝑏 est 2, donc les coordonnées des points d’intersection de la droite avec les axes des 𝑥 et des 𝑦 sont respectivement (3;0) et (0;2).

Il n’est pas strictement nécessaire de convertir l’équation d’une droite sous cette forme pour déterminer ses points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦. Comme les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 sont (𝑎;0), il est également possible de substituer la valeur 0 à 𝑦 dans l’équation d’une droite sous n’importe quelle forme puis de la résoudre pour déterminer la valeur de 𝑎. De même, substituer 0 à 𝑥 nous permettrait de déterminer 𝑏 et donc l’ordonnée 𝑦 à l’origine.

Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, il faut être très prudent lorsque l’on détermine les points d’intersection d’une droite avec les axes des 𝑥 ou des 𝑦 si une des deux coordonnées est négative. Nous devons également faire attention si une coordonnée d’un des deux points d’intersection est une fraction. Considérons par exemple la droite d’équation 5𝑥+7𝑦=1.

On pourrait penser à tort qu’il s’agit de l’équation de cette droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère avec 𝑎=5 et 𝑏=7, et en déduire que la droite coupe l’axe des 𝑥 en (5;0) et l’axe des 𝑦 en (0;7). En comparant cette équation avec l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère, on voit cependant que les termes en 𝑥 et 𝑦 doivent être divisés par les constantes qui représentent les points d’intersection avec les axes des 𝑥 et des 𝑦, et non multipliés par celles-ci. Bien que ce ne soit pas une expression élégante, on peut exprimer 5𝑥 par 𝑥 comme on le voit ci-dessous:𝑥=𝑥÷15=𝑥×51=5𝑥.

De même, 7𝑦 peut être exprimé par 𝑦. L’équation 5𝑥+7𝑦=1 peut ainsi être reformulée par 𝑥+𝑦=1, et on voit maintenant que la droite coupe l’axe des 𝑥 en 15;0 et l’axe des 𝑦 en 0;17.

Les équations sont parfois données sous d’autres formes, telles que la forme point-pente ou réduite. Savoir passer d’une forme à l’autre est une compétence essentielle car les différentes formes permettent d’identifier différentes caractéristiques de la droite.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment convertir l’équation réduite d’une droite en une équation en fonction des points d’intersection de la droite avec les axes du repère.

Exemple 3: Déterminer l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère

Déterminez l’équation de la droite 𝑦=2𝑥+6 en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère.

Réponse

L’équation de cette droite est donnée sous forme réduite 𝑦=𝑚𝑥+𝑏, 𝑚 représente la pente de la droite et 𝑏 représente son ordonnée 𝑦 à l’origine. On rappelle que l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère est 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,𝑎 est le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 de la droite et 𝑏 est son ordonnée 𝑦 à l’origine. Nous devons donc réarranger l’équation donnée dans la forme adéquate.

On commence par ajouter 2𝑥 à chaque membre de l’équation, ce qui donne 2𝑥+𝑦=6.

On a ainsi regroupé les termes en 𝑥 et 𝑦 sur un membre de l’équation et le terme constant sur l’autre. Pour que l’équation soit sous la forme désirée, le terme constant doit être égal à 1. En divisant les deux membres par 6, on obtient alors 2𝑥6+𝑦6=1.

Enfin, on simplifie la première fraction en annulant le diviseur commun 2 au numérateur et au dénominateur:𝑥3+𝑦6=1.

Il est important de veiller à ne pas confondre l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère avec sa forme standard 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐. Dans l’exemple précédent, nous avons manipulé l’équation de la droite pour obtenir 2𝑥+𝑦=6 à une étape des calculs. Cela ne correspondait cependant pas à la forme recherchée car la constante à droite de l’équation n’était pas égale à 1. On rappelle que si la constante du membre droit de l’équation est égale à une constante quelconque 𝑐 différente de 1, il faut diviser chaque terme de l’équation par 𝑐 avant de pouvoir l’utiliser pour déterminer les points d’intersection de la droite avec les axes des 𝑥 et des 𝑦.

Bien que cela n’était pas demandé dans l’exemple précédent, nous aurions pu utiliser l’équation obtenue pour identifier les points d’intersection de la droite avec les axes des 𝑥 et des 𝑦. Le terme en 𝑥3 révèle que la droite coupe l’axe des 𝑥 en (3;0) et le terme en 𝑦6 révèle que la droite coupe l’axe des 𝑦 en (0;6). Comme l’équation de la droite était initialement donnée sous forme réduite, nous aurions pu facilement identifier son ordonnée 𝑦 à l’origine mais son point d’intersection avec l’axe des 𝑥 n’aurait pas été aussi évident.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment trouver l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère à partir de sa représentation graphique.

Exemple 4: Déterminer l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère à partir de sa représentation graphique

Déterminez l’équation de la droite représentée ci-dessous. Donnez votre réponse sous la forme 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1.

Réponse

On reconnaît que la forme sous laquelle la réponse est demandée est l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère:𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,(𝑎;0) sont les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des 𝑥 et (0;𝑏) sont les coordonnées de son ordonnée 𝑦 à l’origine.

Sur le graphique, on voit que la droite coupe l’axe des 𝑥 au point (3;0) et l’axe des 𝑦 au point (0;9). Par conséquent, les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont respectivement 3 et 9. En remplaçant 𝑎=3 et 𝑏=9 dans la forme demandée, on obtient 𝑥3+𝑦9=1.

Nous avons vu précédemment dans la démonstration de l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère que la pente d’une droite exprimée sous cette forme est égale à 𝑏𝑎. On peut également le démontrer en réarrangeant l’équation d’une droite donnée sous cette forme sous la forme réduite 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. En commençant par l’équation 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1, on isole 𝑦 en soustrayant 𝑥𝑎 à chaque membre, ce qui donne 𝑦𝑏=𝑥𝑎+1.

Multiplier les deux membres par 𝑏 donne 𝑦=𝑏𝑎𝑥+𝑏.

Cette équation est maintenant sous forme réduite et on rappelle que le coefficient de 𝑥 représente la pente de la droite. On voit donc à nouveau que la pente de la droite 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1 est 𝑏𝑎. Ce résultat est utile car il nous permet d’identifier directement la pente d’une droite dont l’équation est donnée en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère sans avoir à la manipuler.

Théorème : Pente d’une droite dont l’équation est exprimée en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère

La pente d’une droite exprimée sous la forme 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1, (𝑎;0) sont les coordonnées de son point d’intersection avec l’axe des 𝑥 et (0;𝑏) sont les coordonnées de son ordonnée 𝑦 à l’origine, est 𝑏𝑎.

Étudions un dernier exemple dans lequel nous devons déterminer les points d’intersection d’une droite avec les axes du repère à partir de son équation.

Exemple 5: Identifier les points d’intersection d’une droite avec les axes du repère à partir de son équation

La représentation graphique de l’équation 𝑥4+𝑦12=1 est une droite.

  • Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des 𝑥?
  • Quelles sont les coordonnées de l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite?
  • Quelle est la pente de la droite?

Réponse

On reconnaît que l’équation de cette droite est donnée en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère:𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,(𝑎;0) sont les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des 𝑥 et (0;𝑏) sont les coordonnées de son ordonnée 𝑦 à l’origine. En comparant l’équation donnée avec l’équation générale ci-dessus, on constate que 𝑎=4 et 𝑏=12. Par conséquent, les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des 𝑥 sont (4;0) et les coordonnées de son ordonnée 𝑦 à l’origine sont (0;12).

On rappelle maintenant que la pente d’une droite exprimée sous cette forme est 𝑏𝑎. En utilisant les valeurs de 𝑎 et 𝑏 que l’on vient de déterminer, la pente 𝑚 est 𝑚=𝑏𝑎=124=3.

Par conséquent, les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des 𝑥 sont (4;0), les coordonnées de son ordonnée 𝑦 à l’origine sont (0;12) et sa pente est 3.

Terminons par résumer certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • L’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en (𝑎;0) et l’axe des 𝑦 en (0;𝑏) est 𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,𝑎 et 𝑏0.
  • La pente d’une droite exprimée sous cette forme est 𝑏𝑎.
  • On peut convertir l’équation d’une droite en fonction de ses points d’intersection avec les axes du repère en toute autre forme, et inversement.

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