Lesson Video: Propriétés de multiplication dans l’ensemble des nombres rationnels Mathématiques • First Year of Preparatory School

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les principales propriétés de multiplication dans l’ensemble des nombres rationnels. Et nous rappelons, bien sûr, qu’un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit sous la forme 𝑎 sur 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers relatifs ; ce sont des nombres entiers. Connaître ces propriétés est vraiment importante car cela peut nous aider à résoudre des problèmes qui pourraient sembler assez délicats au départ.

Il existe six propriétés de la multiplication qui peuvent faciliter la résolution de problèmes. La première est la commutativité. Elle indique que lorsque deux nombres sont multipliés ensemble, le résultat est le même quel que soit l’ordre de la multiplication. Ainsi, par exemple, deux fois trois est égal à trois fois deux. La propriété suivante est l’associativité. Et cette fois, nous savons que lorsque trois nombres ou plus sont multipliés, le produit est le même quel que soit le regroupement des nombres. Ainsi, par exemple, deux fois trois et ensuite fois quatre égale deux multiplié par trois fois quatre.

Ensuite, nous avons l’élément neutre de la multiplication. Cela signifie simplement que lorsque nous multiplions n’importe quel nombre par un, nous obtenons ce nombre. Donc, cinq fois un égale cinq. La propriété de l’élément absorbant de la multiplication nous dit que le produit d’un nombre rationnel par zéro est zéro. Ainsi, par exemple, cinq fois zéro est zéro. Ensuite, nous avons la distributivité. Celle-ci dit que la somme de deux nombres multipliés par un troisième nombre est égale à la somme de chacun de ces nombres multiplié individuellement par ce troisième nombre. En d’autres termes, c’est ici que nous avons affaire aux parenthèses. Ainsi, trois plus quatre fois deux est égal à trois fois deux plus quatre fois deux.

Notre sixième et dernière propriété est l’inverse d’un nombre. Et celle-ci dit que le produit d’un nombre rationnel par son inverse est un. Donc, cinq fois un cinquième est égal à un. Essentiellement, quand nous disons l’inverse, c’est juste une autre façon de dire la réciproque. Commençons par identifier certaines de ces propriétés à partir d’exemples.

Quelle est la propriété de multiplication utilisée dans l’équation moins quatre neuvièmes fois moins neuf sur quatre égal à un ?

Identifions ce qui se passe réellement dans ce problème de multiplication. Nous prenons un nombre rationnel, moins quatre neuvièmes, et nous le multiplions par moins neuf sur quatre. Nous devons donc nous demander quelle est la relation entre moins quatre neuvièmes et moins neuf sur quatre. Eh bien, nous savons que pour trouver l’inverse d’un nombre, nous divisons un par ce nombre. Ainsi, l’inverse de moins quatre neuvièmes est un divisé par moins quatre neuvièmes, et c’est égal à moins neuf sur quatre.

Une autre façon de déterminer l’inverse d’un nombre sous forme fractionnaire est de changer simplement le numérateur et le dénominateur. Ainsi, on multiplie un nombre par son inverse et on obtient un. Un autre mot que nous avons ou une expression que nous avons pour le mot réciproque est l’inverse. On l’appelle ainsi parce que lorsque nous trouvons l’inverse, nous annulons essentiellement une opération. Et dans ce cas, nous la multiplions par quelque chose qui nous donne le résultat un. Ainsi, la propriété de multiplication utilisée ici est l’inverse d’un nombre. Cela signifie que si nous multiplions un nombre rationnel par son inverse, nous obtiendrons un.

Voyons un autre exemple.

Quelle est la propriété de la multiplication utilisée dans la somme huit fois zéro égale zéro ?

Dans cet exemple, nous trouvons le produit du nombre huit par zéro. Huit est un nombre rationnel. Et nous voyons que le produit de ce nombre rationnel par zéro est zéro. Ceci a un nom particulier. Comme nous trouvons le produit d’un nombre rationnel par zéro, nous l’appelons la propriété de l’élément absorbant. Et donc, c’est la propriété de multiplication utilisée dans ce problème. Et elle indique que le produit de tout nombre rationnel par le nombre zéro est zéro.

Quelle est la propriété de multiplication utilisée dans la somme quatre fois un égale quatre ?

Ici, nous avons le produit du nombre quatre par le nombre un. Et nous voyons que le résultat est en fait égal au premier nombre. Il est égal à quatre. Alors comment appelle-t-on cela ? Eh bien, c’est la propriété de l’élément neutre. Cette propriété nous dit que le produit de tout nombre rationnel par un est ce nombre rationnel. Ici, quatre est le nombre rationnel, et nous obtenons quatre lorsque nous le multiplions par un.

Maintenant que nous nous sommes entraînés à identifier certaines de ces propriétés, nous allons voir comment leur application peut nous aider à simplifier les problèmes.

Complétez : trois fois sept plus trois fois neuf égale « espace vide » fois sept plus neuf.

Examinons attentivement ce qui se passe ici. Nous avons la somme de deux produits. N’oubliez pas que le produit est la multiplication de deux nombres. Nous additionnons trois fois sept et trois fois neuf. Remarquez comment chacun de ces produits a un diviseur commun de trois. Cela devrait nous faire penser à la distributivité de la multiplication. Cela signifie que la somme de deux nombres multipliés par un troisième nombre est égale à la somme de chacun de ces nombres multiplié individuellement par ce troisième nombre. Par exemple, deux plus trois fois quatre est égal à deux fois quatre plus trois fois quatre. Vous pourriez considérer cela comme une sorte de distribution de parenthèses. Nous prenons le quatre, et nous le multiplions par chaque valeur à l’intérieur de nos parenthèses.

Cela ressemble donc un peu à ce que nous avons dans notre question, mais nous allons inverser ce processus. Dans la partie droite de notre somme, nous avons quelque chose fois sept plus neuf. Voici le sept, et voici le neuf, et ils sont tous deux multipliés par trois. Puis nous trouvons la somme. Cela signifie que cette somme doit être égale à sept plus neuf, le tout multiplié par trois. Et donc le trois doit aller dans l’espace vide. Vérifions cela en inversant le processus. Nous allons multiplier le trois par le sept puis le trois par le neuf. Et nous voyons que trois fois sept plus neuf, c’est la même chose que trois fois sept plus trois fois neuf.

Nous pouvons vérifier cela davantage en calculant la réponse aux deux parties de cette somme. Sept plus neuf font 16. La partie gauche est donc trois fois 16, soit 48. Ensuite, trois fois sept font 21, et trois fois neuf font 27. Le côté droit est donc 21 plus 27, ce qui donne également 48. Et nous voyons que les deux côtés de cette équation sont effectivement égaux. Donc, le nombre qui va dans notre espace vide est trois.

Nous allons maintenant considérer une autre propriété de la multiplication.

Quelle équation montre la commutativité de la multiplication ? Est-ce (A) deux tiers fois un égale deux tiers ? (B) 0,5 fois trois égale 0,5 plus 0,5 plus 0,5 ? (C) 3,5 fois deux égale deux fois 3,5 ? (D) un demi fois quatre moins un quart fois quatre égale un demi moins un quart fois quatre ? Ou bien (E) un demi fois un quart fois deux tiers égale un demi fois un quart fois deux tiers ?

Rappelons ce que nous entendons par la commutativité de la multiplication. La commutativité indique que lorsque deux nombres sont multipliés ensemble, le résultat sera le même quel que soit l’ordre des nombres. Par exemple, deux fois trois équivaut à trois fois deux. Et en fait, c’est une propriété très utile. Par exemple, si vous savez que vous n’êtes pas sûr d’une certaine table de multiplication, alors savoir que trois fois sept égale sept fois trois signifie que vous pouvez penser à la table de multiplication que vous connaissez par cœur. Alors, lequel de ces exemples montre cette propriété ? Eh bien, ce n’est pas (A). En fait, (A) est la propriété de l’élément neutre. Cela signifie que si vous multipliez un nombre par un, vous obtenez le nombre initial.

Est-ce (B) 0,5 fois trois est 0,5 plus 0,5 plus 0,5 ? Eh bien non, cela nous montre simplement que nous pouvons considérer la multiplication comme une addition répétée. Alors, qu’en est-il de (C) 3,5 fois deux égale deux fois 3,5 ? Eh bien, oui, nous avons montré que le résultat est le même, même si nous changeons l’ordre dans lequel nous effectuons la multiplication. Donc, c’est (C). Voyons maintenant (D) et (E). (D) dit que un demi fois quatre moins un quart fois quatre égale la différence entre un demi et un quart fois quatre. C’est ce qu’on appelle la distributivité de la multiplication.

Et enfin, (E) semble correct, mais en fait, tout cela est lié au regroupement. C’est ce qu’on appelle l’associativité. Elle indique que lorsque trois nombres ou plus sont multipliés ensemble, le produit est le même, quelle que soit la façon dont ces nombres sont regroupés. Notez que nous utilisons les parenthèses pour montrer le regroupement ici. La réponse à cette question est donc (C). La commutativité de la multiplication est démontrée par l’équation 3,5 fois deux égale deux fois 3,5.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment nous pouvons simplifier un calcul qui semble plutôt désagréable en utilisant une combinaison de ces propriétés.

Calculez huit multiplié par 94 fois sept multiplié par un huitième.

Maintenant, ce que nous n’allons pas faire, c’est effectuer les calculs à l’intérieur de nos parenthèses. Oui, l’ordre des opérations nous indique généralement de le faire, mais nous pouvons utiliser ici ce qu’on appelle l’associativité. L’associativité indique que lorsque nous multiplions trois nombres ou plus, le résultat est le même, quelle que soit la façon dont ces nombres sont regroupés. Nous allons donc regrouper huit et un huitième, et aussi 94 et sept. Et donc, c’est la même chose que huit fois un huitième fois 94 fois sept.

À ce stade, vous vous demandez peut-être pourquoi cela facilite notre tâche. Eh bien, regardons huit fois un huitième. La propriété de l’inverse d’un nombre dit que le produit d’un nombre et de son inverse est égal à un. Eh bien, l’inverse de huit est un huitième, donc huit fois un huitième doit être égal à un. Et donc ce problème devient un fois 94 fois sept. Mais la propriété de l’élément neutre dit alors que si nous multiplions quelque chose par un, alors le résultat est exactement ce nombre initial. Et donc, un fois 94 fois sept doit être égal à 94 fois sept. Mais que faisons-nous maintenant ?

Eh bien, nous allons utiliser la distributivité. Cela signifie que la somme de deux nombres multipliée par un troisième nombre est égale à la somme de chacun de ces nombres multiplié individuellement par ce troisième nombre. Et donc nous allons écrire 94 comme 90 plus quatre. Et nous allons ensuite multiplier ce chiffre par sept en multipliant d’abord 90 par sept, puis en multipliant quatre par sept. Ainsi, notre problème devient 90 fois sept plus quatre fois sept. Eh bien, neuf fois sept égale 63, donc 90 fois sept égale 630. Ensuite, quatre fois sept est 28, donc nous obtenons 630 plus 28, ce qui égale 658. Huit fois 94 fois sept fois un huitième égale 658.

Nous allons maintenant récapituler les parties clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons appris que les propriétés de la multiplication dans l’ensemble des nombres rationnels peuvent nous aider à résoudre des problèmes assez difficiles. Nous avons la commutativité, et cela signifie que lorsque deux nombres sont multipliés ensemble, le résultat est le même quel que soit l’ordre dans lequel nous le faisons. Par exemple, quatre fois deux est égal à deux fois quatre. Nous avons l’associativité, et cela signifie que lorsque nous multiplions trois nombres ou plus ensemble, l’ordre dans lequel nous les regroupons n’a pas d’importance. Ainsi, par exemple, deux fois trois fois quatre serait égal à deux fois trois fois quatre.

Nous avons ensuite la propriété du nombre inverse. Cela signifie que si nous multiplions un nombre par son inverse, nous obtenons un. Ensuite, il y a la propriété de l’élément neutre. Cela signifie que si nous multiplions un nombre par un, nous obtenons le nombre initial. Nous avons la propriété de l’élément absorbant. Et cela veut dire que si nous multiplions un nombre par zéro, nous obtenons zéro. Et enfin, il y a la distributivité. Cela veut dire que la somme de deux nombres fois un troisième nombre est égale à la somme de chacun de ces nombres multiplié par le troisième nombre. Ainsi, par exemple, deux plus trois fois quatre est égal à deux fois quatre plus trois fois quatre.