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L’image de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale 𝑎 cos de trois 𝜃 est l’intervalle fermé moins cinq sur quatre, cinq sur quatre. Trouvez la valeur de 𝑎 sachant que 𝑎 est strictement supérieur à zéro.
L’image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de sortie possibles. Ainsi, puisque l’intervalle de la fonction est l’intervalle fermé moins cinq sur quatre, cinq sur quatre, on peut dire que 𝑎 cosinus de trois 𝜃 est toujours supérieur ou égal à moins cinq sur quatre et inférieur ou égal à cinq sur quatre. Cependant, en quoi cela nous est utile ? Considérons simplement le cosinus de 𝜃. L’image de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale cosinus de 𝜃 est l’intervalle fermé moins un, un. On peut donc dire que cosinus 𝜃 est toujours supérieur ou égal à moins un et inférieur ou égal à un.
Si on multiplie 𝜃 par trois, quel est l’effet sur l’image de la fonction ? Bien, si on transforme la fonction cosinus 𝜃 en cosinus de trois 𝜃, on sait qu’il s’agit d’un étirement horizontal de facteur un tiers. Cela ne change pas l’image donc cela ne change pas les valeurs de sortie. On obtient toujours des valeurs supérieures ou égales à moins un et inférieures ou égales à un.
Notre fonction est 𝑎 cosinus de trois 𝜃. À quelle transformation a-t-on affaire ? Pour transformer cosinus de trois 𝜃 en 𝑎 fois cosinus trois 𝜃, on réalise un étirement vertical de facteur 𝑎. Ça implique que la valeur image minimale est maintenant moins 𝑎, soit moins une fois 𝑎, et la valeur image maximale est 𝑎, soit une fois 𝑎. On peut maintenant comparer l’inéquation initiale à la nouvelle inéquation. On voit qu’on a 𝑎 cosinus de trois 𝜃 dans chaque inégalité. On a moins cinq quarts et moins 𝑎 et cinq quarts et 𝑎. On peut donc en déduire que 𝑎 est égal à cinq sur quatre. Ce qui est en effet supérieur à zéro, comme demandé. Ainsi, 𝑎 est égal à cinq sur quatre.
