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Sur la figure ci-dessous, le segment AB est contenu dans le plan 𝑋 et le segment 𝐴𝐶 est perpendiculaire à 𝑋. Sachant que 𝐴𝐵 est égal à six et que 𝐴𝐶 est égal à huit, calculez la longueur du segment 𝐵𝐶.
Commençons par ajouter ce que nous savons à notre schéma. On nous dit que 𝐴𝐵 est égal à six. Donc le segment AB doit mesurer six unités de longueur. De même, 𝐴𝐶 est égal à huit. Donc le segment 𝐴𝐶 mesure huit unités. Nous cherchons à trouver la longueur du segment 𝐵𝐶, comme illustré. Nous devons donc utiliser la dernière information de l’énoncé. Qui nous indique que le segment 𝐴𝐵 se situe dans le plan 𝑋. Et que le segment 𝐴𝐶 est perpendiculaire à ce même plan. Cela signifie donc que le segment 𝐴𝐵 doit être perpendiculaire au segment 𝐴𝐶. Autrement dit, 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 forment un angle droit.
J’ai redessiné ici le triangle rectangle afin que nous puissions voir ce qui se passe un peu plus en détail. En nommant le côté inconnu 𝑎, nous voyons que nous connaissons la longueur des deux côtés les plus courts du triangle rectangle. Et 𝑎 est son hypoténuse. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du côté inconnu. Il stipule que la somme des carrés des deux côtés les plus courts doit être égale au carré du côté le plus long. On le note généralement 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Mais dans notre triangle, le côté le plus long est 𝑎. On peut donc dire que 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré. En remplaçant les longueurs de notre triangle, on trouve que huit au carré plus six au carré est égal à 𝑎 au carré.
Et vous avez déjà peut-être reconnu un triplet pythagoricien. Mais nous allons tout de même résoudre l’équation. Huit au carré égale 64. Et six au carré égale 36. Leur somme est donc égale à 100. Nous avons ainsi 𝑎 au carré égale 100. Et nous pouvons résoudre cette équation en prenant la racine carrée de 100. Rappelez-vous que nous n’avons pas besoin de calculer la racine carrée positive et la racine carrée négative car il s’agit d’une longueur. 𝑎 doit absolument être positif. En calculant donc la racine carrée de 100, on obtient 10. La longueur de 𝐵𝐶 est donc de 10 unités. Maintenant, six, huit et 10 forment en fait un triplet pythagoricien. On sait que six au carré plus huit au carré égale 10 au carré. Nous aurions donc pu en déduire assez rapidement que 𝑎 était égal à 10. Mais résoudre l’équation est bien sûr une autre méthode tout à fait valide.
