Vidéo de question : Déterminer les facteurs des déterminants Mathématiques

Déterminez un facteur du déterminant. |𝑥 - 4, −8, 𝑥 - 8 et 𝑥 + 1, 𝑥 + 1, 5 et 4, 8, 𝑥 + 8|.

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Déterminez un facteur du déterminant de cette matrice.

Afin de déterminer un facteur du déterminant, nous devons trouver le déterminant. Nous allons utiliser cette première ligne et suivre la règle plus, moins, plus ; nous devons prendre 𝑥 moins quatre et le multiplier par le déterminant de cette matrice deux par deux. Comme ceci, nous soustrairons cela de moins huit fois la matrice deux par deux qui exclut sa colonne et sa ligne. La matrice deux par deux que nous multiplierons par moins huit est 𝑥 plus un quatre, cinq et 𝑥 plus huit.

Ensuite nous ajouterons 𝑥 moins huit fois la matrice deux par deux qui exclut sa ligne et sa colonne. Nos étapes restantes seront complètement calculatoires, mais nous devrons les suivre attentivement et nous assurer que nous utilisons les signes corrects. Et voilà ! En partant de la gauche, 𝑥 moins quatre le tout multiplié par 𝑥 plus un fois 𝑥 plus huit moins cinq fois huit. Et avant de passer à l’étape suivante, allons de l’avant et simplifions complètement cette expression.

Nous devons utiliser la distributivité pour développer 𝑥 plus un par 𝑥 plus huit. 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. 𝑥 fois huit égale plus huit 𝑥. Un fois 𝑥 égale plus un 𝑥. Un fois huit est égal à plus huit. En combinant les termes similaires ici, 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus huit. Si nous remontons plus haut, nous remarquerons que nous avons cinq fois huit ici. Cinq fois huit est égal à 40. Nous voulons donc soustraire 40. Nous ne pouvons pas oublier notre terme 𝑥 moins quatre qui traîne là-haut.

Nous avons 𝑥 moins quatre multiplié par le déterminant de cette matrice deux par deux, qui était 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins 32. Nous devons multiplier ce terme 𝑥 moins quatre. 𝑥 fois 𝑥 au carré est égal à 𝑥 au cube. 𝑥 fois neuf 𝑥 est égal à neuf 𝑥 au carré. 𝑥 fois moins 32 est égal à moins 32𝑥. Moins quatre fois 𝑥 au carré, moins quatre 𝑥 au carré. Moins quatre fois neuf 𝑥, moins 36𝑥. Et moins quatre fois moins 32 est égal à 128. Nous pouvons simplifier à nouveau en combinant les termes similaires.

Il n’y a pas d’autres termes en 𝑥 au cube, alors nous le posons ici. Nous avons deux termes en 𝑥 au carré. Neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 au carré est égal à plus cinq 𝑥 au carré. Nous avons deux termes en 𝑥. Moins 32 plus moins 36 donne moins 68𝑥. Et il n’y a rien à combiner avec 128. Nous posons donc ceci ici. Ce processus doit être fait trois fois et nous venons de l’achever pour la première. Concernant le moins huit, remarquez que nous soustrayons moins huit. Nous pouvons donc le changer en plus huit.

Et nous allons multiplier ce plus huit par le déterminant 𝑥 plus un fois 𝑥 plus huit moins quatre fois cinq. Nous commençons à l’intérieur des crochets. 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. 𝑥 fois huit, huit 𝑥. Un fois 𝑥, un 𝑥. Et un fois huit égale huit. Combinez les termes similaires. 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus huit. Notre prochaine multiplication est quatre fois cinq, ce qui est égal à 20. Nous allons soustraire 20 de 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus huit. Maintenant nous avons 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins 12.

Nous avons ce plus huit qui attend que nous le multiplions. Distribuez le huit sur les trois termes. Huit fois 𝑥 au carré, huit 𝑥 au carré. Huit fois neuf 𝑥, 72𝑥. Huit fois moins 12, moins 96. Il s’agit de la deuxième partie de notre déterminant, maintenant attaquons la troisième. Nous prenons 𝑥 moins huit et le multiplions par le déterminant de la matrice deux par deux 𝑥 plus un fois huit moins 𝑥 plus un fois quatre. En travaillant à l’intérieur des crochets, huit fois 𝑥 égale huit 𝑥 . Huit fois un est égal à huit. De l’autre côté, quatre fois 𝑥 égale quatre 𝑥. Quatre fois un est égal à quatre.

Nous soustrayons quatre 𝑥 plus quatre de huit 𝑥 plus huit. Nous devons nous assurer que nous appliquons ce signe négatif aux termes quatre 𝑥 et quatre. Combinez les termes similaires. Huit 𝑥 moins quatre 𝑥 égale plus quatre 𝑥. Plus huit moins quatre égale quatre. Nous avons encore ce terme 𝑥 moins huit par lequel nous devons multiplier. 𝑥 fois quatre 𝑥 égale quatre 𝑥 au carré. 𝑥 fois quatre égale plus quatre 𝑥. Moins huit fois quatre 𝑥 égale moins 32𝑥. Et moins huit fois quatre égale moins 32. Il s’agit du troisième élément de notre déterminant.

Nous devons maintenant prendre chacun de ces éléments et les additionner. 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 carré moins 68𝑥 plus 128 plus huit 𝑥 carré plus 72𝑥 moins 96 plus quatre 𝑥 carré plus quatre 𝑥 moins 32𝑥 moins 32.

Nous avons presque terminé, mais nous devons combiner les termes similaires pour simplifier cette expression. Il n’y a qu’un seul terme en 𝑥 au cube, qui peut donc rester. Après cela, nous combinerons tous les termes en 𝑥 au carré. Cinq 𝑥 au carré plus huit 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 au carré est égal à 17𝑥 au carré. Maintenant, nous allons chercher tous les termes en 𝑥. Moins 68𝑥, 72𝑥, quatre 𝑥, et moins 32𝑥 égale moins 24𝑥. Et enfin, nous prendrons toutes les valeurs constantes : plus 128, moins 96 et moins 32. 128 moins 96 moins 32 est égal à zéro. Et cela signifie que le déterminant ici est 𝑥 au cube plus 17𝑥 au carré moins 24𝑥. Et chaque terme du déterminant a 𝑥 comme facteur. Nous pouvons donc factoriser par 𝑥 et le déterminant ressemblerait à ceci : 𝑥 fois 𝑥 au carré plus 17𝑥 moins 24. Quel est ici le facteur du déterminant ici ? 𝑥 est un facteur de ce déterminant.

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