Leçon : Les propriétés des déterminants Mathématiques

Dans cette leçon, nous allons apprendre à identifier les propriétés des déterminants et à les utiliser pour simplifier des problèmes.

Plan de la leçon

Objectifs

Les élèves pourront

  • comprendre que le déterminant d’une matrice est le même que celui de sa transposée,
  • comprendre que le déterminant d’une matrice est nul si celle-ci comprend une ligne (ou une colonne) dont tous les éléments sont nuls,
  • comprendre que le déterminant d’une matrice est nul si celle-ci comprend une ligne (ou une colonne) répétée,
  • comprendre qu’un diviseur commun aux éléments d’une ligne (ou colonne) quelconque d’une matrice peut être factorisé hors de son déterminant,
  • comprendre que le fait de permuter deux lignes (ou colonnes) d’une matrice change le signe du déterminant,
  • comprendre la propriété de la somme des déterminants, qui dit que si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) sont exprimés comme une somme de deux éléments, alors la valeur du déterminant peut être exprimée comme une somme de deux déterminants,
  • comprendre la propriété d’invariance des déterminants, qui dit que le déterminant d’une matrice reste le même dans le cadre de l’opération 𝑟=𝑟+𝑐(𝑟),
  • comprendre que le produit des éléments d’une ligne (ou colonne) quelconque d’une matrice par les cofacteurs des éléments d’une ligne (ou colonne) correspondante sera égal à zéro,
  • comprendre que le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure ou inférieure est le produit des termes de la diagonale principale,
  • comprendre que le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des termes de la diagonale principale,
  • déterminer la valeur d’un élément inconnu ou d’une variable inconnue dans une matrice en utilisant les propriétés des déterminants.

Prérequis

Les élèves doivent être déjà familiarisés avec

  • la notation du déterminants d’une matrice,
  • la multiplication d’une matrice par un scalaire,
  • la transposée d’une matrice.

Exclusions

Les élèves ne couvriront pas

  • la multiplication matricielle,
  • les matrices et les déterminants supérieurs à 4×4.

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