Vidéo de la leçon: Propriétés des déterminants Mathématiques

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Propriétés des déterminants

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier différentes propriétés des déterminants et à utiliser ces propriétés des déterminants pour simplifier des problèmes. Avant de commencer à énumérer les propriétés des déterminants, on peut rappeler différentes méthodes déjà connues pour calculer le déterminant de matrices.

Par exemple, nous savons que l’on peut calculer le déterminant d’une matrice carrée en additionnant et en soustrayant les produits des diagonales. Ou bien, on peut calculer le déterminant d’une matrice en développant selon la première ligne. En fait, on peut également montrer que l’on peut développer selon n’importe quelle ligne ou colonne de la matrice. On obtiendra toujours la même valeur pour le déterminant. Cela signifie, puisque l’on peut développer selon n’importe quelle ligne ou colonne de la matrice pour calculer son déterminant, que l’on peut choisir la ligne ou la colonne la plus facile. On peut utiliser ce résultat pour prouver une propriété très utile des déterminants.

Si nous avons une matrice carrée avec une ligne ou une colonne entière remplie de zéros, alors on peut calculer le déterminant de cette matrice en développant sur la ligne ou la colonne de zéros. Dans ce calcul, chaque terme a un facteur zéro. On peut donc montrer que le déterminant de cette matrice vaut zéro. Il convient de rappeler ici que nous ne pouvons que calculer le déterminant de matrices carrées. Ainsi, lorsque nous parlons des propriétés des déterminants, nous supposons que toutes nos matrices sont carrées. Sinon, nous ne pourrions pas calculer le déterminant des matrices.

Une autre propriété utile que l’on peut montrer est que prendre la transposée d’une matrice n’affecte pas son déterminant. En d’autres termes, pour toute matrice carrée 𝐴, le déterminant de la transposée de 𝐴 est égal au déterminant de 𝐴, où on rappelle que pour prendre la transposée d’une matrice, on écrit les lignes de la matrice comme les colonnes correspondantes de la nouvelle matrice. Avant de continuer, il convient de souligner ici que l’on peut prouver toutes les propriétés du déterminant montrées dans cette vidéo. La plupart des preuves des propriétés nécessitent simplement d’utiliser la définition d’un déterminant et de vérifier que le côté gauche et le côté droit de l’équation sont égaux. Cependant, comme nous le verrons, il y a beaucoup trop de propriétés du déterminant à prouver dans cette vidéo.

Avant de passer à la propriété suivante, il y a une chose utile à noter. On peut utiliser les résultats selon lesquels le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Si nous voulions prouver l’une des propriétés précédentes faisant intervenir des lignes et des colonnes d’une matrice, on sait déjà que le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Les lignes de la matrice 𝐴 sont les colonnes de la matrice 𝐴 transposée. Ainsi, il nous suffirait de prouver cette propriété pour les lignes, puis d’utiliser la propriété avec la matrice transposée pour prouver la propriété pour les colonnes.

La propriété suivante que l’on peut montrer est que si tous les éléments d’une seule ligne ou colonne d’une matrice partagent un facteur commun, alors on peut sortir ce facteur commun en dehors du déterminant. On peut voir un exemple de cela. Considérons le déterminant de la matrice deux par deux ; deux, un, cinq, 10. Dans cette matrice, on peut voir que la deuxième ligne a un diviseur commun de cinq. Nos propriétés de déterminant nous indiquent que l’on peut mettre le facteur commun de cinq en dehors du calcul du déterminant. C’est égal à cinq fois le déterminant de la matrice deux par deux deux, un, un, deux. Nous pourrions calculer les deux côtés de cette équation séparément.

Dans notre première matrice, nous prenons la différence entre les produits de la diagonale. Cela fait deux fois 10 moins cinq fois un, ce qui équivaut à 15. Nous ferions de même pour la deuxième matrice. Nous prenons la différence des produits des diagonales. Cela donne deux fois deux moins un fois un, ce qui est égal à trois. Ensuite, nous multiplions ce facteur par cinq pour voir que le côté droit de l’équation vaut également 15.

Une autre propriété utile que l’on peut montrer est que si une matrice carrée a une ligne ou une colonne qui se répète, alors son déterminant est égal à zéro. Ce résultat peut être particulièrement utile pour trouver les déterminants de grandes matrices. Nous devons toujours vérifier s’il y a une ligne ou une colonne qui se répète dans une matrice pour déterminer si son déterminant est nul.

La prochaine propriété utile que l’on peut montrer est que si nous échangeons deux lignes ou colonnes d’une matrice, cela change le signe du déterminant de cette matrice. Pour voir un exemple de cela, j’échange les deux colonnes de notre matrice deux par deux ; deux, un, cinq, 10. En échangeant la première colonne et la deuxième colonne, cela nous donne la matrice deux par deux ; un, deux, 10, cinq. Or, on a la notation suivante : 𝑐 indice un est la première colonne de la matrice et 𝑐 indice deux est la deuxième colonne de la matrice. Nous utilisons une flèche à double sens pour montrer que nous échangeons les deux colonnes. Si nous calculons ensuite le déterminant de cette matrice, nous obtenons un multiplié par cinq moins 10 multiplié par deux, ce que l’on peut calculer et trouver moins 15, c’est-à-dire l’opposé du déterminant de la matrice d’origine. Ainsi, échanger deux lignes ou colonnes d’une matrice change le signe du déterminant.

Une autre propriété que l’on peut montrer sur les déterminants est que l’on peut ajouter ou soustraire des multiples scalaires des lignes ou des colonnes de la matrice à d’autres lignes ou colonnes de la matrice sans modifier le déterminant. Pour nous aider à voir ce que cela signifie, voyons un exemple. Si l’on souhaite calculer le déterminant de la matrice deux par deux ; un, trois, zéro, deux, on peut le faire directement ou on peut réécrire la matrice en utilisant cette propriété. On peut remplacer la deuxième colonne de cette matrice en soustrayant trois fois la première colonne de cette matrice. Rappelez-vous, notre propriété garantit que cela n’affectera pas la valeur du déterminant. On peut écrire ceci comme 𝑐 deux est remplacé par 𝑐 deux moins trois 𝑐 un. En soustrayant trois fois la première colonne à la deuxième colonne, on obtient zéro, deux.

Par conséquent, le déterminant de la matrice deux par deux ; un, trois, zéro, deux est égal au déterminant de la matrice deux par deux ; un, zéro, zéro, deux. Cette propriété est particulièrement utile pour nous aider à simplifier les déterminants des matrices d’ordre trois par trois et plus.

Il y a beaucoup plus de propriétés des déterminants que l’on peut montrer. Alors, faisons de la place et passons en revue quelques propriétés supplémentaires. La prochaine propriété que l’on peut montrer est que si l’on multiplie tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par les cofacteurs correspondants d’une ligne ou d’une colonne différente, alors la somme de ces valeurs sera nulle. C’est une propriété assez compliquée, il est donc beaucoup plus facile de voir ce que cela signifie sur un exemple. Commençons par appliquer cette propriété à la matrice trois par trois ; un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf. Nous utiliserons la première ligne de cette matrice, mais rappelez-vous, on peut utiliser n’importe quelle ligne ou colonne de cette matrice.

Nous voulons maintenant multiplier chaque élément de cette ligne de la matrice par les cofacteurs correspondants d’une autre ligne de cette matrice. Alors, lorsque nous additionnons ces valeurs, nous devrions obtenir zéro. Multiplions ces éléments par les cofacteurs correspondants de la troisième ligne de la matrice, c’est-à-dire la ligne sept, huit, neuf. Commençons par trouver le mineur de la matrice que nous obtenons à partir de l’élément sept de la matrice. Cela correspond au déterminant de la matrice deux par deux que nous obtenons en supprimant la première colonne et la troisième ligne de la matrice. Cela donne la matrice deux par deux ; deux, trois, cinq, six. Rappelez-vous, nous devons vérifier la parité de la somme des numéros de ligne et de colonne de cet élément, ici dans la première colonne et la troisième ligne. Cette somme donne quatre, ce qui est pair. Donc, ce sera un mineur positif.

Enfin, dans la propriété, nous multiplions cela par l’élément correspondant dans la première ligne. Donc, nous multiplions cela par un. On peut alors faire exactement la même chose pour le prochain élément de cette ligne. Le mineur de la matrice extrait de cet élément est le déterminant de la matrice deux par deux un, trois, quatre, six. Il faut prendre l’opposé de cette valeur. Enfin, on doit multiplier cela par l’élément correspondant dans la première ligne, c’est-à-dire deux.

Nous faisons ensuite exactement la même chose pour le troisième élément de cette ligne. On obtient trois fois le déterminant de la matrice deux par deux ; un, deux, quatre, cinq. La propriété des matrices garantit que cette somme est égale à zéro. On peut calculer cela pour vérifier que cela est vrai dans ce cas. Il y a une autre façon légèrement différente de penser à cette propriété. On pourrait dire que nous calculons le déterminant de cette matrice en développant selon la troisième ligne de la matrice. Cependant, on utilise les coefficients de la première ligne plutôt que ceux de la troisième ligne.

Une autre propriété utile des déterminants que l’on peut montrer est que le déterminant de toute matrice triangulaire carrée est égal au produit de tous les éléments de sa diagonale principale. Il y a quelques points qui méritent d’être soulignés ici. Premièrement, cela fonctionne pour les matrices triangulaires supérieure et inférieure. De même, comme les matrices diagonales sont à la fois des matrices triangulaires supérieures et inférieures, cette propriété fonctionne également pour les matrices diagonales. Enfin, si l’un des éléments de la diagonale principale de la matrice triangulaire est nulle, alors ce produit a un facteur nul. Ainsi, son déterminant vaut zéro, et la matrice n’est pas inversible. Voyons une utilisation de cette propriété sur un exemple.

Disons que nous voulons calculer le déterminant de la matrice trois par trois ; un, deux, trois, zéro, quatre, cinq, zéro, zéro, six. On peut voir que nous calculons le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure parce que tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls. Par conséquent, la propriété nous dit que l’on peut calculer le déterminant de cette matrice en calculant simplement le produit des éléments de la diagonale principale. C’est-à-dire un fois quatre fois six, ce qui vaut 24.

La propriété suivante que nous allons examiner est vraie pour une matrice carrée de tout ordre et est vraie pour toute ligne ou colonne de cette matrice. Cependant, si nous voulions inclure toutes ces possibilités dans notre proposition, alors la proposition elle-même deviendrait très compliquée. Donc, nous allons simplement énoncer cette propriété pour la première ligne d’une matrice trois par trois. Cependant, cela s’applique pour n’importe quelle ligne, colonne et pour une matrice carrée de toute taille.

Le déterminant de toute matrice carrée où l’une des lignes ou des colonnes est écrite sous forme de somme peut être séparé comme suit. Soit égal à la somme des déterminants des deux matrices suivantes. La seule différence entre ces deux matrices est que nous avons séparé la ligne ou la colonne sur laquelle nous avions une somme dans notre matrice d’origine. La première matrice a pris le premier terme de cette somme et la deuxième matrice a pris le deuxième terme de cette somme.

Enfin, il convient de répéter que, bien que l’affirmation que nous avons écrite s’applique ici à la première ligne d’une matrice trois par trois, l’énoncé est valable pour toute matrice carrée et fonctionne pour n’importe quelle ligne ou colonne de la matrice. La deuxième chose qui peut nous échapper à propos de cette affirmation est qu’elle fonctionne également dans le sens inverse. En d’autres termes, si nous calculons la somme des déterminants de deux matrices ou plus où la seule différence concerne une ligne ou une colonne, on peut alors additionner ces lignes ou colonnes de sorte qu’il nous suffit de calculer le déterminant d’une matrice.

Il y a deux autres propriétés des déterminants que nous souhaitons présenter. Premièrement, le déterminant du produit de deux matrices est le produit de leurs déterminants, où, bien sûr, 𝐴 et 𝐵 doivent être des matrices carrées. Sinon, nous ne pourrions pas calculer leurs déterminants. On peut même utiliser cette propriété pour montrer une dernière propriété utile. Le déterminant de 𝐴 fois 𝐴 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐴. En d’autres termes, le déterminant de 𝐴 fois 𝐴 est égal au déterminant de 𝐴 le tout au carré.

On peut continuer comme cela pour montrer que pour tout exposant entier positif 𝑛 le déterminant de la matrice 𝐴 à la puissance 𝑛 est égal au déterminant de la matrice 𝐴 le tout élevé à la puissance 𝑛. Voyons maintenant quelques exemples sur la façon d’utiliser ces propriétés des déterminants pour simplifier et calculer les solutions de problèmes impliquant les déterminants de différentes matrices.

Trouvez la valeur du déterminant de la matrice trois par trois ; quatre, un, moins huit, moins six, trois, six, zéro, zéro, zéro.

Dans cette question, on nous demande de calculer le déterminant d’une matrice trois par trois. Nous pourrions être tentés de commencer un calcul immédiatement et de déterminer ce déterminant en développant suivant la première ligne. Cela fonctionnerait. On obtiendrait la bonne réponse. Cependant, chaque fois qu’on nous demande de calculer un déterminant, on peut toujours vérifier si on peut simplifier ce problème en utilisant les propriétés des déterminants. Dans ce cas, on peut remarquer que la troisième ligne de cette matrice est constituée de zéros.

On peut alors rappeler le fait suivant sur les déterminants des matrices. Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne d’une matrice carrée sont nuls, alors son déterminant est également égal à zéro. Il convient de souligner que, dans ce cas, cela revient exactement au même que de calculer le déterminant de la matrice en développant selon sa troisième ligne, car alors, dans le calcul du déterminant, chaque terme aurait un facteur de zéro. Ainsi, le déterminant de cette matrice vaut toujours zéro. Dans les deux cas, nous avons pu montrer que le déterminant de la matrice trois par trois ; quatre, un, moins huit, moins six, trois, six, zéro, zéro, zéro est égal à zéro car elle comporte une ligne entièrement composée de zéros.

Voyons maintenant un autre exemple de calcul du déterminant d’une matrice trois par trois sans développer selon les lignes ou les colonnes.

Sans développer, trouvez la valeur du déterminant de la matrice trois par trois ; huit, moins trois, moins deux, sept, un, moins huit, 24, moins neuf, moins six.

Dans cette question, on nous demande de déterminer le déterminant d’une matrice trois par trois. Nous pourrions le faire en développant selon n’importe laquelle de ses lignes ou colonnes. Cependant, la question nous demande explicitement de le faire sans développer. Il existe différentes méthodes que nous pourrions utiliser pour calculer ce déterminant en utilisant différentes propriétés des déterminants. Par exemple, on peut rappeler que nous sommes autorisés à ajouter et à soustraire des multiples linéaires des lignes et des colonnes à d’autres lignes et colonnes de la matrice. Cela n’affecte pas le déterminant de cette matrice.

Nous pourrions alors utiliser cela pour essayer de réécrire la matrice en tant que matrice triangulaire supérieure. Alors, le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure est le produit des éléments sur sa diagonale principale. Cependant, comme il s’agit d’un processus compliqué, nous devons toujours vérifier s’il existe une méthode plus simple en premier. On peut commencer par rappeler que l’on peut éliminer les facteurs communs entre une ligne ou une colonne de la matrice. En particulier, on peut remarquer que la troisième ligne de cette matrice a un facteur commun de trois. En sortant le facteur commun trois de la ligne, on obtient trois multiplié par le déterminant de la matrice trois par trois ; huit, moins trois, moins deux, sept, un, moins huit, huit, moins trois, moins deux.

À ce stade, on peut également remarquer que dans la troisième colonne de cette matrice, chaque élément a un facteur deux ou moins deux. Nous pourrions mettre ce facteur en dehors de la matrice de la même manière. Cependant, on peut déjà trouver le déterminant de cette matrice en utilisant une propriété différente. En effet, on peut remarquer que la première ligne de cette matrice est égale à sa troisième ligne. On peut alors rappeler que si une matrice a une ligne ou une colonne qui se répète, alors son déterminant est égal à zéro. Ainsi, comme les première et troisième lignes de cette matrice se répètent, on peut conclure que son déterminant vaut zéro, ce qui nous donne trois fois zéro, qui est égal à zéro.

Avant de terminer avec cette question, il convient de noter que nous avons montré une propriété utile sur les matrices. Nous avons montré que si l’une des lignes ou colonnes de cette matrice est un multiple scalaire de l’autre ligne ou colonne de cette matrice, alors son déterminant vaut zéro. Dans les deux cas, nous avons pu montrer que le déterminant de la matrice trois par trois ; huit, moins trois, moins deux, sept, un, moins huit, 24, moins neuf, moins six est égal à zéro.

Voyons maintenant un exemple sur la façon de combiner plusieurs déterminants en un seul déterminant.

Évaluez le déterminant de la matrice moins six, un, un, un plus le déterminant de la matrice moins cinq, un, un, un plus le déterminant de la matrice moins quatre, un, un, un. Nous continuons d’ajouter les déterminants des matrices de cette forme jusqu’au déterminant de la matrice 10, un, un, un.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer une expression. On peut voir dans cette expression que chaque terme est le déterminant d’une matrice deux par deux. Ainsi, une façon de répondre à cette question serait d’évaluer tous ces déterminants et de les additionner. Cependant, on peut d’abord simplifier cette expression en utilisant les propriétés des déterminants.

Pour ce faire, nous devons remarquer quelque chose d’intéressant dans toutes les matrices qui nous sont données. Toutes ces matrices ont exactement la même deuxième ligne. L’une des propriétés des déterminants nous dit comment additionner deux matrices qui n’ont qu’une seule ligne ou colonne qui diffèrent. On rappelle que l’on peut additionner les déterminants de deux matrices qui ont tous les mêmes éléments à l’exception de la même ligne ou colonne en les combinant en une seule matrice où nous ajoutons les éléments correspondants dans la ligne ou la colonne qui diffère.

Maintenant, nous pourrions utiliser cette propriété pour simplement ajouter deux des déterminants ensemble. Cependant, on peut remarquer, dans ce cas, que toutes les matrices ont la même forme. Ainsi, au lieu de cela, nous allons simplement appliquer cette propriété à tous les termes. Ainsi, pour utiliser cette propriété sur cette somme, nous savons d’abord que la deuxième ligne de cette matrice sera un, un. Ensuite, l’élément de la première ligne et première colonne de la matrice sera la somme de tous les éléments de la première ligne et première colonne des différents termes. Ce sera, bien sûr, moins six plus moins cinq. Nous continuons à ajouter des entiers de cette forme jusqu’à 10.

Nous ferons alors la même chose pour les éléments de la première ligne et la deuxième colonne. Cependant, on peut voir que tous ces éléments valent un. Ainsi, lorsque nous les additionnons, nous obtenons simplement le nombre de termes. Le nombre de termes de moins six à 10 est égal à 17. Par conséquent, en utilisant les propriétés des déterminants, nous avons pu réécrire la somme des déterminants en un seul déterminant.

Maintenant, pour calculer le déterminant de cette matrice deux par deux, nous allons devoir calculer la somme que nous avons dans la première ligne et première colonne. Il y a plusieurs façons différentes de le faire. Par exemple, il s’agit d’une suite arithmétique avec comme premier terme moins six et comme raison un. Nous pourrions alors utiliser la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique finie. Cependant, il existe une deuxième façon de faire. On peut remarquer que le terme moins six s’annule avec six, moins cinq s’annule avec cinq et cela continue jusqu’à moins un s’annule avec un. Bien sûr, ajouter zéro ne change pas la valeur. Ainsi, cela se simplifie pour donner sept plus huit plus neuf plus 10. Si nous calculons cela, nous trouvons une valeur de 34. Par conséquent, la somme de ces déterminants est égale au déterminant de la matrice deux par deux ; 34, 17, un, un.

Enfin, on peut calculer le déterminant de cette matrice en trouvant la différence entre les produits des diagonales. Cela donne 34 fois un moins 17 fois un, ce qui vaut 17. Par conséquent, nous avons pu déterminer la somme de ces déterminants en utilisant les propriétés des déterminants. Nous avons pu montrer que cette somme est égale à 17.

Voyons maintenant un dernier exemple d’utilisation des propriétés des déterminants pour répondre aux questions.

Considérons le déterminant de la matrice deux par deux ; 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 égal six. Trouvez la valeur du déterminant de la matrice deux par deux ; 𝑥 moins 10𝑦, 𝑦, 𝑧 moins 10𝑤, 𝑤.

Dans cette question, on nous donne le déterminant d’une matrice deux par deux et on nous demande de déterminer le déterminant d’une matrice deux par deux différente. Ces deux matrices contiennent quatre inconnues, nous ne pouvons donc pas les calculer directement. Nous pourrions être tentés de développer le déterminant dans la première matrice, puis de développer le déterminant dans la deuxième matrice et d’essayer de réécrire cette expression en fonction du premier déterminant. Cependant, il existe une méthode beaucoup plus simple utilisant les propriétés des déterminants.

Pour ce faire, nous devons remarquer quelque chose d’intéressant dans la deuxième matrice qui nous est donnée. Dans le premier élément de la première colonne, nous soustrayons 10𝑦 et dans le deuxième élément de la première colonne, nous soustrayons 10𝑤. Il s’agit d’un multiple scalaire de la deuxième colonne de la première matrice. En fait, nous le soustrayons directement à la première colonne de cette matrice. En d’autres termes, pour générer la deuxième matrice, nous soustrayons 10 fois la deuxième colonne à la première colonne de la première matrice. On peut rappeler que l’addition et la soustraction de multiples scalaires d’une ligne ou d’une colonne à une autre ligne ou colonne n’affecte pas le déterminant. Par conséquent, le déterminant de la deuxième matrice est égal au déterminant de la première matrice, qui, d’après l’énoncé, est égal à six.

Passons maintenant en revue certains des points clés de cette vidéo. Premièrement, nous avons montré que l’on peut utiliser toutes les nombreuses propriétés des déterminants pour simplifier des expressions contenant des déterminants. Cela signifie que chaque fois qu’on nous donne une expression avec des déterminants ou qu’on nous demande de calculer un déterminant, nous devons toujours vérifier si on peut simplifier ce problème en utilisant les propriétés des déterminants. Il y a beaucoup de propriétés des déterminants, tellement que nous ne pouvons pas toutes les énumérer dans les points clés.

Quelques-unes d’entre elles sont : Prendre la transposée d’une matrice carrée n’affecte pas le déterminant. Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne d’une matrice carrée sont nuls, alors son déterminant est égal à zéro. Si une matrice carrée a une ligne ou une colonne qui se répète, son déterminant est égal à zéro. Le déterminant de toute matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale principale. Bien sûr, cela s’étend également aux matrices diagonales.