Fiche explicative de la leçon: Propriétés des déterminants Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les propriétés des déterminants et à les utiliser pour simplifier des problèmes.

Indépendamment de la méthode utilisée, le calcul du déterminant d’une matrice implique généralement de nombreux calculs manuels. Pour des matrices , le calcul du déterminant est simple en raison du nombre relativement faible de calculs nécessaires. Cependant, le calcul du déterminant d’une matrice est déjà beaucoup plus complexe et implique beaucoup plus d’opérations arithmétiques, ce qui implique un risque d’erreurs élevé. Les calculs deviennent encore plus lourds avec des matrices , ou toute matrice carrée d’ordre plus élevé.

Le calcul manuel du déterminant nécessite généralement une variante de la méthode de développement par les cofacteurs qui simplifie le calcul du déterminant d’une matrice en un problème où il faut calculer les déterminants de matrices extraites de la matrice d’origine. Ces déterminants sont appelés mineurs matriciels, et c’est cette approche itérative qui explique la complexité du calcul manuel d’un déterminant. Comme nous allons les voir dans les prochains paragraphes sur le calcul des déterminants, rappelons la définition des mineurs et des cofacteurs.

En outre, dans le cas des matrices , rappelons que nous pouvons utiliser ces définitions pour aboutir à une formule du déterminant.

Le plus souvent, nous utiliserons le développement par les cofacteurs le long de la première ligne de la matrice. Dans ce cas, l’équation ci-dessus s’écrit : 

En raison des risques inhérents au calcul manuel des déterminants des grandes matrices carrées, il est préférable d’éviter, si possible, de telles approches. Une façon de faire est de comprendre les différentes propriétés algébriques des déterminants et de savoir comment elles peuvent être utilisées, soit pour réduire le nombre de calculs impliqués, soit pour travailler avec des éléments de la matrice de valeurs plus petites (ce qui nous permet de travailler avec des nombres plus petits lors du calcul du déterminant).

Si on a une matrice carrée , alors il est intéressant de savoir si est inversible. En d’autres termes, si est une matrice , alors on aimerait savoir s’il existe une autre matrice de même taille telle que , où est la matrice identité de même taille. Si une matrice carrée a pour inverse , alors la matrice possède de nombreuses propriétés algébriques très utiles, ce qui ne serait pas le cas si elle n’était pas inversible. On sait déjà, c’est un résultat bien connu des matrices que cette matrice inverse existe si et seulement si le déterminant de est non nul. Par conséquent, naturellement, le mathématicien cherche à connaître les circonstances qui pourraient rapidement lui permettre de déterminer si un déterminant est égal à zéro. Cette fiche explicative contient plusieurs exemples de techniques qui permettent d’identifier facilement si une matrice carrée a un déterminant nul, sans qu’il soit nécessaire de faire le calcul.

Étant donné que nous nous intéressons à la question de savoir si le déterminant d’une matrice carrée est nul ou non nul, tout résultat de ce type (ou d’un type similaire) nous intéresse. Le premier résultat concerne le développement d’une matrice par certains cofacteurs, mais pas de la même manière que dans la définition donnée ci-dessus ! 

La première chose à noter est que le calcul ci-dessus n’est certainement pas un calcul de déterminant, mais la forme donnée a clairement une certaine ressemblance. Illustrons ce résultat avec un exemple.

Soit la matrice et choisissons de calculer les cofacteurs de la troisième ligne. En d’autres termes, nous allons définir puis calculer les mineurs suivants : 

Le calcul de ces déterminants donne les valeurs suivantes : 

Puis, en les multipliant par à chaque fois, on obtient les cofacteurs suivants : 

Supposons maintenant que nous devions multiplier ces cofacteurs par les éléments d’une autre ligne. En d’autres termes, choisissons une autre ligne de la matrice qui n’est pas la troisième ligne. De manière arbitraire, choisissons la deuxième. D’après la propriété ci-dessus, nous aurions . Cela nous donne les éléments suivants : 

Ensuite, en multipliant ces éléments par les cofacteurs correspondants de la ligne 3, nous obtenons

Cela confirme la propriété ci-dessus, et bien que nous n’ayons donné aucune explication à ce sujet, nous devrions voir cela comme une indication forte qu’il existe des résultats puissants relatifs aux déterminants. En fait, la propriété ci-dessus peut être prouvée comme une conséquence d’autres propriétés qui seront données plus loin dans cette fiche explicative. Nous allons maintenant donner un exemple.

Avec ce résultat en main, nous allons maintenant commencer à couvrir d’autres propriétés qui se rapportent au calcul du déterminant d’une matrice (plutôt que la propriété précédente, qui se rapporte à des quantités qui sont calculées de manière similaire au déterminant, mais qui ne sont pas elles-mêmes des déterminants). Il y aura beaucoup d’exemples complets dans cette fiche explicative, et entre deux exemples, nous donnerons des informations complémentaires pour détailler plus explicitement les principes en jeu. Par souci de cohérence, nous choisirons de travailler fréquemment avec la matrice suivante

Il s’agit d’un exemple de matrice dont le déterminant est égal à zéro et qui peut être calculé en développant le déterminant le long de la première ligne de la matrice, comme indiqué ci-dessous. Ceci est un exemple de la méthode de développement par les cofacteurs que nous avons défini ci-dessus, où les coefficients sont les éléments de la première ligne de la matrice. En voici le calcul : 

Décomposé complètement on a : 

Comme la matrice a un déterminant de zéro, elle n’est pas inversible. Cela signifie qu’il n’existe pas de matrice telle que , où est la matrice identité de taille .

Cette fiche explicative couvrira de nombreux résultats concernant le déterminant et nous allons commencer par nous intéresser à la transposée d’une matrice. Pour rappel, si on prend une matrice de taille que l’on appelle , où représente l’élément de la ligne et de la colonne de . La transposée de est une matrice de taille que l’on note généralement . Cette nouvelle matrice est la matrice . Une autre façon de le dire est que l’élément de la ligne et de la colonne de est l’élément de la ligne et de la colonne de la transposée .

Nous allons illustrer cela dans un court exemple. Supposons que nous ayons la matrice suivante et sa transposée  : 

Pour la démonstration, nous avons mis en évidence l’élément de la matrice , qui se trouve dans la deuxième rangée et la troisième colonne de . On peut voir que c’est exactement le même que l’élément mis en évidence à la 3ème ligne et à la 2ème colonne de la transposée . La même chose peut être observée pour chaque élément qui n’est pas sur la diagonale, la transposée peut être considérée comme l’opération qui retourne la matrice autour de sa diagonale.

Compte tenu des propriétés ci-dessus, nous allons maintenant donner une définition de la manière dont la transposition affectera le déterminant d’une matrice carrée. Le résultat suivant est trompeusement simple et peut souvent être très contre intuitif jusqu’à ce que les notions de déterminant soient complètement assimilées. Soyez assurés que le résultat est correct et, comme toujours, il peut être testé sur n’importe quel nombre d’exemples arbitraires (tout en gardant bien à l’esprit qu’une telle démarche ne constitue pas une preuve).

Cette propriété est si simple qu’elle peut induire un sentiment de scepticisme chez le lecteur. On peut le confirmer pour les matrices et tel que définies ci-dessus. Nous avons précédemment calculé le déterminant de directement, ce qui montre que . Le résultat ci-dessus impliquerait que , ce qui signifierait que la transposée aurait également un déterminant de zéro. Nous pouvons le confirmer en développant le long de la première ligne. Nous mettons en évidence la ligne en question comme cela : 

Ensuite, nous effectuons le développement : 

Cela confirme bien que le déterminant de la transposée est également nul, comme prévu.

Exemple 2: Comprendre l’effet de la transposition sur le déterminant d’une matrice

Sans calculer le déterminant Déterminez laquelle des expressions suivantes lui est égale.

Réponse

Commençons par donner un nom à notre matrice : . Nous savons que le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de la transposée de cette matrice, ce qui signifie dans ce cas que .

Un moyen rapide d’identifier la transposée peut être d’examiner une ligne de et voir ce que cela donnerait sur sa transposée. Prenons la matrice et mettons en évidence sa première ligne, comme cela : 

L’une des propriétés de la transposition matricielle est que la première ligne de correspondra à la première colonne de , car la ligne de doit correspondre à la colonne de sa transposée . En d’autres termes, la transposée doit avoir la forme suivante : 

D’après les options ci-dessus, nous pouvons voir que seuls a et d peuvent correspondre au déterminant de la transposée puisque les premières colonnes de b et de c ne correspondent pas à la première colonne mise en évidence ci-dessus.

Nous pouvons maintenant identifier la transposée en regardant la deuxième ligne de , qui devient la deuxième colonne de . Comme on peut le voir, la deuxième ligne est coloriée : 

Et une fois transposée, cela devient la deuxième colonne, comme indiqué : 

Cette nouvelle analyse exclut l’option a, ce qui signifie que l’option d doit être la bonne réponse. En effet, on peut appliquer la même astuce que précédemment pour vérifier que la troisième ligne de correspond bien à la troisième colonne de . C’est ce que l’on peut voir ci-dessous, et cela confirme bien que l’option d est le bon choix : 

Nous pourrions, bien sûr, calculer séparément les déterminants de ces deux matrices pour vérifier leur égalité. En utilisant n’importe quelle méthode, nous aurions trouvé que .

L’égalité du déterminant de la transposée et de celui de la matrice d’origine est un résultat puissant avec de nombreuses applications. Bien que ce résultat puisse parfois être utile à part entière, l’un de ses principaux atouts est sa capacité à renforcer d’autres résultats qui incluent l’opération de transposition (de manière explicite ou implicite). Nous en verrons un exemple dans la définition suivante, qui fournit un autre moyen de simplifier le calcul du déterminant lorsque la matrice possède des propriétés particulières. Nous avons déjà mentionné précédemment que nous sommes souvent seulement intéressés de savoir si une matrice a ou non un déterminant nul, le résultat suivant fournit un outil puissant pour pouvoir tirer de telles conclusions sans avoir à compléter l’ensemble des calculs qui seraient normalement nécessaire pour obtenir le déterminant.

Dans cette propriété, une « ligne de zéros » signifie une ligne de la matrice pour laquelle tous les éléments sont égaux à zéro. On pourrait en faire la démonstration en prenant une matrice , dont la première ligne est une ligne de zéros et en calculant le déterminant en développant le long de cette ligne. Cela montrerait rapidement que le déterminant est nul.

De manière moins immédiate, la matrice suivante a une ligne de zéros, la deuxième, que nous avons mise en évidence : 

Étant donné le grand nombre de zéros dans cette matrice, nous pouvons voir comment un calcul de déterminant complet serait simplifié car nous effectuerions de nombreuses opérations où nous multiplierions par ces éléments nuls. Cependant, la propriété ci-dessus signifie que nous n’avons pas à effectuer de calculs car nous avons vu qu’il y a une ligne de zéros et donc .

Nous pouvons voir comment la première propriété sur le déterminant de la transposée est maintenant applicable dans cette situation. Nous savons que , ce qui signifie que . Dans l’équation ci-dessous, nous avons présenté la transposée, en mettant maintenant en évidence la deuxième colonne (qui correspond à la deuxième ligne de la matrice d’origine). Nous pouvons voir qu’il y a une colonne de zéros dans la deuxième colonne de  : 

Exemple 3: Déterminer le déterminant d’une matrice qui comprend une ligne de zéros

Déterminez la valeur de

Réponse

Le déterminant d’une matrice sera égal à zéro si elle possède au moins une ligne ou une colonne de zéros. La matrice ci-dessus a une ligne de zéros, la troisième, cela signifie que son déterminant sera nul. Nous pourrions vérifier ce résultat en calculant manuellement le déterminant en utilisant une méthode quelconque. Pour cela, développons le long de la dernière ligne en utilisant la méthode des cofacteurs.

Nous commençons par mettre en évidence tous les éléments de la troisième ligne de la matrice d’origine, que nous avons appelée  : 

Ensuite, nous pouvons trouver le déterminant en développant le long de la troisième ligne : 

Il n’est pas nécessaire de poursuivre les calculs car chaque coefficient en bleu est égal à zéro, ce qui signifie que la somme totale sera nulle quelles que soient les valeurs de , ou .

En plus d’être un résultat puissant à lui seul, la propriété précédente peut être considérée comme une conséquence d’une combinaison de plusieurs autres propriétés distinctes, sans doute encore plus puissantes. En effet, obtenir une ligne ou une colonne de zéros peut être vu comme le résultat plus large du calcul du déterminant d’une matrice.

Nous avons déjà dit que nous aimerions généralement savoir si le déterminant d’une matrice est égal à zéro, et que nous visons à développer un ensemble de techniques qui nous permettent de calculer le déterminant d’une matrice qui pourrait être utilisées comme alternatives à l’une des méthodes standards. Le prochain résultat répondra à ces deux souhaits et nous conduira également dans une direction qui aboutira à un ensemble de propriétés beaucoup plus larges et plus puissantes concernant le déterminant.

Pour illustrer le résultat ci-dessus, considérons la matrice suivante : 

Dans cette matrice, la deuxième colonne est égale à la troisième colonne, et la propriété ci-dessus implique que le déterminant de cette matrice doit donc être égal à zéro. Nous pouvons montrer que tel est le cas en développant le long de la première colonne de cette matrice. Tout d’abord, nous mettons en évidence les éléments de la ligne comme indiqué : 

Ensuite, nous procédons au calcul du déterminant, comme suit : 

Comme nous pouvons le voir, le déterminant de la matrice est nul, ce qui vient du fait que tous les déterminants des matrices sont égaux à zéro (comme nous pouvons le voir clairement sans avoir besoin de calcul explicite).

La définition ci-dessus s’applique de la même manière aux lignes et aux colonnes en raison de leur comportement par rapport à la transposition et au fait que le déterminant de la transposée d’une matrice est égal au déterminant de cette matrice.

Exemple 4: Déterminer le déterminant d’une matrice qui comprend des lignes répétées

Utilisez les propriétés des déterminants pour calculer

Réponse

Nous pouvons voir que la matrice a une ligne répétée, comme on peut le voir : 

Nous savons que toute matrice carrée avec au moins une ligne ou une colonne répétée aura un déterminant de zéro.

Nous pouvons vérifier cela en calculant le déterminant, en développant le long de la troisième ligne. On appelle la matrice donnée , puis on met en évidence la troisième ligne, comme suit : 

Ensuite, nous calculons le déterminant de comme cela : 

Cela montre bien que le déterminant est nul, ce que nous pouvons voir une fois que nous avons calculé chacun des déterminants des matrices , qui valent tous zéro.

Nous allons maintenant commencer à introduire une série de propriétés concernant le déterminant d’une matrice carrée qui font toutes partie d’une plus grande boîte à outils. Les succès réalisés en utilisant les outils d’une boite à outils décente dépendent essentiellement de la manière d’utiliser ces différents outils en même temps. Tout comme avec les propriétés suivantes des déterminants (ainsi que celles que nous avons déjà données), nous chercherons à utiliser une certaine combinaison de celles-ci en fonction de la nature du problème.

Une propriété curieuse des déterminants est l’effet de l’échange d’une paire de lignes ou de colonnes. Pour calculer le déterminant d’une matrice, le résultat suivant n’est sans doute pas aussi utile que certains des résultats qui suivent, mais il peut toujours être utilisé pour simplifier les calculs et déplacer des éléments spécifiques d’un endroit à un autre.

Sachant que ce résultat est l’un des résultats les plus faciles à comprendre, nous l’appliquerons directement à un exemple. Nous allons rationaliser le travail en comptant simplement le nombre d’échanges de lignes ou de colonnes nécessaires pour transformer la première matrice en la seconde. Si nous n’utilisons que ces opérations d’échanges pour passer d’une matrice à l’autre, alors nous obtiendrons un résultat de la forme où est le nombre total d’échanges de lignes ou de colonnes.

Exemple 5: Comprendre l’effet de l’échange de lignes ou de colonnes sur le déterminant d’une matrice

Sachant que

Déterminez, sans le calculer, la valeur du déterminant

Réponse

Les deux matrices semblent très semblables et liées à une série d’échanges de lignes et de colonnes. En supposant que tel soit le cas, nous essaierons de transformer la première matrice en la deuxième en utilisant uniquement des opérations de permutation de lignes ou de colonnes, en tenant compte du nombre d’entre elles. Nous rappelons qu’en effectuant une seule opération de permutation de lignes ou de colonnes, nous induisons un changement de signe dans le déterminant. Si la matrice d’origine est et la matrice résultante, , alors nous aurons . S’il y a deux telles opérations, alors le signe moins disparaîtra, étant donné que . Suite à cela, si nous faisons échanges de lignes ou de colonnes, alors nous aurons .

On commence par la matrice d’origine et on décide de permuter la première et la troisième colonne, ce qui nous donne une nouvelle matrice

Nous avons pour l’instant effectué une seule permutation, ce qui signifie que l’on a . Maintenant, nous observons que les éléments de la première colonne de cette matrice correspondent aux éléments de la matrice souhaitée, mais dans un ordre différent. Cela suggère que nous ne devrions pas effectuer d’autres opérations impliquant la première colonne. En revanche, nous pouvons voir que la deuxième et la troisième colonne doivent être permutées, donnant la nouvelle matrice

Nous avons effectué deux échanges pour atteindre cette étape, ce qui signifie que pour le moment . En observant la matrice ci-dessus, nous pouvons voir que chaque colonne contient maintenant les bons éléments, mais pas dans le bon ordre. Cette situation se résout facilement car nous pouvons maintenant échanger la première ligne avec la troisième ligne ce qui donne la matrice souhaitée : 

Nous avons donc eu besoin d’un total de trois permutations pour y arriver, ce qui signifie que . En appelant la matrice d’origine et la matrice désirée , cela nous donne . Sachant que , on obtient finalement .

Nous allons maintenant énoncer une propriété qui nous aidera dans les prochains exemples et qui est un résultat très intéressant sur les déterminants et qui possède une signification mathématique plus profonde. Il y a plusieurs façons d’exprimer et d’utiliser la propriété suivante, qui sont toutes équivalentes. Nous choisissons la forme suivante car l’énoncé du résultat se rapporte plus naturellement au résultat précédent.

Cette propriété est particulièrement utile et peut être utilisée afin de diminuer la complexité du calcul du déterminant, en éliminant des facteurs importants ou gênants qui sont communs à une certaine ligne ou colonne. Nous allons illustrer cela avec la matrice suivante : 

En utilisant une méthode directe telle que le développement par les cofacteurs, nous constatons que . Cependant, nous pouvons également utiliser le résultat ci-dessus et noter que la matrice a deux lignes avec des facteurs communs. Dans ce cas, la deuxième ligne a un diviseur commun qui est 2, et la troisième ligne a un diviseur commun qui est 3. En observant la deuxième ligne, nous pouvons extraire le diviseur commun, 2, et utiliser la propriété ci-dessus pour obtenir la relation : 

Les nombres à l’intérieur de la matrice de droite sont maintenant plus petits, ce qui signifie qu’il sera plus sûr de calculer le déterminant de cette matrice dans la mesure où son calcul sera moins susceptible d’introduire des erreurs. Nous ne calculerons pas encore le déterminant de la matrice de droite sachant que nous pouvons encore extraire 3 de la troisième ligne. En combinant cela avec le calcul précédent, on obtient : 

Le nouveau déterminant de droite est maintenant plus facile à calculer car les nombres impliqués sont petits. Le calcul de celui-ci par n’importe quelle méthode nous donne le résultat suivant

Ce résultat peut ne pas sembler époustouflant à première vue, mais c’est un outil très puissant qui peut être utilisé pour simplifier de manière significative les calculs des déterminants (généralement en association à d’autres résultats). C’est particulièrement le cas lorsque l’on travaille avec des matrices carrées de dimensions ou plus, pour lesquelles on cherche toujours désespérément des astuces qui pourraient rendre le calcul plus facile ! 

Exemple 6: Comprendre comment un diviseur commun dans une ligne ou une colonne affecte le déterminant d’une matrice

Sachant que trouvez une relation entre et sans calculer ni l’un ni l’autre.

Réponse

En regardant rapidement les deux matrices, nous pouvons voir que la première ligne de est égale à la première ligne de multipliée par 3. De même, le facteur d’échelle entre les deuxièmes lignes est 6, et, celui entre les troisièmes lignes est 5. Sachant cela, nous allons maintenant commencer à écrire le déterminant de en fonction du déterminant de . Nous le ferons en nous concentrant tour à tour sur chacune des lignes, en utilisant les facteurs d’échelle énoncés pour donner une relation entre les déterminants.

Sachant que la première ligne de est la première ligne de multipliée par 3, nous pouvons écrire

Nous avons maintenant la première ligne de la matrice de droite qui est la même que la première ligne de la matrice associée à .

Maintenant, nous allons travailler sur la deuxième ligne à partir de laquelle nous allons extraire le facteur d’échelle de 6. Cela donne la relation suivante entre les déterminants : 

En dehors de la troisième ligne, la matrice de droite correspond maintenant à la matrice associée à qui a été donnée dans la question. Pour finaliser notre travail, nous allons extraire le facteur 5 de la troisième ligne de la matrice de droite. Cela donne

Cela qui nous donne finalement .

Dans les deux parties précédentes, nous avons seulement considéré des facteurs entiers positifs. Il est important de noter que cela n’est pas nécessairement le cas, et nous aurions facilement pu supprimer tout facteur d’échelle, qu’il soit non entier ou négatif. Selon les cas, cela peut être une astuce, en particulier pour réduire le nombre de valeurs négatives apparaissant dans une matrice (qui ont tendance à augmenter le risque d’erreur de signe).

Nous allons maintenant introduire l’un des résultats parmi les plus universels et les plus puissants qui peuvent être utilisés pour calculer le déterminant d’une matrice. La force de ce résultat réside autant dans sa simplicité d’utilisation que dans son utilité dans l’algèbre linéaire.

Par exemple, reprenons la matrice du début de cette fiche explicative : 

On sait déjà que , nous espérons retrouver ce résultat. La propriété d’invariance du déterminant, lorsqu’elle est combinée avec d’autres propriétés, permet d’y arriver facilement. Par exemple, soustrayons la deuxième ligne à la troisième. Cela donne la matrice

Nous ne le ferons pas, mais nous pourrions vérifier que le déterminant de cette nouvelle matrice est toujours nul. Et ce, d’après la propriété d’invariance. Si, maintenant, nous enlevons une copie de la première ligne à la deuxième ligne. Cela donne la matrice : 

Maintenant, nous pouvons utiliser une propriété abordée plus haut qui dit que si une matrice a une ligne ou une colonne répétée alors son déterminant est nul. Cela signifie que la matrice ci-dessus doit avoir un déterminant de zéro et, par la propriété d’invariance, la matrice d’origine également.

Espérons que cet exemple a commencé à vous montrer vraiment comment la gamme des propriétés des déterminants d’une matrice peut être utilisée pour les calculer sans avoir à utiliser une méthode de calcul brutale. Dans l’exemple ci-dessus, une fois familiarisé avec les calculs de déterminants, nous serons capable d’effectuer la plus grande partie du calcul sans ne rien écrire, ce qui nous permettra de déterminer très rapidement que la valeur du déterminant est égale à zéro. Dans l’exemple suivant, nous en donnerons une autre illustration qui nécessitera plusieurs techniques que nous avons déjà couvertes dans cette fiche explicative.

Les divers résultats que nous avons présentés jusqu’à présent peuvent souvent être utilisés ensemble pour obtenir des informations supplémentaires sur une matrice et sur son déterminant. Généralement, nous devrons rechercher des indices dans la matrice ou dans une matrice issue d’une manipulation simple de celle-ci. Il n’y a pas de méthode magique sur la façon de choisir quelle technique particulière utiliser ; cela s’apparente plus à une forme d’art qui se perfectionne avec la pratique. Une illustration de ceci est donnée dans l’exemple suivant.

Nous allons maintenant introduire un résultat polyvalent qui peut être utilisé pour calculer la somme de deux déterminants distincts. Nous présentons le résultat en termes de relations entre les lignes de deux matrices ; sachant que le résultat s’applique également aux colonnes.

Le formalisme de ce résultat peut rendre difficile son application, alors nous allons donner un exemple pour illustrer cette propriété. Supposons que nous ayons les deux matrices

Nous pourrions calculer ces deux déterminants directement, auquel cas nous trouverions que et . Cela nous donnerait .

Ci-dessus, nous avons mis en évidence la seule ligne par laquelle ces deux matrices diffèrent. Supposons maintenant que nous ayons une nouvelle matrice , dont les première et deuxième lignes seraient égales à celles de et de , mais dont la troisième ligne serait la somme de chaque élément des troisièmes lignes de ces deux matrices. En d’autres termes, nous aurions

Quelle que soit la méthode utilisée pour calculer le déterminant de , on obtiendra . Cela confirme que , comme prévu. Nous en donnerons une autre illustration dans l’exemple suivant, qui s’appliquera cette fois aux colonnes.

Exemple 9: Déterminer la somme de deux déterminants en utilisant les propriétés des déterminants

Utilisez les propriétés des déterminants pour calculer

Réponse

Nous allons nommer nos deux matrices comme cela : 

Ces deux matrices ne diffèrent que par la colonne en surbrillance, tous les autres éléments étant identiques. Si on nous demande de calculer la somme , alors on doit pouvoir éviter la méthode directe en utilisant cette propriété. Supposons que nous créions une nouvelle matrice qui est identique à et à l’exception de la deuxième colonne, qui est la somme des deux deuxièmes colonnes. Nous savons que si cette opération est appliquée à la deuxième colonne (ou, en fait, à toute colonne ou ligne), nous aurons la relation .

Dans ce cas particulier, on a

On observe que la matrice a une colonne répétée, ce qui est très pratique. En effet, on dispose de la propriété des matrices carrées qui dit que toute ligne ou colonne répétée implique un déterminant de zéro. Cela signifie que  ; et étant donné que nous avons déjà établi que , cela implique à son tour que , étant donné que nous avons déjà établi que , cela implique à son tour que . Cela peut être confirmé par les méthodes de calculs directes.

La propriété précédente nous a permis de résoudre l’exemple précédent en ne calculant le déterminant que d’une matrice, plutôt que de deux (comme cela semblait initialement nécessaire). En outre, cela a transformé le problème en une forme où il était facile de reconnaître que la réponse était zéro car nous avons pu identifier que la matrice en question avait une ligne répétée. Ceci est juste un autre exemple de l’utilité de comprendre l’ensemble des propriétés des déterminants et de pouvoir les combiner afin d’éviter à avoir à effectuer de nombreuses opérations arithmétiques.

Dans la dernière partie de cette fiche explicative, nous énoncerons un résultat très fort qui peut être très utile lors du calcul du déterminant d’une matrice. Le résultat suivant concerne les matrices triangulaires, que nous définirons sous peu. Les matrices triangulaires sont incroyablement utiles en algèbre linéaire et ont été étudiées en profondeur ; le résultat suivant est particulièrement remarquable. Mieux encore, le résultat suivant s’appliquera aux matrices diagonales, qui sont également essentielles en algèbre linéaire et constituent un cas particulier des matrices triangulaires.

Il s’ensuit qu’une matrice triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure a un déterminant égal à zéro si l’un des éléments de sa diagonale est égal à zéro. En outre, ce résultat s’applique immédiatement aux matrices diagonales, qui sont simultanément des matrices triangulaires supérieure et inférieure. En d’autres termes, une matrice est diagonale si pour tout .

Ce résultat est souvent utile lorsqu’il est combiné avec la propriété d’invariance des déterminants. Pour illustrer cela, nous reviendrons pour la dernière fois à notre matrice d’origine : 

Cette matrice n’est pas sous forme triangulaire supérieure ou inférieure mais elle peut être manipulée pour y aboutir en utilisant la propriété d’invariance. Supposons que l’on soustrait quatre fois la première ligne à la deuxième, puis sept fois la première ligne à la troisième. Cela donne la nouvelle matrice

Cette matrice est presque triangulaire supérieure, et nous pouvons obtenir cette forme en soustrayant deux fois la deuxième ligne à la troisième, ce qui donne

Cette matrice est maintenant sous forme triangulaire supérieure (même si l’un des éléments de sa diagonale est nul cela ne contredit pas la définition). Compte tenu de cela, le déterminant est le produit des éléments de la diagonale. Sachant que le troisième élément de la diagonale est nul, le produit de tous les éléments diagonaux est nul et, par conséquent, le déterminant de cette matrice est nul (comme nous le savions déjà ! ) Dans l’exemple suivant, nous verrons une application directe de cette propriété à une matrice triangulaire inférieure.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer les propriétés des matrices triangulaires directement aux matrices diagonales. Le procédé est effectivement identique dans la mesure où nous ne prendrons que le produit des éléments diagonaux.

Nous avons maintenant terminé notre présentation des propriétés centrales des objets que sont les déterminants. Celles-ci sont sans aucun doute les principales, celles que nous sommes utilisons le plus souvent. Comme mentionné ci-dessus, cela peut prendre un certain temps avant d’acquérir une bonne intuition quant à comment ces propriétés doivent être utilisés. Étant donné une matrice carrée complètement aléatoire, il se peut que nous ne puissions utiliser aucune des propriétés ci-dessus. En d’autres termes, quelle que soit notre compréhension des résultats de cette fiche explicative, il est parfaitement possible que nous nous trouvions dans une situation où ceux-ci n’offrent aucun avantage réel, ce qui signifie que nous sommes obligés d’utiliser une méthode de calcul direct.

Résumons ce qui a été appris dans cette fiche explicative.