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Si l'angle aigu formé les droites dont les équations sont 𝑘𝑦 moins deux 𝑥 plus 19 égale zéro et neuf 𝑥 moins sept 𝑦 moins huit égale zéro mesure 𝜋 sur quatre, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝑘.
Dans cette question, on nous donne les équations de deux droites données sous forme cartésienne. On voit que l'une de ces droites a un paramètre inconnu 𝑘. Il nous faut déterminer cette valeur de 𝑘. Pour ça, on nous dit que l'angle aigu entre les deux droites est 𝜋 sur quatre. Il est important de noter que nous devons déterminer toutes les valeurs possibles de 𝑘, donc il peut y avoir plusieurs solutions correctes ou aucune solution.
Pour y parvenir, rappelons d'abord comment on trouve l'angle aigu entre deux droites données. On sait que si 𝛼 est l'angle aigu entre deux droites de coefficients directeurs 𝑚 un et 𝑚 deux, alors tangente 𝛼 est égale à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux divisé par un plus 𝑚 un fois 𝑚 deux. Si on connaît les coefficients directeurs des deux droites 𝑚 un et 𝑚 deux, alors on peut déterminer 𝛼 en prenant la fonction réciproque de la tangente des deux membres de l'équation. Mais dans ce cas, on ne cherche pas la valeur de 𝛼. Nous savons déjà que 𝛼 est égale à 𝜋 sur quatre. On doit plutôt trouver la valeur de 𝑘. Comme nous avons la valeur de 𝛼, on peut la remplacer dans notre équation. Ensuite, on peut utiliser les deux équations données pour déterminer les coefficients directeurs.
On commence par le coefficient directeur de la première droite. On veut trouver le coefficient directeur de la droite 𝑘𝑦 moins deux 𝑥 plus 19 égale zéro. Et on remarque que cette droite est donnée sous forme cartésienne, et que c'est difficile de déterminer le coefficient directeur d'une droite donnée sous forme cartésienne. Par conséquent, réécrivons-la sous la forme réduite. On commence par ajouter deux 𝑥 aux deux membres de l'équation et on soustrait 19 des deux membres de l'équation. On obtient 𝑘𝑦 égal deux 𝑥 moins 19.
On va maintenant diviser par 𝑘. Ce qui nous donne 𝑦 égale deux 𝑥 sur 𝑘 moins 19 sur 𝑘. Il faut noter que nous supposons une hypothèse ici. On suppose que la valeur de 𝑘 est non nulle. Si cette valeur est nulle, alors l'équation se simplifie et nous donne moins deux 𝑥 plus 19 égale zéro. On peut réarranger cela pour obtenir 𝑥 égale 19 sur deux. En d'autres termes, cette droite serait une droite verticale passant par 19 sur deux.
Puisque les droites verticales n'ont pas de coefficient directeur bien défini, nous ne pouvons pas utiliser notre formule pour déterminer l'angle entre deux droites si l'une des droites est verticale. Nous devrons donc traiter ce cas séparément. En revanche, on peut déterminer le coefficient directeur de la deuxième droite de la même manière. On commence par ajouter sept 𝑦 aux deux membres de l'équation. On obtient ainsi que sept 𝑦 égale neuf 𝑥 moins huit. On divise ensuite l'équation par sept. 𝑦 est donc égale à neuf sur sept 𝑥 moins huit sur sept.
Avant d'utiliser notre formule, examinons maintenant le cas où 𝑘 égale zéro. On commence par dessiner notre première droite. C'est une droite verticale passant par 19 sur deux. On sait d’après l’énoncé que l'angle entre les deux droites est 𝜋 sur quatre. On remarque que cette droite verticale est parallèle à l'axe des 𝑦. Donc l'angle entre cette droite et toute autre droite sera le même que l'angle entre cette dernière droite et l'axe des 𝑦 puisque c'est une sécante de droites parallèles. Et en particulier, on nous dit que cet angle est 𝜋 sur quatre. On voit donc également que l'angle qu'elle fait avec l'axe des 𝑥 positifs sera également 𝜋 sur quatre. Ainsi, la seule droite qui forme un angle de 𝜋 sur quatre de cette manière avec l'axe des 𝑥 positifs aura un coefficient directeur de un.
Il faut noter que nous avons fait une petite supposition. En effet, nous avons supposé que notre droite a un coefficient directeur positif. On obtient un résultat très similaire si l'on suppose que notre droite a un coefficient directeur négatif. On aurait alors constaté que l'angle avec l'axe des 𝑥 négatifs est égal à 𝜋 sur quatre. La droite aurait donc un coefficient directeur de moins un. Dans les deux cas, on peut prouver que cela n'est pas le cas ici. Comme nous avons déjà trouvé le coefficient directeur de la deuxième droite, celui-ci, sous la forme réduite, est le coefficient de 𝑥, neuf sur sept. Et ce coefficient n'est ni moins un ni plus un. Donc, la valeur de 𝑘 ne peut pas être nulle. Donc nous avons montré que 𝑘 est non nulle, alors faisons de la place et continuons avec cette méthode.
On peut déterminer le coefficient directeur des deux droites comme les coefficients de 𝑥. 𝑚 un est deux sur 𝑘 et 𝑚 deux est neuf sur sept. On peut maintenant les remplacer dans notre formule en tenant compte du fait que 𝛼 égale 𝜋 sur quatre. En remplaçant, on obtient que tangente 𝜋 sur quatre est égale à la valeur absolue de deux sur 𝑘 moins neuf sur sept sur un plus deux sur 𝑘 fois neuf sur sept. Il s'agit maintenant d'une équation entièrement exprimée en termes de 𝑘. On peut donc essayer de résoudre cette équation pour déterminer 𝑘.
On commence donc par simplifier le membre de droite de cette équation. On commence par le numérateur. Il suffit de multiplier deux sur 𝑘 par sept sur sept et neuf sur sept par 𝑘 sur 𝑘. En procédant ainsi tout en simplifiant, on obtient 14 moins neuf 𝑘 le tout divisé par sept 𝑘. Nous pouvons également simplifier le dénominateur. Deux sur 𝑘 fois neuf sur sept est égal à 18 sur sept 𝑘. Ainsi, le membre de droite de cette équation se simplifie et nous donne la valeur absolue de 14 moins neuf 𝑘 sur sept 𝑘 sur un plus 18 sur sept 𝑘. On peut donc calculer le membre de gauche de l'équation. La tangente de 𝜋 sur quatre est juste un.
Il nous reste à simplifier le membre de droite de cette équation. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par sept 𝑘. Après avoir simplifié, on obtient que un est égal à la valeur absolue de 14 moins neuf 𝑘 sur sept 𝑘 plus 18. On peut maintenant résoudre cette équation de valeur absolue. On rappelle que si la valeur absolue de 𝑥 égale un, alors soit 𝑥 est égale à un, soit 𝑥 est égale à moins un. On obtient donc deux équations. Soit 14 moins neuf 𝑘 sur sept 𝑘 plus 18 égale un, soit 14 moins neuf 𝑘 sur sept 𝑘 plus 18 égale moins un.
On peut résoudre ces deux équations pour déterminer 𝑘. Pour la première équation, on multiplie par sept 𝑘 plus 18. Ce qui nous donne sept 𝑘 plus 18 égale 14 moins neuf 𝑘. On peut maintenant ajouter neuf 𝑘 aux deux membres de l'équation et soustraire 18 de ceux-ci. On obtient ainsi que 16𝑘 est égal à moins quatre. Pour terminer, nous allons diviser l'équation par 16. On obtient ainsi que 𝑘 égale moins quatre sur 16, ce qui donne moins un quart. On peut faire la même chose dans le deuxième cas. On multiplie par sept 𝑘 plus 18. Cela nous donne que moins sept 𝑘 moins 18 est égal à 14 moins neuf 𝑘.
On peut maintenant résoudre cette équation en ajoutant neuf 𝑘 puis 18 aux deux membres de l'équation. Ce qui nous donne que deux 𝑘 égale 32. On peut donc déterminer 𝑘 en divisant les deux membres de l'équation par deux. On obtient que 𝑘 égale 16, ce qui donne notre réponse finale. Si l'angle aigu entre les deux droites données est 𝜋 sur quatre, alors il n'y a que deux valeurs possibles de 𝑘. Soit 𝑘 est moins un quart, soit 𝑘 est égal à 16.
