Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la mesure d'un angle aigu compris entre deux droites dans le repère cartésien.
On rappelle que l’équation de toute droite dans le repère cartésien peut s’écrire sous la forme suivante : , où , et sont des constantes. C’est ce qu’on appelle l’équation cartésienne d’une droite. Alternativement, quand on connaît le coefficient directeur ou la pente d’une droite, , et son ordonnée à l'origine , notée , on peut écrire l’équation sous forme réduite :
(Notez que la constante, , sous les formes réduite et cartésienne n’est pas la même.)
Étant donnés le coefficient directeur d’une droite, noté , et un point, , appartenant à la droite, on peut aussi écrire l’équation sous la forme obtenue à l’aide du coefficient directeur et d'un point :
Si on a le coefficient directeur, , d’une droite, on sait que lorsque est positif, alors l’angle, , mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des positifs jusqu’à la droite est aigu. C’est-à-dire . On sait également, à partir de l’équation obtenue à l’aide du coefficient directeur et d'un point, que si on a deux points distincts appartenant à une droite, disons et , alors le coefficient directeur de la droite est le quotient entre la différence des coordonnées et la différence des coordonnées :
Maintenant, d’un point de vue géométrique, si nous formons un triangle rectangle en utilisant nos deux points et et un troisième point dans le plan comme indiqué sur la figure, puis en rappelant que , nous avons
Comme est la différence des coordonnées de deux points appartenant à la droite, et est la différence des cordonnées de deux points appartenant à la droite, cela signifie que
De même, si l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des positifs jusqu’à la droite est obtus, c’est-à-dire , comme indiqué sur la figure ci-dessous, alors le coefficient directeur de la droite passant par les points et est
Ainsi, que l’angle , mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des positifs jusqu’à la droite, soit aigu ou obtus, le coefficient directeur de la droite, , est égal à .
Il convient de noter que, bien qu’on puisse étendre notre méthode aux cas particuliers des droites verticales et horizontales, cette fiche explicative ne les traite pas. On note simplement que les droites horizontales ont un coefficient directeur et un angle de , et que les droites verticales ont un coefficient directeur indéfini et un angle de .
Maintenant, supposons par exemple que nous ayons deux droites dans le repère cartésien, ayant pour coefficients directeurs et , comme indiqué sur la figure ci-dessous. Dans ce cas, , et les deux angles sont aigus.
En supposant que les droites ne sont pas parallèles, c’est-à-dire , et sachant que les mesures des angles d’un triangle doivent avoir une somme de , nous avons
Appliquer la tangente aux deux membres nous donne alors . Maintenant, en utilisant l’identité trigonométrique, nous obtenons
C’est vrai pour deux droites quelconques telles que celles décrites ci-dessus. Cependant, alors que la preuve est légèrement différente selon la position des droites et l’emplacement de leur point d’intersection, à condition qu’aucune droite ne soit verticale, c’est-à-dire ni ni , ce résultat est valable pour deux droites quelconques non parallèles qui forment des angles et , mesurés respectivement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des positifs, jusqu’à chaque droite.
Ainsi, puisque et , cela nous amène à la définition suivante.
Définition : Angle entre deux droites dans le repère cartésien
Un angle entre deux droites non parallèles dans le repère cartésien ayant pour coefficients directeurs et , de sorte que , est donné par
Si les droites sont parallèles, alors , et il n’y a pas d’angle entre eux. Si les droites ne sont ni parallèles ni perpendiculaires, alors il y a deux angles entre elles. Nous appelons le plus petit angle « l’angle » ou « l’angle aigu » entre les droites.
Une tangente de valeur négative correspond à l’angle le plus grand, l’angle obtus, , et pour faire en sorte que la tangente soit celle de l’angle aigu, , on prend la valeur absolue. Ainsi, la tangente de l’angle aigu entre deux droites dans le repère cartésien est
Notez que si , alors le dénominateur est égal à 0, et cette expression est indéfinie. Dans ce cas, les droites sont perpendiculaires, et .
Voyons comment cela s’applique à un exemple où on nous donne les coefficients directeurs de deux droites.
Exemple 1: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites étant donnés leurs coefficients directeurs
Déterminez, à la seconde près, la mesure de l’angle aigu entre deux droites ayant pour coefficients directeurs 5 et .
Réponse
Étant donnés les coefficients directeurs et , de deux droites dans le repère cartésien, il est possible de déterminer l’angle aigu, , entre les droites en utilisant la formule
Sachant que et , nous avons
Déterminer la valeur du membre de droite nous conduit alors à et en appliquant la réciproque de la tangente aux deux membres, nous obtenons
On nous demande de déterminer la mesure de l’angle à la seconde près, et pour ce faire, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans 1 degré et 60 secondes dans 1 minute. On multiplie donc la partie décimale des degrés par 60 : . Par conséquent, on a ( minutes), et en multipliant la partie décimale des minutes par 60, on obtient ( secondes).
La mesure de l’angle aigu entre les deux droites, à la seconde près, est donc .
Dans notre prochain exemple, nous allons apprendre comment déterminer l’angle entre deux droites dans le repère cartésien, où les deux droites sont données sous forme cartésienne.
Exemple 2: Déterminer l’angle entre deux droites en deux dimensions
Déterminez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites d’équations et , à la seconde près.
Réponse
On nous donne les équations de deux droites sous la forme cartésienne, c’est-à-dire sous la forme , où , et sont des nombres réels. Pour déterminer l’angle aigu, , entre les deux droites, nous utiliserons la formule où et sont les coefficients directeurs des droites données. Nous aurons donc besoin de déterminer ces deux coefficients directeurs, donnés dans chaque cas par la formule .
Nos droites sont alors leurs coefficients directeurs sont et .
En remplaçant ces deux valeurs dans la formule de , on a donc
Maintenant, en appliquant la tangente réciproque aux deux membres, on obtient
On nous demande la mesure de l’angle à la seconde près. Pour déterminer cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans 1 degré et 60 secondes dans 1 minute. On multiplie donc la partie décimale des degrés par 60 : . Par conséquent, on a ( minutes), et en multipliant la partie décimale des minutes par 60, on obtient ( secondes).
La mesure de l’angle aigu entre les deux droites, à la seconde près, est donc .
Dans notre prochain exemple, nous déterminerons l’angle aigu entre une droite dont l’équation est donnée sous forme cartésienne et une seconde droite passant par deux points connus.
Exemple 3: Déterminer l’angle entre deux droites en deux dimensions
Déterminez la mesure de l’angle aigu entre la droite d’équation et la droite passant par les points et , à la seconde près.
Réponse
Pour déterminer l’angle aigu, , entre les deux droites données, on peut utiliser la formule où est le coefficient directeur de notre première droite, noté , et est le coefficient directeur de la seconde droite, noté . Pour utiliser cette formule, nous devrons déterminer les coefficients directeurs des deux droites.
Notre première droite est donnée sous forme cartésienne : , où , et sont des nombres réels et où, dans notre cas, , et . Le coefficient directeur, , est donné par ; par conséquent, .
Pour déterminer notre second coefficient directeur, , nous rappelons que, étant donnés deux points distincts, et , appartenant à une droite, le coefficient directeur de la droite passant par ces points est donné par la variation en divisée par la variation en . C’est-à-dire
Quant à notre seconde droite, , on nous donne les coordonnées de deux points appartenant à la droite, et . Le coefficient directeur, noté , de est donc
Maintenant, après avoir déterminé les deux coefficients directeurs et , on peut utiliser la formule indiquée relative à la tangente de l’angle aigu, , entre les deux droites :
En appliquant alors la tangente réciproque, on obtient
On nous demande de déterminer l’angle à la seconde près. Pour déterminer cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans 1 degré et 60 secondes dans 1 minute. On multiplie donc la partie décimale des degrés par 60 : . Par conséquent, on a ( minutes), et en multipliant la partie décimale des minutes par 60, on obtient ( secondes).
La mesure de l’angle entre les deux droites, à la seconde près, est donc .
Jusqu’à présent, nos droites ont été définies sous forme cartésienne ou par des points appartenant à la droite, qui nous ont permis de déterminer les coefficients directeurs. Cependant, il y a d’autres formes sous lesquelles les équations des droites peuvent être données, comme l’indique la définition suivante.
Définition : Équations vectorielle, paramétriques et cartésienne d’une droite dans le repère cartésien
Une droite passant par un point A ayant pour vecteur position , dans la direction du vecteur , peut s’écrire sous les formes suivantes :
Sous forme vectorielle, chaque valeur unique du paramètre réel donne le vecteur position d’un point appartenant à la droite ; et sous forme cartésienne, on suppose que et ont toutes les deux des valeurs non nulles.
Notez qu’en résolvant chacune des équations paramétriques pour trouver et en les égalisant, on obtient la forme cartésienne, qui peut être réarrangée comme suit :
La droite est donnée maintenant sous forme réduite , où le coefficient directeur est . Ainsi, étant donnés une droite sous l’une des formes ci-dessus et, notamment, son vecteur directeur, nous pouvons déterminer son coefficient directeur, qui est , à condition que la valeur de soit non nulle.
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons cette définition pour déterminer l’angle entre deux droites dont les équations sont données sous formes vectorielle et paramétrique.
Exemple 4: Déterminer l’angle entre deux droites en deux dimensions
Déterminez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites et dont les équations sont respectivement et , , en degrés, minutes et secondes, à la seconde près.
Réponse
Pour déterminer l’angle aigu, , entre deux droites dans le repère cartésien, on utilise la formule où et sont les coefficients directeurs des deux droites. Il faut donc déterminer les coefficients directeurs des deux droites données.
La première équation des deux droites, , est donnée sous forme vectorielle, c’est-à-dire sous la forme où la droite passe par le point ayant pour vecteur position , et suit la direction du vecteur . Le coefficient directeur d’une droite de vecteur directeur est .
Pour notre droite, , on voit que la constante correspond au paramètre de sorte que notre vecteur directeur est . Le coefficient directeur de cette droite est donc
Notre seconde droite, , est donnée sous forme paramétrique. C’est-à-dire sous la forme où la droite passe aussi par le point ayant pour vecteur position , dans la direction du vecteur . En effectuant une comparaison, on voit que le paramètre dans correspond au paramètre dans les équations paramétriques, et que notre vecteur directeur est donc . Ainsi, le coefficient directeur de la droite est donné par
Nous pouvons maintenant utiliser nos deux coefficients directeurs, et , dans la formule pour déterminer l’angle aigu entre les deux droites :
Maintenant, en appliquant la tangente réciproque aux deux membres, nous obtenons
On nous demande de déterminer l’angle à la seconde près. Pour ce faire, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans 1 degré et 60 secondes dans 1 minute. On multiplie donc la partie décimale des degrés par 60 : . Par conséquent, on a ( minutes), et en multipliant la partie décimale des minutes par 60, on obtient ( secondes).
Par conséquent, la mesure de l’angle aigu entre les deux droites et , à la seconde près, est .
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons la formule de la tangente de l’angle entre deux droites pour déterminer les équations des droites.
Exemple 5: Déterminer les équations de deux droites en deux dimensions en utilisant la tangente de l’angle compris entre ces droites
Soit l’angle entre deux droites qui passent par . Si et les coefficients directeurs des droites sont et , où , déterminez les équations de ces droites.
Réponse
Rappelons que l’angle entre deux droites correspond au plus petit des deux angles et on nous dit que deux droites, disons et , passent toutes les deux par le point et que la tangente de l’angle, , compris entre ces deux droites est égale à . On sait également que le coefficient directeur de est égal à , et que le coefficient directeur de est égal à , où .
Pour déterminer les équations des droites et , on utilise d’abord les informations fournies par la formule de la tangente de l’angle entre deux droites pour déterminer toute valeur possible de . On peut alors utiliser le point donné et l’équation d’une droite obtenue à l’aide du coefficient directeur et d'un point afin de déterminer les équations des droites et .
Rappelons que la formule de la tangente de l’angle aigu, , entre deux droites est la suivante : où et sont les coefficients directeurs des deux droites. En remplaçant nos valeurs par , et , on a on note que comme est positif, le membre de droite est positif. En réarrangeant cela, on obtient l’équation du second degré qu’on peut résoudre pour trouver . En utilisant la formule des racines du polynôme du second degré, ou avec une autre méthode, on trouve qu’il y a deux solutions : et .
L’équation d’une droite obtenue à l’aide du coefficient directeur et d'un point est où est le coefficient directeur, et la droite passe par le point . En utilisant cette équation avec chacune de nos solutions pour , avec le point par lequel passent les deux droites, on obtient les équations des droites et .
En commençant par notre solution, , on rappelle que le coefficient directeur de est , et que le coefficient directeur de . On a donc
Maintenant, en l’utilisant avec la seconde solution, , on sait que le coefficient directeur de est et le coefficient directeur de .
Par conséquent, dans ce cas, on a
Ainsi, il y a deux paires possibles d’équations pour ces droites : ou
Nous terminons cette fiche explicative en récapitulant quelques points clés.
Points clés
- Pour déterminer l’angle aigu, , entre deux droites ayant pour coefficients directeurs et dans le repère cartésien, on utilise la formule
- Si , alors le dénominateur dans la formule de est égal à 0, et l’expression est indéfinie. Dans ce cas, les droites sont perpendiculaires, et .
- On fait référence à l’angle aigu entre deux droites dans le repère cartésien comme étant l’angle entre ces droites.
- Si les droites sont parallèles, elles ne se coupent pas, donc il n’y a pas d’angle entre elles.
