Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver la mesure d’un angle aigu
entre deux droites dans un repère. Pour ce faire, on utilise une formule impliquant la tangente de l’angle entre les
deux droites et les pentes des deux droites. Cela signifie qu’en fonction de la forme de la droite, il pourrait être nécessaire de
déterminer leurs pentes. Alors rappelons-nous d’abord des formes les plus utilisées d’une droite. On appelle cela la forme générale d’une droite dans un repère. On a 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres
réels. Alternativement, lorsqu’on connait la pente 𝑚 et son ordonnée à l’origine 𝑏, on
peut écrire l’équation sous la forme pente-ordonnée à l’origine. Qui est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Notez que dans la forme pente-ordonnée à l’origine, la constante 𝑏 est l’ordonnée à
l’origine, et ce n’est pas la même chose que le 𝑏 dans la forme générale.
Étant donné la pente 𝑚 d’une droite et le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro sur la droite, on
peut aussi écrire l’équation de la droite sous la forme point–pente. C’est-à-dire 𝑦 moins 𝑦 zéro est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 zéro où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro
sont les coordonnées du point sur la droite. Supposons maintenant que nous ayons une droite dont la pente 𝑚 est positive. L’angle 𝜃 mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direction 𝑥 positive est
aigu. C’est-à-dire entre zéro et 90 degrés. Nous savons de la forme point-pente que si on a deux points sur la droite 𝑃 et 𝑄,
avec les coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑥 un, 𝑦 un, respectivement, alors la
pente 𝑚 de la droite est le rapport de la variation de 𝑦 à la variation de 𝑥.
Et maintenant, si on trace un triangle rectangle avec nos deux points 𝑃, 𝑄 et un
troisième point 𝑅 dans le plan, on a 𝑦 un moins 𝑦 zéro est 𝑄𝑅, 𝑥 un moins 𝑥
zéro est 𝑃𝑅, et par rapport à notre angle 𝜃, 𝑄𝑅 est le côté opposé et 𝑃𝑅 est
le côté adjacent de sorte que 𝑄𝑅 sur 𝑃𝑅 est le tan de l’angle 𝜃. Notre pente 𝑚 est donc tan 𝜃. Un argument similaire nous dit que si l’angle mesuré dans le sens antihoraire à
partir de la direction positive de l’axe des 𝑥 jusqu’à la droite est obtus,
c’est-à-dire que 𝜃 est compris entre 90 degrés et 180 degrés, alors la pente de la
droite passant par les points 𝑃 et 𝑄 est 𝑚, ce qui est égal à moins 𝑃𝑅 sur
𝑄𝑅. Qui est moins tan 𝛼. Et puisque moins tan de 𝛼 est égal à tan de 𝜃, on a encore 𝑚 est égal à tan
𝜃.
Cela signifie que peu importe si notre angle est aigu ou obtus lorsqu’il est mesuré
dans le sens antihoraire à partir de la direction 𝑥 positive, la pente de cette
droite 𝑚 est égale à la tangente de l’angle. Il convient de mentionner que bien que nous puissions étendre notre méthode aux cas
particuliers des droites verticales et horizontales, nous ne verrons pas cela dans
cette vidéo. Nous notons simplement que les droites horizontales ont une pente 𝑚 égale à zéro et
un angle de zéro degré, et les droites verticales ont une pente indéfinie et un
angle de 90 degrés.
Supposons maintenant que nous ayons deux droites dans un repère avec des pentes 𝑚 un
est égal à tan de l’angle 𝜃 un et 𝑚 deux est le tan de l’angle 𝜃 deux. Eh bien, nous savons que dans l’exemple représenté, 𝜃 un est supérieur à 𝜃 deux et
les deux angles sont aigus. Et supposant que les droites ne sont pas parallèles, c’est-à-dire que 𝑚 un n’est pas
égale à 𝑚 deux, alors puisque la somme des angles d’un triangle doit être égale à
180 degrés, on a 𝜃 deux plus 𝛼 plus 180 moins 𝜃 un est égal à 180. Maintenant, lorsqu’on écrit une expression pour 𝛼, on a, 180 moins 180 est égal à
zéro nous donne 𝛼 est égal à 𝜃 un moins 𝜃 deux. Et si on prend la tangente des deux côtés, on a tan 𝛼 est égal à tan 𝜃 un moins 𝜃
deux.
On peut utiliser la formule d’addition pour la tangente ce qui donne tan 𝛼 égale tan
𝜃 un moins tan 𝜃 deux sur un plus tan 𝜃 un tan 𝜃 deux. Et cela est vrai pour deux droites quelconques, comme décrit dans le diagramme. Selon la position des droites et l’emplacement de leur point d’intersection, la
démonstration diffère légèrement, mais maintenant on peut combiner les pentes 𝑚 un
et 𝑚 deux avec nos angles 𝜃 un et 𝜃 deux, ce qui nous donne que l’angle 𝛼 entre
deux droites non parallèles dans le repère avec des pentes 𝑚 un et 𝑚 deux, telles
que 𝑚 un 𝑚 deux n’est pas égal à moins un, est défini par tan 𝛼 égale 𝑚 un moins
𝑚 deux divisé par un plus 𝑚 un 𝑚 deux.
Rappelons maintenant qu’il y a deux angles lorsque deux droites se croisent, un obtus
et un aigu, on appelle le plus petit angle aigu l’angle. Et rappelons que la tangente négative correspond à l’angle obtus. Donc, pour s’assurer que la tangente est la tangente de l’angle aigu, l’angle le plus
petit, on prend la valeur absolue du côté droit. Ainsi, le tan 𝛼 est la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un
multiplié par 𝑚 deux. Voyons maintenant comment cela fonctionne dans un exemple où on nous donne les pentes
de deux droites.
Déterminez à la seconde près la mesure de l’angle entre deux droites dont les pentes
sont cinq et un quart.
Connaissant les pentes de nos deux droites, 𝑚 un est égal à cinq et 𝑚 deux est un
quart, nous pouvons trouver l’angle aigu 𝛼 entre les droites en utilisant la
formule tan 𝛼 ou la tangente de 𝛼 est la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur
un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Dans notre cas, cela nous donne tan de 𝛼 est égale à la valeur absolue de cinq moins
un sur quatre, le tout divisé par un plus cinq fois un sur quatre. Le côté droit donne 19 divisé par neuf. Et voici le tan de notre angle 𝛼. Et maintenant, si on prend la tangente inverse des deux côtés, on a 𝛼 est égal au
tan inverse de 19 sur neuf. Et si on évalue cela sur une calculatrice, on obtient, à quatre décimales que 𝛼 est
égal à 64,6538 degrés.
On nous demande de trouver l’angle à la seconde près. Et pour ce faire, rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans
une minute. Nous commençons donc par multiplier la partie décimale de nos degrés par 60, ce qui
nous donne, à quatre décimales 39,2294 minutes. Maintenant, lorsqu’on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 cela nous
donne, à quatre décimales,13,7666 secondes, soit environ 14 secondes. À la seconde près, l’angle entre nos deux droites est de 64 degrés, 39 minutes et 14
secondes.
Dans cet exemple, on nous a donné les pentes des deux droites, et dans notre exemple
suivant, nous allons voir comment trouver l’angle entre deux droites dans le repère
où les droites sont toutes deux données sous forme générale.
Trouvez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites dont les équations sont 11𝑥
plus 10𝑦 moins 28 est égal à zéro et deux 𝑥 plus 𝑦 plus 15 est égal à zéro à la
seconde près.
On nous donne les équations de deux droites sous forme générale. C’est-à-dire 𝑎𝑥 plus 𝑎𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres
réels. Et pour trouver l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites, nous allons utiliser la
formule tan 𝛼 est égal à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un
multiplié par 𝑚 deux, où 𝑚 un et 𝑚 deux sont les pentes de nos deux droites. Et pour une droite sous forme générale, nous savons que la pente est 𝑚 égale à moins
𝑎 sur 𝑏. Nos droites sont D un, qui est 11𝑥 plus 10𝑦 moins 28 est égal à zéro, et D deux,
qui est deux 𝑥 plus 𝑦 plus 15 est égal à zéro. Cela signifie que pour notre droite D un, 𝑎 est égal à 11, 𝑏 est égal à 10 et 𝑐
est moins 28. Cela signifie que notre pente 𝑚 un qui est moins 𝑎 sur 𝑏 est égal à moins 11 sur
10.
Et maintenant, si on applique la même chose à notre droite D deux, où dans ce cas 𝑎
est égal à deux, 𝑏 est égal à plus un et 𝑐 est égal à 15, et donc notre pente 𝑚
deux est égale à moins deux. Et maintenant, on peut introduire ces valeurs dans la formule de la tangente de
l’angle entre les deux droites. Maintenant, lorsqu’on simplifie le numérateur et le dénominateur, on a la valeur
absolue de moins 11 sur 10 plus deux divisé par un plus 22 sur 10, et cela est égal
à neuf divisé par 32. Et maintenant, créons un peu de place, on peut prendre la tangente inverse des deux
côtés pour déterminer l’angle 𝛼 ; on a 𝛼 est égal à tan inverse de neuf sur
32. Et à quatre décimales avec une calculatrice, on a 15,7086 degrés.
On nous demande la mesure de l’angle à la seconde près. Et pour trouver cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60
secondes dans une minute. Si on multiplie la partie décimale de nos degrés par 60, on obtient 42,5182 à quatre
décimales, et ce sont des minutes. Et maintenant, si on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 on a 31,0961
secondes à quatre décimales. Cela fait environ 31 secondes. La mesure de l’angle aigu entre les deux droites à la seconde près est donc 15
degrés, 42 minutes et 31 secondes.
Dans cet exemple, on nous a donné deux droites sous forme générale, et avant notre
exemple suivant, rappelons-nous d’autres façons d’exprimer des droites. Si nous avons une droite qui passe par le point 𝐴 avec des coordonnées 𝑎 un, 𝑎
deux dans la direction du vecteur 𝐝 avec les composantes 𝑑 un, 𝑑 deux, alors sous
la forme vectorielle de la droite, chaque valeur unique du paramètre réel 𝑡 donne
le vecteur position 𝐫 d’un point sur la droite. La droite sous forme paramétrique est 𝑥 égale 𝑎 un plus 𝑡𝑑 un et 𝑦 égale 𝑎 deux
plus 𝑡𝑑 deux. Et sous forme cartésienne, 𝑥 moins 𝑎 un sur 𝑑 un est égal à 𝑦 moins 𝑎 sur deux
𝑑 deux, où 𝑑 un et 𝑑 deux sont non nuls.
Notez que lorsqu’on détermine 𝑡 pour chacune des équations paramétriques et on les
compare on obtient la forme cartésienne. Et on peut réarranger cela et obtenir 𝑦 est égal à 𝑑 deux sur 𝑑 un 𝑥 plus 𝑎 deux
moins 𝑑 deux sur 𝑑 un fois 𝑎 un. Et voici la forme de pente-ordonnée à l’origine, où notre pente 𝑚 est 𝑑 deux sur 𝑑
un. Cela implique que, étant donné une droite sous une des formes illustrées et en
particulier son vecteur directeur, on peut trouver sa pente qui est 𝑑 deux sur 𝑑
un à condition que 𝑑 un soit différent de zéro. Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser ce concept pour trouver l’angle entre
deux droites dont les équations sont données sous forme vectorielle et
paramétrique.
Déterminez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites D un et D deux dont les
équations sont respectivement 𝐫 égale deux, sept plus 𝐾 fois moins un, huit et 𝑥
égale trois plus 12𝑑, 𝑦 égale quatre 𝑑 moins cinq, en degrés, minutes et secondes
à la seconde près.
Pour trouver l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites dans le repère, nous allons
utiliser la formule tan de 𝛼 est égal à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux
divisé par un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Où 𝑚 un est la pente de la droite D un et 𝑚 deux est la pente de la droite D
deux. Et cela, bien sûr, signifie qu’on doit trouver les pentes 𝑚 un et 𝑚 deux. La première de nos droites D un est donnée sous forme vectorielle. Cela signifie que tout point de la droite 𝑥, 𝑦 passe par le point 𝐴 de coordonnées
𝑎 un, 𝑎 deux dans la direction du vecteur directeur avec les composantes 𝑑 un et
𝑑 deux pour une valeur unique du paramètre 𝑡. La pente de la droite est égale à 𝑑 deux sur 𝑑 un, où 𝑑 un est différent de
zéro.
Sur la droite D un, on peut voir que la constante 𝐾 correspond au paramètre 𝑡 et
que le vecteur directeur 𝐝 a des composantes moins un et huit. Cela signifie que 𝑑 un correspond à moins un et 𝑑 deux égale huit. Notre pente 𝑚 un est donc huit divisé par moins un, qui est égal à moins huit. Notre deuxième droite D deux est donnée sous forme paramétrique. C’est-à-dire 𝑥 est égal à 𝑎 un plus 𝑡 fois 𝑑 un et 𝑦 est égal à 𝑎 deux plus 𝑡
fois 𝑑 deux. Et encore une fois, notre vecteur directeur est 𝐝 avec les composantes 𝑑 un, 𝑑
deux, et notre droite passe par le point 𝐴 avec coordonnées 𝑎 un, 𝑎 deux. Comme précédemment, notre pente est donnée par 𝑑 deux sur 𝑑 un.
En comparant notre droite D deux avec la forme paramétrique, notre constante 𝑑
correspond au paramètre 𝑡 de sorte que notre vecteur directeur a les composantes
12, quatre. Notre pente 𝑚 deux, qui est 𝑑 deux sur 𝑑 un, est égale à quatre sur 12, soit un
sur trois. Nous pouvons maintenant utiliser nos deux pentes, 𝑚 un égale moins huit et 𝑚 deux
égale un sur trois, pour trouver le tan de notre angle 𝛼. Cela est égal à moins 25 sur trois divisé par moins cinq sur trois. Et cela est égal à cinq. Et maintenant, lorsqu’on prend la tangente inverse des deux côtés, on a 𝛼 égale tan
inverse de cinq qui est égal à 78,6900 degrés.
On nous demande l’angle à la seconde près. Et pour trouver cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60
secondes dans une minute. Pour trouver le nombre de minutes, on multiplie la partie décimale de notre résultat
par 60, ce qui, à quatre décimales, est égal 41,4040 minutes. Et pour trouver le nombre de secondes, on multiplie la partie décimale de nos minutes
par 60, qui, à quatre décimales, est égal à 24,2430 secondes. Cela fait environ 24 secondes. Et on libère un peu d’espace, à la seconde près, l’angle aigu entre les deux droites
D un et D deux est de 78 degrés, 41 minutes et 24 secondes.
Terminons cette vidéo en rappelant certains des points clés que nous avons
abordés. Étant donné deux droites dans le repère avec des pentes 𝑚 un et 𝑚 deux, pour
déterminer l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites, on utilise la formule tan 𝛼 ou
la tangente de 𝛼 est égale à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux divisé par un
plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Si 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux est négatif, alors l’expression de tan 𝛼 est
indéfinie car le dénominateur est égal à zéro. Cela signifie que les droites sont perpendiculaires, de sorte que l’angle entre elles
est de 90 degrés. Pour parler de l’angle aigu entre deux droites dans un plan on utilise l’expression «
l’angle entre elles. » Et enfin, si les droites sont parallèles, elles ne se croisent pas et il n’y a donc
pas d’angle entre elles.