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Vidéo de la leçon: Angle entre deux droites dans le plan cartésien Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la mesure d’un angle aigu compris entre deux droites dans le repère cartésien.

16:10

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver la mesure d’un angle aigu entre deux droites dans un repère. Pour ce faire, on utilise une formule impliquant la tangente de l’angle entre les deux droites et les pentes des deux droites. Cela signifie qu’en fonction de la forme de la droite, il pourrait être nécessaire de déterminer leurs pentes. Alors rappelons-nous d’abord des formes les plus utilisées d’une droite. On appelle cela la forme générale d’une droite dans un repère. On a 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels. Alternativement, lorsqu’on connait la pente 𝑚 et son ordonnée à l’origine 𝑏, on peut écrire l’équation sous la forme pente-ordonnée à l’origine. Qui est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Notez que dans la forme pente-ordonnée à l’origine, la constante 𝑏 est l’ordonnée à l’origine, et ce n’est pas la même chose que le 𝑏 dans la forme générale.

Étant donné la pente 𝑚 d’une droite et le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro sur la droite, on peut aussi écrire l’équation de la droite sous la forme point–pente. C’est-à-dire 𝑦 moins 𝑦 zéro est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 zéro où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro sont les coordonnées du point sur la droite. Supposons maintenant que nous ayons une droite dont la pente 𝑚 est positive. L’angle 𝜃 mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direction 𝑥 positive est aigu. C’est-à-dire entre zéro et 90 degrés. Nous savons de la forme point-pente que si on a deux points sur la droite 𝑃 et 𝑄, avec les coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑥 un, 𝑦 un, respectivement, alors la pente 𝑚 de la droite est le rapport de la variation de 𝑦 à la variation de 𝑥.

Et maintenant, si on trace un triangle rectangle avec nos deux points 𝑃, 𝑄 et un troisième point 𝑅 dans le plan, on a 𝑦 un moins 𝑦 zéro est 𝑄𝑅, 𝑥 un moins 𝑥 zéro est 𝑃𝑅, et par rapport à notre angle 𝜃, 𝑄𝑅 est le côté opposé et 𝑃𝑅 est le côté adjacent de sorte que 𝑄𝑅 sur 𝑃𝑅 est le tan de l’angle 𝜃. Notre pente 𝑚 est donc tan 𝜃. Un argument similaire nous dit que si l’angle mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direction positive de l’axe des 𝑥 jusqu’à la droite est obtus, c’est-à-dire que 𝜃 est compris entre 90 degrés et 180 degrés, alors la pente de la droite passant par les points 𝑃 et 𝑄 est 𝑚, ce qui est égal à moins 𝑃𝑅 sur 𝑄𝑅. Qui est moins tan 𝛼. Et puisque moins tan de 𝛼 est égal à tan de 𝜃, on a encore 𝑚 est égal à tan 𝜃.

Cela signifie que peu importe si notre angle est aigu ou obtus lorsqu’il est mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direction 𝑥 positive, la pente de cette droite 𝑚 est égale à la tangente de l’angle. Il convient de mentionner que bien que nous puissions étendre notre méthode aux cas particuliers des droites verticales et horizontales, nous ne verrons pas cela dans cette vidéo. Nous notons simplement que les droites horizontales ont une pente 𝑚 égale à zéro et un angle de zéro degré, et les droites verticales ont une pente indéfinie et un angle de 90 degrés.

Supposons maintenant que nous ayons deux droites dans un repère avec des pentes 𝑚 un est égal à tan de l’angle 𝜃 un et 𝑚 deux est le tan de l’angle 𝜃 deux. Eh bien, nous savons que dans l’exemple représenté, 𝜃 un est supérieur à 𝜃 deux et les deux angles sont aigus. Et supposant que les droites ne sont pas parallèles, c’est-à-dire que 𝑚 un n’est pas égale à 𝑚 deux, alors puisque la somme des angles d’un triangle doit être égale à 180 degrés, on a 𝜃 deux plus 𝛼 plus 180 moins 𝜃 un est égal à 180. Maintenant, lorsqu’on écrit une expression pour 𝛼, on a, 180 moins 180 est égal à zéro nous donne 𝛼 est égal à 𝜃 un moins 𝜃 deux. Et si on prend la tangente des deux côtés, on a tan 𝛼 est égal à tan 𝜃 un moins 𝜃 deux.

On peut utiliser la formule d’addition pour la tangente ce qui donne tan 𝛼 égale tan 𝜃 un moins tan 𝜃 deux sur un plus tan 𝜃 un tan 𝜃 deux. Et cela est vrai pour deux droites quelconques, comme décrit dans le diagramme. Selon la position des droites et l’emplacement de leur point d’intersection, la démonstration diffère légèrement, mais maintenant on peut combiner les pentes 𝑚 un et 𝑚 deux avec nos angles 𝜃 un et 𝜃 deux, ce qui nous donne que l’angle 𝛼 entre deux droites non parallèles dans le repère avec des pentes 𝑚 un et 𝑚 deux, telles que 𝑚 un 𝑚 deux n’est pas égal à moins un, est défini par tan 𝛼 égale 𝑚 un moins 𝑚 deux divisé par un plus 𝑚 un 𝑚 deux.

Rappelons maintenant qu’il y a deux angles lorsque deux droites se croisent, un obtus et un aigu, on appelle le plus petit angle aigu l’angle. Et rappelons que la tangente négative correspond à l’angle obtus. Donc, pour s’assurer que la tangente est la tangente de l’angle aigu, l’angle le plus petit, on prend la valeur absolue du côté droit. Ainsi, le tan 𝛼 est la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Voyons maintenant comment cela fonctionne dans un exemple où on nous donne les pentes de deux droites.

Déterminez à la seconde près la mesure de l’angle entre deux droites dont les pentes sont cinq et un quart.

Connaissant les pentes de nos deux droites, 𝑚 un est égal à cinq et 𝑚 deux est un quart, nous pouvons trouver l’angle aigu 𝛼 entre les droites en utilisant la formule tan 𝛼 ou la tangente de 𝛼 est la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Dans notre cas, cela nous donne tan de 𝛼 est égale à la valeur absolue de cinq moins un sur quatre, le tout divisé par un plus cinq fois un sur quatre. Le côté droit donne 19 divisé par neuf. Et voici le tan de notre angle 𝛼. Et maintenant, si on prend la tangente inverse des deux côtés, on a 𝛼 est égal au tan inverse de 19 sur neuf. Et si on évalue cela sur une calculatrice, on obtient, à quatre décimales que 𝛼 est égal à 64,6538 degrés.

On nous demande de trouver l’angle à la seconde près. Et pour ce faire, rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. Nous commençons donc par multiplier la partie décimale de nos degrés par 60, ce qui nous donne, à quatre décimales 39,2294 minutes. Maintenant, lorsqu’on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 cela nous donne, à quatre décimales,13,7666 secondes, soit environ 14 secondes. À la seconde près, l’angle entre nos deux droites est de 64 degrés, 39 minutes et 14 secondes.

Dans cet exemple, on nous a donné les pentes des deux droites, et dans notre exemple suivant, nous allons voir comment trouver l’angle entre deux droites dans le repère où les droites sont toutes deux données sous forme générale.

Trouvez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites dont les équations sont 11𝑥 plus 10𝑦 moins 28 est égal à zéro et deux 𝑥 plus 𝑦 plus 15 est égal à zéro à la seconde près.

On nous donne les équations de deux droites sous forme générale. C’est-à-dire 𝑎𝑥 plus 𝑎𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels. Et pour trouver l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites, nous allons utiliser la formule tan 𝛼 est égal à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux, où 𝑚 un et 𝑚 deux sont les pentes de nos deux droites. Et pour une droite sous forme générale, nous savons que la pente est 𝑚 égale à moins 𝑎 sur 𝑏. Nos droites sont D un, qui est 11𝑥 plus 10𝑦 moins 28 est égal à zéro, et D deux, qui est deux 𝑥 plus 𝑦 plus 15 est égal à zéro. Cela signifie que pour notre droite D un, 𝑎 est égal à 11, 𝑏 est égal à 10 et 𝑐 est moins 28. Cela signifie que notre pente 𝑚 un qui est moins 𝑎 sur 𝑏 est égal à moins 11 sur 10.

Et maintenant, si on applique la même chose à notre droite D deux, où dans ce cas 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à plus un et 𝑐 est égal à 15, et donc notre pente 𝑚 deux est égale à moins deux. Et maintenant, on peut introduire ces valeurs dans la formule de la tangente de l’angle entre les deux droites. Maintenant, lorsqu’on simplifie le numérateur et le dénominateur, on a la valeur absolue de moins 11 sur 10 plus deux divisé par un plus 22 sur 10, et cela est égal à neuf divisé par 32. Et maintenant, créons un peu de place, on peut prendre la tangente inverse des deux côtés pour déterminer l’angle 𝛼 ; on a 𝛼 est égal à tan inverse de neuf sur 32. Et à quatre décimales avec une calculatrice, on a 15,7086 degrés.

On nous demande la mesure de l’angle à la seconde près. Et pour trouver cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. Si on multiplie la partie décimale de nos degrés par 60, on obtient 42,5182 à quatre décimales, et ce sont des minutes. Et maintenant, si on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60 on a 31,0961 secondes à quatre décimales. Cela fait environ 31 secondes. La mesure de l’angle aigu entre les deux droites à la seconde près est donc 15 degrés, 42 minutes et 31 secondes.

Dans cet exemple, on nous a donné deux droites sous forme générale, et avant notre exemple suivant, rappelons-nous d’autres façons d’exprimer des droites. Si nous avons une droite qui passe par le point 𝐴 avec des coordonnées 𝑎 un, 𝑎 deux dans la direction du vecteur 𝐝 avec les composantes 𝑑 un, 𝑑 deux, alors sous la forme vectorielle de la droite, chaque valeur unique du paramètre réel 𝑡 donne le vecteur position 𝐫 d’un point sur la droite. La droite sous forme paramétrique est 𝑥 égale 𝑎 un plus 𝑡𝑑 un et 𝑦 égale 𝑎 deux plus 𝑡𝑑 deux. Et sous forme cartésienne, 𝑥 moins 𝑎 un sur 𝑑 un est égal à 𝑦 moins 𝑎 sur deux 𝑑 deux, où 𝑑 un et 𝑑 deux sont non nuls.

Notez que lorsqu’on détermine 𝑡 pour chacune des équations paramétriques et on les compare on obtient la forme cartésienne. Et on peut réarranger cela et obtenir 𝑦 est égal à 𝑑 deux sur 𝑑 un 𝑥 plus 𝑎 deux moins 𝑑 deux sur 𝑑 un fois 𝑎 un. Et voici la forme de pente-ordonnée à l’origine, où notre pente 𝑚 est 𝑑 deux sur 𝑑 un. Cela implique que, étant donné une droite sous une des formes illustrées et en particulier son vecteur directeur, on peut trouver sa pente qui est 𝑑 deux sur 𝑑 un à condition que 𝑑 un soit différent de zéro. Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser ce concept pour trouver l’angle entre deux droites dont les équations sont données sous forme vectorielle et paramétrique.

Déterminez la mesure de l’angle aigu entre les deux droites D un et D deux dont les équations sont respectivement 𝐫 égale deux, sept plus 𝐾 fois moins un, huit et 𝑥 égale trois plus 12𝑑, 𝑦 égale quatre 𝑑 moins cinq, en degrés, minutes et secondes à la seconde près.

Pour trouver l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites dans le repère, nous allons utiliser la formule tan de 𝛼 est égal à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux divisé par un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Où 𝑚 un est la pente de la droite D un et 𝑚 deux est la pente de la droite D deux. Et cela, bien sûr, signifie qu’on doit trouver les pentes 𝑚 un et 𝑚 deux. La première de nos droites D un est donnée sous forme vectorielle. Cela signifie que tout point de la droite 𝑥, 𝑦 passe par le point 𝐴 de coordonnées 𝑎 un, 𝑎 deux dans la direction du vecteur directeur avec les composantes 𝑑 un et 𝑑 deux pour une valeur unique du paramètre 𝑡. La pente de la droite est égale à 𝑑 deux sur 𝑑 un, où 𝑑 un est différent de zéro.

Sur la droite D un, on peut voir que la constante 𝐾 correspond au paramètre 𝑡 et que le vecteur directeur 𝐝 a des composantes moins un et huit. Cela signifie que 𝑑 un correspond à moins un et 𝑑 deux égale huit. Notre pente 𝑚 un est donc huit divisé par moins un, qui est égal à moins huit. Notre deuxième droite D deux est donnée sous forme paramétrique. C’est-à-dire 𝑥 est égal à 𝑎 un plus 𝑡 fois 𝑑 un et 𝑦 est égal à 𝑎 deux plus 𝑡 fois 𝑑 deux. Et encore une fois, notre vecteur directeur est 𝐝 avec les composantes 𝑑 un, 𝑑 deux, et notre droite passe par le point 𝐴 avec coordonnées 𝑎 un, 𝑎 deux. Comme précédemment, notre pente est donnée par 𝑑 deux sur 𝑑 un.

En comparant notre droite D deux avec la forme paramétrique, notre constante 𝑑 correspond au paramètre 𝑡 de sorte que notre vecteur directeur a les composantes 12, quatre. Notre pente 𝑚 deux, qui est 𝑑 deux sur 𝑑 un, est égale à quatre sur 12, soit un sur trois. Nous pouvons maintenant utiliser nos deux pentes, 𝑚 un égale moins huit et 𝑚 deux égale un sur trois, pour trouver le tan de notre angle 𝛼. Cela est égal à moins 25 sur trois divisé par moins cinq sur trois. Et cela est égal à cinq. Et maintenant, lorsqu’on prend la tangente inverse des deux côtés, on a 𝛼 égale tan inverse de cinq qui est égal à 78,6900 degrés.

On nous demande l’angle à la seconde près. Et pour trouver cela, nous rappelons qu’il y a 60 minutes dans un degré et 60 secondes dans une minute. Pour trouver le nombre de minutes, on multiplie la partie décimale de notre résultat par 60, ce qui, à quatre décimales, est égal 41,4040 minutes. Et pour trouver le nombre de secondes, on multiplie la partie décimale de nos minutes par 60, qui, à quatre décimales, est égal à 24,2430 secondes. Cela fait environ 24 secondes. Et on libère un peu d’espace, à la seconde près, l’angle aigu entre les deux droites D un et D deux est de 78 degrés, 41 minutes et 24 secondes.

Terminons cette vidéo en rappelant certains des points clés que nous avons abordés. Étant donné deux droites dans le repère avec des pentes 𝑚 un et 𝑚 deux, pour déterminer l’angle aigu 𝛼 entre les deux droites, on utilise la formule tan 𝛼 ou la tangente de 𝛼 est égale à la valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux divisé par un plus 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux. Si 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux est négatif, alors l’expression de tan 𝛼 est indéfinie car le dénominateur est égal à zéro. Cela signifie que les droites sont perpendiculaires, de sorte que l’angle entre elles est de 90 degrés. Pour parler de l’angle aigu entre deux droites dans un plan on utilise l’expression « l’angle entre elles. » Et enfin, si les droites sont parallèles, elles ne se croisent pas et il n’y a donc pas d’angle entre elles.

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