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Exprimez le nombre complexe 𝑧 égale 𝑒 puissance moins quatre moins 23𝜋 sur 12 𝑖 sous forme exponentielle.
Dans cette question, on nous demande d’exprimer un nombre complexe sous sa forme exponentielle, c’est-à-dire sous la forme 𝑧 égale 𝑟 fois 𝑒 puissance 𝜃𝑖, où 𝑟 est la norme ou module du nombre complexe et 𝜃 est son argument.
Nous allons commencer par définir 𝜃 en fonction de sa valeur principale, c’est-à-dire la valeur de 𝜃 qui est strictement supérieure à moins 𝜋 et inférieure ou égale à 𝜋. Revenons à notre nombre complexe et voyons comment nous pouvons l’écrire sous cette forme. D’après les propriétés des puissances, nous savons que 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑏 est égal à 𝑥 puissance 𝑎 plus 𝑏. Nous en déduisons que nous pouvons réécrire notre nombre complexe sous la forme 𝑒 puissance moins quatre fois 𝑒 puissance moins 23𝜋 sur 12 𝑖.
Ce faisant, nous avons trouvé notre valeur de 𝑟. Elle est égale à 𝑒 puissance moins quatre. Notre valeur de 𝜃 est égale moins 23𝜋 sur 12. Cependant, notre valeur principale doit être strictement supérieure à moins 𝜋 et inférieure ou égale à 𝜋. Il apparaît clairement que notre valeur n’appartient pas à cet intervalle. Nous rappelons que nous pouvons trouver la valeur principale en additionnant ou en soustrayant des multiples de deux 𝜋 à la valeur de 𝜃. Dans notre cas, nous allons additionner deux 𝜋 à moins 23𝜋 sur 12. Deux 𝜋 peut s’écrire 24𝜋 sur 12, ce qui nous donne moins 23𝜋 sur 12 plus 24𝜋 sur 12. Cela donne égal à 𝜋 sur 12. Nous pouvons donc exprimer notre nombre complexe sous la forme 𝑒 puissance moins quatre fois 𝑒 puissance 𝜋 sur 12 𝑖. Il s’agit de la forme exponentielle du nombre complexe 𝑒 puissance moins quatre moins 23𝜋 sur 12 𝑖.
