Transcription de la vidéo
Déterminez si les plans deux, trois, quatre scalaire 𝐫 égale 14 et quatre, six, huit scalaire 𝐫 égale 34 sont parallèles ou perpendiculaires.
On voit que les deux plans qui nous sont donnés sont exprimés sous forme vectorielle. Exprimé de cette façon, le vecteur qui est en produit scalaire avec le vecteur 𝐫 est normal à ce plan. Ainsi, si on considère que cette première équation représente le plan un tandis que la deuxième représente le plan deux, on peut dire, en observant l'équation du plan un, qu'un vecteur normal à ce plan - que nous appellerons 𝐧 un - a pour composantes deux, trois, quatre. De même pour le plan deux, un vecteur normal à ce plan, que nous appellerons 𝐧 deux, a pour composantes quatre, six, huit. En utilisant ces vecteurs normaux, on peut tester si les plans un et deux sont parallèles ou perpendiculaires.
Généralement, si deux plans dont les vecteurs normaux 𝐧 un et 𝐧 deux, respectivement, sont parallèles, alors on peut trouver une certaine constante 𝐶 par laquelle on multiplie un vecteur normal pour qu'il soit égal à l'autre. Si on n’arrive pas faire cela, c'est-à-dire s'il n'existe pas une telle constante 𝐶 par laquelle on peut rendre ces deux vecteurs normaux égaux, alors les plans ne sont pas parallèles. Dans ce cas, ils peuvent être perpendiculaires. Et la condition pour qu’ils soient perpendiculaires est que le produit scalaire des deux vecteurs normaux soit nul.
Vérifions maintenant les relations entre les plans un et deux, et commençons par voir s'ils sont parallèles. On commence par examiner les composantes suivant 𝑥 correspondantes. Comme on cherche une constante 𝐶 par laquelle on peut multiplier un des vecteurs normaux pour qu'il soit égal à l'autre, on peut déterminer la valeur de 𝐶 qui rend cette équation vraie. On sait que si 𝐶 égale un demi, alors un demi fois quatre fait deux, et l'équation est vérifiée. Mais pour que ces deux plans soient parallèles, il faut que nous puissions utiliser la même constante pour les composantes suivant 𝑦 et suivant 𝑧.
Examinons maintenant les composantes suivant 𝑦, pour voir si cela est possible. On veut voir si trois est égale à notre constante 𝐶 fois six. Comme 𝐶 est égal à un demi et que un demi fois six égal trois, cette relation est vérifiée, tout comme le cas des composantes suivant 𝑥. Enfin, on va vérifier les composantes suivant 𝑧 de ces vecteurs. C'est-à-dire que nous allons voir si quatre est égale à 𝐶 fois huit, où, encore une fois, 𝐶, est un demi. La moitié de huit est quatre.
Il existe donc une valeur constante par laquelle on peut multiplier un de nos vecteurs normaux pour qu'il soit égal à l'autre. Cela signifie que ces plans sont parallèles, et c'est la réponse à la question concernant la relation entre ces deux plans.
