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Évaluez le déterminant de la matrice avec les éléments 10 cosinus 𝑥, moins deux sinus 𝑥, 10 sinus 𝑥, deux cosinus 𝑥.
Tout d’abord, clarifions simplement la notation utilisée dans la question. Cette paire de droites verticales de chaque côté de la matrice signifie que nous cherchons à calculer le déterminant de cette matrice. Rappelons ce que signifie le déterminant. Le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 est égal à la valeur de l’opération 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Cela correspond au produit des éléments sur la diagonale principale, 𝑎 et 𝑑, moins le produit des éléments sur l’autre diagonale, 𝑏 et 𝑐.
Ainsi, pour calculer le déterminant de la matrice qui nous a été donnée, nous prenons les éléments sur la diagonale principale, qui sont 10 cosinus 𝑥 puis deux cosinus 𝑥. Nous prenons le produit de ces deux éléments. Nous soustrayons ensuite le produit des éléments de l’autre diagonale, qui sont moins deux sinus 𝑥 et 10 sinus 𝑥.
Nous avons donc 10 cosinus 𝑥 multiplié par deux cosinus 𝑥 moins moins deux sinus 𝑥 multiplié par 10 sinus 𝑥. 10 multiplié par deux donne 20. Et cos 𝑥 multiplié par cos 𝑥 est cos au de carré 𝑥. Le premier terme se simplifie donc en 20 cosinus au carré de 𝑥.
Dans le second, moins deux multiplié par 10 donne moins 20. Et sin 𝑥 multiplié par sin 𝑥 est sin au carré de 𝑥. Nous avons donc 20 cosinus au carré de 𝑥 moins moins 20 sinus au carré 𝑥. Les deux signes négatifs forment ensemble un signe positif. Si nous soustrayons moins 20 sinus au carré de 𝑥, cela revient à ajouter 20 sinus au carré de 𝑥. Nous avons donc 20 cosinus au carré de 𝑥 plus 20 sinus au carré 𝑥.
À ce stade, nous devons rappeler l’une de nos identités trigonométriques, à savoir que, pour tout angle 𝑥, cosinus carré de 𝑥 plus sinus carré de 𝑥 est toujours égal à un. Nous pouvons le voir en utilisant le cercle trigonométrique parce que cosinus 𝑥 et sinus 𝑥 donnent les côtés horizontaux et verticaux dans un triangle rectangle. De plus, un correspond à la longueur de l’hypoténuse. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, nous prouvons ce résultat.
Nous pouvons donc factoriser par 20 dans notre expression pour le déterminant de cette matrice, donnant 20 multiplié par cosinus au carré de 𝑥 plus sinus au carré de 𝑥. Puisque cosinus au carré de 𝑥 plus sinus au carré de 𝑥 est égal à un, nous avons 20 multiplié par un, ce qui est égal à 20.
Nous avons donc trouvé que le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments 10 cosinus 𝑥, moins deux sinus 𝑥, 10 sinus 𝑥, deux cosinus 𝑥 est 20.
