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Vidéo de la leçon : Déterminants d’ordre deux Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et à évaluer les déterminants d’ordre 2.

07:40

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les déterminants et évaluer les déterminants d’ordre deux. Nous commencerons par examiner quelques définitions et la règle que nous utiliserons pour calculer le déterminant d'une matrice deux par deux. Le déterminant d'une matrice est indiqué par des barres de valeur absolue au lieu de crochets. Par exemple, si nous considérons la matrice deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors le déterminant de cette matrice sera écrit comme 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 à l'intérieur de barres de valeur absolue.

Pour toute matrice d’ordre deux, le déterminant est trouvé en soustrayant le produit de ses diagonales. Le déterminant de la matrice d’ordre deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous multiplions la valeur en haut à gauche et en bas à droite de la matrice et nous soustrayons ensuite le produit des valeurs en haut à droite et en bas à gauche. Nous allons maintenant voir certaines questions spécifiques où nous devons calculer le déterminant d'une matrice d’ordre deux.

Trouvez le déterminant de la matrice suivante : cinq, un, moins un, cinq.

Nous rappelons que le déterminant de toute matrice est inscrit à l'intérieur de barres de valeur absolue. Le déterminant de la matrice d’ordre deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Le déterminant de la matrice cinq, un, moins un, cinq est égal à cinq fois cinq moins un fois moins un. Cinq fois cinq c’est 25. En multipliant un nombre positif par un nombre négatif, on obtient une réponse négative. Ainsi, un fois moins un est moins un. Nous savons que soustraire moins un est la même chose que d'ajouter un. Le déterminant de la matrice cinq, un, moins un, cinq est donc égal à 26.

Dans notre question suivante, nous allons trouver le déterminant d'une autre matrice d’ordre deux.

Déterminez la valeur du déterminant de la matrice moins deux, moins neuf, sept, sept.

Les barres de valeur absolue de chaque côté de notre matrice indiquent que nous devons calculer le déterminant. Nous savons que pour calculer le déterminant d'une matrice d’ordre deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, nous devons soustraire 𝑏𝑐 de 𝑎𝑑. Dans notre question, nous commençons par multiplier moins deux et sept. Nous devons ensuite soustraire le moins neuf multiplié par sept. En multipliant un nombre négatif par un nombre positif, on obtient une réponse négative.

Donc, moins deux fois sept donne moins 14. Nous devons en soustraire moins 63. Soustraire moins 63 revient à ajouter 63. Moins 14 plus 63 égale 49. Nous pouvons le voir sur la droite numérique comme 14 plus 49 est égal à 63. En ajoutant 14 à moins 14, nous obtenons zéro, et en ajoutant 49, nous obtenons 49. Le déterminant de la matrice moins deux, moins neuf, sept, sept est 49.

Dans notre question suivante, nous devons trouver le déterminant sous la forme d'une expression algébrique.

Déterminez la valeur du déterminant de la matrice 𝐴 : 𝑥, moins 11, 𝑥, moins un.

Le déterminant d'une matrice est désigné par des barres de valeur absolue, et le déterminant de toute matrice d’ordre deux de la forme 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Cela signifie que le déterminant de la matrice 𝑥, moins 11, 𝑥, moins un est égal à 𝑥 fois moins un moins moins 11 fois 𝑥. En multipliant la valeur en haut à gauche et en bas à droite, on obtient moins 𝑥. En multipliant la valeur en haut à droite et en bas à gauche, on obtient moins 11𝑥. Nous devons soustraire cette valeur à moins 𝑥. Cela peut être simplifié en moins 𝑥 plus 11𝑥. Le déterminant de la matrice 𝐴 : 𝑥, moins 11, 𝑥, moins un est donc égal à 10𝑥.

Dans notre question suivante, nous devons résoudre une équation en utilisant notre connaissance sur les déterminants.

Si le déterminant de la matrice un, 𝑥, 𝑥, trois est égal au déterminant de la matrice deux, un, quatre, trois, alors 𝑥 est égal à blanc.

Nous rappelons que le déterminant de toute matrice d’ordre deux de la forme 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Commençons par examiner la matrice un, 𝑥, 𝑥, trois. En multipliant les valeurs en haut à gauche et en bas à droite, on obtient trois. En multipliant les valeurs en haut à droite et en bas à gauche, on obtient 𝑥 au carré. Cela signifie que le déterminant de cette matrice est trois moins 𝑥 au carré. Nous pouvons répéter ce processus pour notre deuxième matrice. Deux fois trois est six. Un fois quatre est quatre. Comme six moins quatre est égal à deux, alors le déterminant de cette matrice est deux.

Pour calculer la valeur de 𝑥, nous devons résoudre l'équation trois moins 𝑥 au carré égale deux. Nous pouvons ajouter 𝑥 au carré et soustraire deux des deux côtés de cette équation. Cela nous donne trois moins deux égale 𝑥 au carré. Comme 𝑥 au carré est égal à un, nous pouvons déterminer la racine carrée des deux membres de cette équation. La racine carrée de un est un. Cela signifie que la valeur de 𝑥 peut être un ou moins un, car après avoir déterminé la racine carrée d’un nombre, notre réponse peut être positive ou négative. Si les déterminants des deux matrices sont égaux, alors 𝑥 peut être égal à un ou moins un.

Nous pourrions vérifier cette réponse en substituant ces valeurs dans l'expression trois moins 𝑥 au carré. Le carré de un ou de moins un nous donne un. Nous avons donc trois moins un. Comme cela est égal à deux, ce qui était le déterminant de la deuxième matrice, nous savons que nos réponses sont correctes. 𝑥 peut être égal à un ou à moins un.

Dans notre dernière question, nous allons trouver le déterminant d'une matrice en utilisant notre connaissance de la trigonométrie.

Evaluez le déterminant d'une matrice d’ordre deux 10 cos 𝑥, moins deux sin 𝑥, 10 sin 𝑥, deux cos 𝑥.

Nous savons que le déterminant de toute matrice d’ordre deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Dans cette question, nous commençons par multiplier 10 cos 𝑥 et deux cos 𝑥. 10 fois deux est égal à 20, et cos 𝑥 fois cos 𝑥 est cos 𝑥 au carré. 10 cos 𝑥 fois deux cos 𝑥 est donc égal à 20 cos 𝑥 au carré. Il faut également multiplier moins deux sin 𝑥 et 10 sin 𝑥. Cela nous donne moins 20 sin 𝑥 au carré. Le déterminant peut être réécrit comme 20 cos 𝑥 au carré plus 20 sin 𝑥 au carré. À ce stade, nous pouvons factoriser avec le plus grand commun diviseur de 20. Cela nous donne 20 fois cos 𝑥 au carré plus sin 𝑥 au carré.

Une de nos identités trigonométriques énonce que sin au carré 𝜃 plus cos au carré 𝜃 est égal à un. Cela signifie que cos 𝑥 au carré plus sin 𝑥 au carré est aussi égal à un. Nous devons multiplier 20 par un. Le déterminant de la matrice d’ordre deux 10 cos 𝑥, moins deux sin 𝑥, 10 sin 𝑥, deux cos 𝑥 est donc égal à 20.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le déterminant d'une matrice d’ordre deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 s'écrit comme la valeur absolue de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Il est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous multiplions nos valeurs en haut à gauche et en bas à droite de la matrice, puis nous soustrayons le produit des valeurs en haut à droite et en bas à gauche de la matrice. Il est important de noter que bien que nous utilisions des barres de valeur absolue, le déterminant d'une matrice peut toujours être négatif. Il est déterminé simplement en soustrayant les produits des diagonales.

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