Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les déterminants, et à calculer la valeur des déterminants d’ordre .
Nous avons vu que nous pouvons effectuer beaucoup d’opérations différentes sur les matrices : nous pouvons les additionner, les soustraire, et les multiplier par un scalaire. Nous allons maintenant introduire une des notions les plus importantes pour une matrice : son déterminant.
Premièrement, il est important de savoir que toutes les matrices n’ont pas de déterminant. En fait, seules les matrices carrées ont un déterminant. Deuxièmement, bien qu’il soit possible de définir le déterminant de toute matrice carrée, nous ne couvrirons que le cas des matrices dans cette fiche explicative.
Définition : Déterminants d’une matrice d’ordre 2
Le déterminant d’une matrice de taille notée (qu’on symbolise par ) est la différence entre les produits de ses diagonales.
Par exemple,
On peut aussi noter le déterminant , car il pourrait être facile de confondre la barre verticale avec la valeur absolue d’un nombre. Dans les premiers exemples, nous allons montrer comment calculer le déterminant de différentes matrices.
Exemple 1: Calculer le déterminant d’une matrice
Calculez le déterminant de la matrice
Réponse
Premièrement, on peut voir que la matrice donnée est une matrice carrée .
On sait que l’on peut calculer le déterminant d’une matrice par
Ainsi, pour calculer le déterminant de la matrice, on doit déterminer la différence entre les produits de ses diagonales.
Le produit de la diagonale principale est
Le produit de l’autre diagonale est
Cela signifie que l’on peut calculer le déterminant comme suit :
Par conséquent, le déterminant de est égal à 26.
Exemple 2: Calculer un déterminant
Déterminez la valeur de
Réponse
Dans cette question, il est demandé de calculer le déterminant d’une matrice . Pour ce faire, il faut déterminer la différence entre les produits de ses diagonales.
En d’autres termes, si , alors .
Le produit de la diagonale principale de cette matrice est et le produit de l’autre diagonale de cette matrice est .
Donc
Par conséquent, on a montré que
Maintenant que nous avons défini le déterminant, nous pouvons calculer le déterminant de quelques matrices que nous connaissons déjà :
Nous pouvons également fournir une autre propriété utile du déterminant d’une matrice.
Si , alors la transposée de est . On peut alors utiliser cela pour calculer le déterminant de la transposée de :
Résumons les résultats que nous venons de démontrer concernant les déterminants de matrices .
Définition : Propriétés du déterminant de matrices d’ordre 2
- Le déterminant de la matrice nulle est 0 :
- Le déterminant de la matrice identité est 1 :
- Transposer une matrice ne change pas la valeur de son déterminant :
Nous avons parfois besoin d’utiliser la définition du déterminant pour déterminer les valeurs d’inconnues ou pour résoudre des équations. Étudions quelques exemples.
Exemple 3: Évaluer un déterminant en fonction de 𝑥
Déterminez la valeur du déterminant
Réponse
Il est dit que est le déterminant d’une matrice . Pour évaluer ce déterminant, on rappelle que
En appliquant cela à la matrice fournie dans la question, on obtient
Par conséquent,
Dans notre prochain exemple, nous allons montrer que deux matrices non égales peuvent avoir le même déterminant.
Exemple 4: Résoudre une équation simple avec des déterminants
Si , alors .
- 1
- 2
Réponse
Dans cette question, il est indiqué que les déterminants de deux matrices de taille sont égaux ; il est ensuite demandé de déterminer la valeur de l’inconnue . Pour ce faire, on va calculer chaque déterminant séparément.
On rappelle que
On commence par le déterminant du membre gauche de l’équation :
On calcule ensuite le déterminant du membre droit de l’équation :
Il est indiqué que ces deux déterminants sont égaux, cela donne
On peut alors résoudre ce problème pour trouver :
Cela signifie que pour que les déterminants de ces deux matrices soient égaux, ou .
La réponse est l’option C.
Il est également possible que les matrices contiennent des fonctions, ce qui signifie que nous devrions utiliser des identités et des techniques relatives à d’autres domaines mathématiques pour évaluer ces déterminants. Étudions quelques exemples.
Exemple 5: Appliquer des identités trigonométriques pour évaluer un déterminant
Évaluez .
Réponse
On doit évaluer le déterminant d’une matrice , pour laquelle chaque coefficient est une fonction trigonométrique.
On calcule le déterminant de cette matrice en déterminant la différence des produits de ses diagonales :
On rappelle que l’identité de Pythagore donne
On peut l’utiliser pour simplifier l’expression que l’on a trouvée pour le déterminant :
Par conséquent,
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment étendre cette notion pour calculer le déterminant d’une matrice dont les coefficients sont des fonctions trigonométriques réciproques.
Exemple 6: Résoudre des équations trigonométriques impliquant des déterminants
Résolvez l’équation sachant que que .
Réponse
On doit résoudre une équation qui implique le déterminant d’une matrice .
On calcule le déterminant de cette matrice en évaluant la différence entre les produits de ses diagonales :
On peut simplifier cela en rappelant l’identité trigonométrique suivante :
Puis
Pour résoudre l’équation d’origine, on définit cette expression comme égale à pour les valeurs de dans l’intervalle :
On peut alors prendre l’inverse pour reformuler l’équation comme
On rappelle que ; cela donne une solution à l’équation dans l’intervalle. Il faut encore vérifier les autres solutions possibles. On le fait en dessinant la courbe de et la droite .
Les solutions de l’équation sont à l’intersection de ces courbes. La seule intersection dans l’intervalle est lorsque , c’est donc notre seule solution.
Par conséquent, on a montré que si et , alors
Nous allons terminer par récapituler certains des points clés du déterminant d’une matrice explorés dans ce document explicatif.
Points clés
- Le déterminant d’une matrice est calculé en prenant la différence des produits de ses diagonales :
- Le déterminant de la matrice nulle est 0.
- Le déterminant de la matrice identité est 1.
- Transposer une matrice ne change pas son déterminant.
