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Etant donné 𝑦 égale huit 𝑥 fois le cosinus de six 𝑥, déterminez la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥.
Nous devons trouver une expression de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, et nous pouvons voir que 𝑦 est le produit de deux fonctions. C’est le produit de huit 𝑥 par cosinus six 𝑥, nous pouvons donc trouver d𝑦 sur d𝑥 à l’aide de la règle du produit. Nous rappelons que la règle du produit nous dit que si 𝑦 est le produit de deux fonctions dérivables, 𝑢 de 𝑥 fois 𝑣 de 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 plus 𝑣 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥.
Ici, 𝑦 est égal à huit 𝑥 multiplié par cosinus six 𝑥, nous allons donc poser 𝑢 de 𝑥 égale huit 𝑥 et 𝑣 de 𝑥 égale cosinus de six 𝑥. Comme nous savons comment calculer la dérivée de ces deux expressions, nous allons donc utiliser la règle du produit. Pour utiliser cette règle, nous avons besoin des expressions de d𝑢 sur d𝑥 et de d𝑣 sur d𝑥, alors calculons d’abord ces expressions. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. C’est la dérivée de huit 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pourrions la trouver en utilisant la dérivée d’une puissance. En écrivant huit 𝑥 comme huit 𝑥 puissance un puis en multipliant par l’exposant de 𝑥 puis en retranchant un à cet exposant.
Mais, nous pouvons également le faire en remarquant que huit 𝑥 est une fonction linéaire. Or nous savons que la pente d’une fonction linéaire est simplement le coefficient de 𝑥, qui ici vaut huit. Nous avons donc d𝑢 sur d𝑥 égale huit. Nous devons également trouver une expression de d𝑣 sur d𝑥. C’est la dérivée de cosinus six 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour calculer la dérivée de cette expression, nous devons rappeler l’une des formules usuelles de dérivation des fonctions trigonométriques. Nous savons que pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de cosinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 𝑎 fois le sinus de 𝑎𝑥. Ici, la valeur de 𝑎 est six, nous obtenons donc que la dérivée de cosinus de six 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins six fois sinus de six 𝑥.
Maintenant que nous avons trouvé les expressions de d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, nous pouvons utiliser la règle du produit pour trouver d𝑦 sur d𝑥. C’est égal à 𝑢 de 𝑥 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 de 𝑥 fois d𝑢 sur d𝑥. En remplaçant dans nos expressions de 𝑢 de 𝑥, 𝑣 de 𝑥, d𝑣 sur d𝑥, et d𝑢 sur d𝑥, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à huit 𝑥 fois moins six sinus de six 𝑥 plus le cosinus de six 𝑥 le tout multiplié par huit. Et si nous calculons la valeur de cette équation et la réécrivons, nous obtenons moins 48𝑥 fois le sinus de six 𝑥 plus huit fois le cosinus de six 𝑥. Et ceci est notre réponse finale.
Nous avons donc montré que, si 𝑦 est égal à huit 𝑥 fois le cosinus de six 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à moins 48𝑥 fois le sinus de six 𝑥 plus huit multiplié par le cosinus de six 𝑥.
