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Simplifiez 𝑎 élevé à la puissance deux cinquièmes multiplié par 𝑎 à la puissance un demi à la puissance cinq le tout divisé par 𝑎 à la puissance trois demis multiplié par 32𝑎 à la puissance huit à la puissance un cinquième, où 𝑎 est une constante positive et 𝑎 différent de un.
On nous donne une expression exponentielle où nous avons une base positive 𝑎 qui n’est pas égale à plus un, et qui est élevée à diverses puissances ou exposants au sein d’une fraction. Nous avons ainsi diverses expressions exponentielles au sein d’une expression rationnelle. Pour simplifier ceci, nous allons utiliser les règles ou les propriétés des exposants. Faisons donc un récapitulatif de celles-ci avant de commencer.
Tout d’abord, nous avons la règle du produit, où nous additionnons nos exposants. Deuxièmement, nous avons la règle de la puissance, où nous multiplions nos exposants. Notre troisième règle ou propriété concerne la puissance d’un produit. Notre quatrième règle est celle sur les exposants négatifs. Et la cinquième concerne les exposants rationnels ou fractionnaires. Et en général, 𝑎 et 𝑏 sont des entiers non nuls, où dans notre cas, et comme indiqué, 𝑎, n’égale pas un. Voyons donc maintenant comment utiliser ces règles pour simplifier l’expression donnée.
Considérons d’abord le numérateur. Nous avons 𝑎 élevé à la puissance deux cinquièmes multiplié par 𝑎 à la puissance un demi le tout à la puissance cinq. En appliquant notre deuxième propriété à savoir la règle de la puissance, au deuxième terme, 𝑎 à la puissance un demi le tout à la puissance cinq, nous multiplions simplement nos exposants. C’est un demi multiplié par cinq, ce qui est cinq sur deux, et donc notre numérateur est égal à 𝑎 à la puissance deux cinquièmes multiplié par 𝑎 à la puissance cinq sur deux.
Nous pouvons maintenant appliquer la première règle, c’est-à-dire la règle du produit. Où étant donné un produit d’expressions exponentielles ayant la même base, nous additionnons les puissances. Dans notre cas, c’est deux cinquièmes plus cinq sur deux, soit 29 sur 10. Notre numérateur est donc 𝑎 élevé à la puissance 29 sur 10.
Regardons maintenant notre dénominateur. Nous avons 𝑎 élevé à la puissance trois sur deux multiplié par 32𝑎 à la puissance huit le tout à la puissance un cinquième. Et pour notre deuxième terme ici, nous pouvons utiliser la règle numéro trois, c’est-à-dire, la règle sur la puissance d’un produit. Et donc notre dénominateur est 𝑎 à la puissance trois sur deux multiplié par 32 à la puissance un sur cinq multiplié par 𝑎 à la puissance huit sur cinq, où nous avons utilisé la règle numéro deux pour 𝑎 à la puissance huit le tout à la puissance un sur cinq. Nous avons donc multiplié huit par un sur cinq.
Le terme du milieu ici a une base numérique. Et nous pouvons simplifier ceci en utilisant la règle numéro cinq pour les exposants rationnels. Si nous rappelons que deux à la puissance cinq est égal à 32, alors deux est égal à 32 élevé à la puissance un sur cinq, qui correspond à la racine cinquième de 32. Jusqu’à présent, notre dénominateur est 𝑎 élevé à la puissance trois sur deux multiplié par deux multiplié par 𝑎 à la puissance huit sur cinq.
Et maintenant si nous mettons la constante deux en premier, nous voyons que nous allons être capable d’utiliser la règle numéro un pour simplifier encore plus notre dénominateur. Et nous le faisons en additionnant nos puissances de 𝑎. Nous avons donc maintenant deux multiplié par 𝑎 élevé à la puissance trois sur deux plus huit sur cinq. Trois sur deux plus huit sur cinq font 31 sur 10. Et donc notre dénominateur est égal à deux multiplié par 𝑎 élevé à la puissance 31 sur 10.
Alors maintenant, en faisant de la place, notre expression se simplifie maintenant en 𝑎 à la puissance 29 sur 10 divisé par deux 𝑎 à la puissance 31 sur 10. Et maintenant en transformant ceci en un produit de fractions, nous pouvons utiliser la règle numéro quatre sur un sur 𝑎 à la puissance 31 sur 10 en écrivant que un sur 𝑎 à la puissance 31 sur 10 est égal à 𝑎 à la puissance moins 31 sur 10. Nous avons donc maintenant 𝑎 à la puissance 29 sur 10 divisé par deux multiplié par 𝑎 à la puissance moins 31 sur 10.
Enfin, nous pouvons à nouveau utiliser notre première règle celle du produit, où nous additionnons nos deux puissances de 𝑎. Et 29 sur 10 plus moins 31 sur 10 est égal à moins deux sur 10. Et c’est moins un sur cinq. Et nous avons 𝑎 élevé à la puissance moins un sur cinq sur deux. Ainsi l’expression donnée se simplifie en 𝑎 élevé à la puissance moins un cinquième divisé par deux.
Nous notons que ceci pourrait également s’écrire un sur deux 𝑎 à la puissance un sur cinq. Ce résultat découle de la règle numéro quatre. Et ceci pourrait aussi être écrit en utilisant la règle numéro cinq comme un sur deux fois la racine cinquième de 𝑎. Cependant, nous laissons notre réponse sous la forme 𝑎 à la puissance moins un sur cinq divisé par deux.
