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Vidéo de question : Mesure de la norme d’un vecteur résultant Physique

Certains vecteurs sont dessinés à l’échelle de la règle sur un quadrillage. Les côtés des carrés sont de 1 cm de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant, mesurée au centimètre près ?

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Transcription de vidéo

Certains vecteurs sont dessinés à l’échelle de la règle sur un quadrillage. Les côtés des carrés font un centimètre de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant, mesurée au centimètre près ?

D’accord, donc dans cette question, on nous donne un schéma vectoriel avec trois vecteurs, et on nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. On nous dit également que les vecteurs sont dessinés à l’échelle et que les côtés des carrés sur la figure font un centimètre de long. On nous demande ensuite de trouver la longueur du vecteur résultant. Commençons par rappeler que la résultante de deux vecteurs est le vecteur trouvé en les additionnant et que deux vecteurs peuvent être additionnés avec la méthode du bout à bout. Rappelons que la queue d’un vecteur est son point de départ et que la tête d’un vecteur est sa pointe. Donc, dessiner avec la méthode du bout à bout consiste à dessiner le deuxième vecteur avec sa queue commençant à la tête du premier vecteur comme ceci.

Ensuite, nous pouvons trouver la somme de ces deux vecteurs ou la résultante en traçant une flèche de la queue du premier vecteur à la tête du deuxième vecteur. Donc, dans cet exemple, la flèche bleue que nous venons d’ajouter au diagramme est notre vecteur résultant.

Bon, maintenant que nous avons vu ce que l’on entend par vecteur résultant, revenons à la question. Nous voyons qu’on nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Si nous regardons la figure, nous voyons que le vecteur vert est dessiné avec sa queue à la pointe du vecteur bleu. Les vecteurs bleu et vert sont donc dessinés avec la méthode du bout à bout. Si nous regardons maintenant le vecteur rouge, nous voyons qu’il a sa queue à la queue du premier vecteur, le vecteur bleu, et sa tête à la pointe du deuxième vecteur, le vecteur vert. Et nous voyons donc que ce vecteur rouge est bien la résultante des vecteurs bleu et vert.

Dans cette question, nous voyons que nous avons un vecteur bleu qui est entièrement horizontal et un vecteur vert qui est entièrement vertical. Cela signifie que l’angle entre ces deux vecteurs est de 90 degrés, nous pouvons donc voir que nos trois vecteurs sur le diagramme forment un triangle rectangle. La question nous demande de trouver la longueur de ce vecteur résultant, ce qui signifie trouver la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle. Pour ce faire, rappelons le théorème de Pythagore. Si nous étiquetons les longueurs des côtés du triangle 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, le théorème de Pythagore nous dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Puisque dans cette question, nous essayons de trouver la valeur de 𝑐, faisons de 𝑐 le sujet en prenant la racine carrée des deux côtés de cette équation. Nous avons alors que 𝑐 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Ce que cette équation nous dit, c’est que si nous voulons trouver la valeur de 𝑐, la longueur de l’hypoténuse du triangle, alors nous devons connaître les valeurs de 𝑎 et 𝑏, les longueurs des deux autres côtés. Heureusement pour nous, nous avons une échelle sur notre diagramme, et les vecteurs 𝑎 et 𝑏 pointent tous les deux sur les lignes de la grille, ce qui facilite la lecture de leurs longueurs. On nous dit que les carrés du quadrillage ont des côtés d’un centimètre de long. Sur le diagramme, nous avons une règle montrant ces marques d’un centimètre dans la direction verticale.

Et bien sûr, comme on nous dit que le quadrillage est constitué de carrés et que comme ils ont les côtés d’un centimètre de long dans la direction verticale, ils doivent également avoir les côtés d’un centimètre de long dans la direction horizontale. Ainsi, la distance d’un carré dans la direction horizontale ou verticale correspond à un centimètre. Cela signifie, pour le vecteur bleu et le vecteur vert, que pour trouver la longueur du vecteur, il suffit de commencer à la queue et de compter le nombre de carrés jusqu’à la pointe. Ce nombre de carrés donne alors la longueur de ce vecteur mesurée en centimètres.

Commençons par le vecteur bleu. Nous commençons à la queue du vecteur et nous comptons le nombre de carrés jusqu’à la pointe du vecteur. Dans ce cas, nous constatons que ce nombre de carrés est de cinq. On peut donc dire que 𝑎, la longueur de ce vecteur bleu, est égale à cinq centimètres. Voyons maintenant le vecteur vert. Nous allons commencer à la queue de ce vecteur, qui est placé à la pointe du vecteur bleu, et nous allons compter le nombre de carrés jusqu’à la pointe de ce vecteur. Et dans ce cas, nous constatons que ce nombre de carrés est de 11. On peut donc dire que 𝑏 est égal à 11 centimètres. Maintenant que nous avons nos valeurs de 𝑎 et 𝑏, il suffit de les substituer dans cette équation afin de calculer 𝑐.

Si nous remplaçons avec 𝑎 égal à cinq centimètres et 𝑏 égal à 11 centimètres, alors nous obtenons que 𝑐 est égal à la racine carrée de cinq centimètres carrés plus 11 centimètres carrés. Lorsque nous faisons ce calcul, nous devons faire attention à nos unités car si nous prenons le carré d’une grandeur en centimètres, nous obtiendrons une grandeur en centimètres carrés. Donc, dans ce cas, si nous prenons le carré de cinq centimètres, nous obtenons 25 centimètres carrés. Et si nous prenons le carré de 11 centimètres, nous obtenons 121 centimètres carrés. Si nous additionnons ensuite 25 centimètres carrés et 121 centimètres carrés, nous obtenons que 𝑐 est égal à la racine carrée de 146 centimètres carrés.

Ensuite, la dernière chose à faire est de calculer la racine carrée. Si nous prenons la racine carrée d’une grandeur avec des unités de centimètres carrés, alors nous obtenons un résultat avec des unités de centimètres. Et puisque nous savons que 𝑐 est censé être une longueur, la longueur de ce vecteur rouge dans notre diagramme, il est logique qu’il ait des unités de distance. Et si nous prenons la racine carrée de 146, nous obtenons un résultat de 12,083 et ainsi de suite avec plus de décimales. Et ce résultat que nous avons trouvé nous donne la longueur de notre vecteur résultant. Mais si nous revenons à la question, nous voyons qu’on nous demande de donner la longueur au centimètre près. Arrondir 12,083 au centimètre près donne un résultat de 12 centimètres.

Nous avons donc notre réponse à la question que la longueur du vecteur résultant, mesurée au centimètre près, est égale à 12 centimètres.

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