Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle isocèle tel que 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐶 égalent six centimètres et la mesure de l'angle 𝐴 est de 120 degrés. Calculez le produit scalaire du vecteur 𝐂𝐀 et du vecteur 𝐁𝐂.
Nous commençons par dessiner le triangle isocèle. On nous donne que la mesure de l'angle 𝐴 est de 120 degrés et que les côtés 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ont tous les deux une longueur de six centimètres. Nous voulons déterminer le produit scalaire des vecteurs 𝐂𝐀 et 𝐁𝐂. Nous savons que le produit scalaire de deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 est le produit de leurs normes et du cosinus de l’angle entre eux . Dans notre cas, il s'agit donc du produit de la norme du vecteur 𝐂𝐀 par la norme du vecteur 𝐁𝐂 et du cosinus de l'angle entre eux .
Nous savons que la norme du vecteur 𝐂𝐀 est six centimètres. Il va donc falloir trouver la norme du vecteur 𝐁𝐂 et l'angle 𝜃 entre ces deux vecteurs. Pour trouver l'angle 𝜃, nous rappelons que l'angle entre deux vecteurs est défini de manière unique comme l'angle entre leurs directions quand les droites qui les représentent convergent ou divergent. En ce qui concerne nos vecteurs 𝐂𝐀 et 𝐁𝐂, nous voyons que 𝐁𝐂 converge vers le sommet 𝐶, alors que 𝐂𝐀 diverge du sommet 𝐶. Ainsi, pour spécifier l'angle 𝜃, nous devons prolonger 𝐁𝐂 de sorte que les deux vecteurs divergent du sommet 𝐶. Notre angle 𝜃 est alors l'angle obtus entre les deux vecteurs.
Pour trouver la mesure de l'angle 𝜃, il faut se référer au fait que notre triangle est un triangle isocèle. Cela signifie que les mesures des angles 𝐶 et 𝐵 sont identiques. Puisque la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés, la somme des mesures des angles 𝐴, 𝐵 et 𝐶 doit être égale à 180. Puisque les mesures des angles 𝐵 et 𝐶 sont les mêmes, 180 est égal à la mesure de l'angle 𝐴 plus deux fois la mesure de l'angle 𝐵. Cela, bien sûr, égale la mesure de l'angle 𝐴 plus deux fois la mesure de l'angle 𝐶.
Puisque la mesure de l'angle 𝐴 est de 120 degrés, nous pouvons soustraire 120 des deux côtés. Nous obtenons 60 degrés, ce qui correspond à deux fois la mesure de l'angle 𝐵. Enfin, si nous divisons par deux, nous obtenons que la mesure de l'angle 𝐵 est de 30 degrés. Bien entendu, il s’agit de la même chose pour la mesure de l'angle 𝐶.
En notant la mesure des angles 𝐵 et 𝐶, nous pouvons donc trouver la mesure de l'angle 𝜃 en notant que 𝜃 plus la mesure de l'angle 𝐶 doit être égale à 180 degrés. Ceci parce que les vecteurs 𝐂𝐁 et 𝐮 sont situés sur une droite et que l'angle entre eux est de 180 degrés. Puisque nous venons de trouver que la mesure de l'angle 𝐶 est de 30 degrés, en soustrayant 30 des deux côtés, nous obtenons que la mesure de notre angle 𝜃 est de 150 degrés.
Ainsi, en prenant note de ceci, notre étape suivante consiste à trouver la norme du vecteur 𝐁𝐂, c'est-à-dire sa longueur en centimètres, puisque les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont en centimètres. Pour trouver la longueur de 𝐵𝐶, nous allons utiliser la loi des sinus. Elle nous dit que pour le triangle 𝐴𝐵𝐶, la longueur du côté 𝑎 sur sinus de l'angle 𝐴 égale la longueur du côté 𝑏 sur sinus de l'angle 𝐵 égale la longueur du côté 𝑐 sur sinus de l'angle 𝐶. Si nous appliquons cela à notre triangle, nous avons six sur sinus 30 degrés égale à 𝐵𝐶 sur sinus 120 degrés. Si nous multiplions par sinus 120 degrés, six fois sinus 120 degrés sur sinus 30 degrés sera égal à 𝐵𝐶.
Puisque sinus 120 degrés est racine de trois sur deux et que sinus 30 degrés est un demi, nous avons six fois racine carrée de trois sur deux divisée par un demi. Nous divisons six racine carrée de trois par deux pour obtenir trois racine de trois. En divisant par un demi, nous obtenons la même chose qu'en multipliant par deux. Notre longueur 𝐵𝐶 est égale à six racine de trois centimètres.
Nous avons tout ce dont nous avons besoin pour trouver le produit scalaire des vecteurs 𝐂𝐀 et 𝐁𝐂, c'est-à-dire six, qui est la norme du vecteur 𝐂𝐀, multipliée par six racine trois, qui est la norme du vecteur 𝐁𝐂, fois cosinus 150 degrés, qui est le cosinus de notre angle 𝜃. Cosinus 150 degrés est moins racine de trois sur deux.
Nous pouvons alors simplifier par deux au dénominateur pour obtenir trois, ce qui nous donne 18 fois racine de trois fois moins racine de trois. Enfin, cela donne moins 54. Le produit scalaire des vecteurs 𝐂𝐀 et 𝐁𝐂 est donc égal à moins 54.
