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Déterminez la valeur de sécante 𝜃 fois cosécante 𝜃 moins cotangente 𝜃, sachant que 𝜃 est supérieur à 180 degrés et inférieur à 270 degrés et que sinus 𝜃 égale moins trois cinquièmes.
Commençons par tracer le diagramme CAST comme indiqué. Puisque 𝜃 est compris entre 180 et 270 degrés, alors nous savons qu'il se trouve dans le troisième quadrant. La tangente et la cotangente sont positives pour tout angle situé dans ce quadrant, tandis que sinus 𝜃, cosinus 𝜃, cosécante 𝜃 et sécante 𝜃 sont tous négatifs. Sachant que sinus 𝜃 égale moins trois cinquièmes, nous pouvons tracer un triangle rectangle dans le troisième quadrant. Ce triangle rectangle est un triplet pythagoricien constitué de trois entiers positifs trois, quatre et cinq tels que trois au carré plus quatre au carré est égal à cinq au carré. Puisque cosinus 𝛼 égale la longueur du côté adjacent sur la longueur de l'hypoténuse et tangente 𝛼 égale la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent, d'après notre diagramme, nous avons cosinus 𝛼 égale quatre cinquièmes et tangente 𝛼 égale trois quarts.
Nous pouvons également voir sur le diagramme que 𝜃 est égal à 180 degrés plus 𝛼. En utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que cosinus 180 degrés plus 𝛼 égale cosinus moins 𝛼. De même, tangente 180 degrés plus 𝛼 égale tangente 𝛼. Cela signifie que cosinus 𝜃 égale moins quatre cinquièmes et que tangente 𝜃 égale trois quarts. Ceci résulte du fait que dans ce cas tangente 𝜃 doit être positive et que cosinus 𝜃 doit être négative. Ensuite, les identités trigonométriques inverses nous disent que cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃, sécante 𝜃 égale un sur cosinus 𝜃 et cotangente 𝜃 égale un sur tangente 𝜃. Ainsi, cosécante 𝜃 égale moins cinq tiers, sécante 𝜃 égale moins cinq quarts, et cotangente 𝜃 égale quatre tiers.
Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de sécante 𝜃 fois cosécante 𝜃 moins cotangente 𝜃. Cette valeur est égale à moins cinq quarts fois moins cinq tiers moins quatre tiers. Moins cinq quarts fois moins cinq tiers donne vingt-cinq douzièmes. Puisque quatre tiers égale seize douzièmes, nous avons vingt-cinq douzièmes moins seize douzièmes. Puisque les dénominateurs sont les mêmes, il suffit de soustraire les numérateurs, ce qui donne neuf douzièmes. Nous pouvons simplifier le résultat en divisant le numérateur et le dénominateur par trois, ce qui donne une réponse finale de trois quarts.
Si 𝜃 est compris entre 180 et 270 degrés et sinus 𝜃 égale moins trois cinquièmes, alors sécante 𝜃 fois cosécante 𝜃 moins cotangente 𝜃 est égale à trois quarts.
