Video Transcript
Deux forces parallèles, 𝐹 un et 𝐹 deux, agissent en deux points distincts, 𝐴 et 𝐵, respectivement, dans une direction perpendiculaire au segment 𝐴𝐵. 𝐴𝐵 est égal à 10 centimètres. Leur résultante, 𝑅, égale à moins 20𝑖 moins 16𝑗, agit au point 𝐶 qui appartient à la droite 𝐴𝐵, mais pas au segment AB. Sachant que 𝐹 deux est égale moins 30𝑖 moins 24𝑗, déterminez 𝐹 un et la longueur de 𝐵𝐶.
Dans cette question, on nous dit la longueur du segment 𝐴𝐵, 10 centimètres. On nous donne aussi le vecteur 𝑅, résultant de l’addition de 𝐹 un et 𝐹 deux. Et on nous donne aussi les composantes de 𝐹 deux. On veut déterminer 𝐹 un ainsi que la longueur du segment 𝐵𝐶.
Pour commencer, dessinons un schéma de ces deux forces, 𝐹 un et 𝐹 deux, avec la droite sur laquelle elles agissent. Cette ligne qu’on a tracée est le segment 𝐴𝐵, dont la longueur est de 10 centimètres. F un agit perpendiculairement à ce segment au point 𝐴. Et 𝐹 deux agit dans le sens opposé au point 𝐵.
Pour calculer 𝐹 un, les composantes de cette force, on doit rappeler que 𝑅, la force résultante, est égale à la somme vectorielle de 𝐹 un et 𝐹 deux. Si on écrit cette équation par les composantes de 𝑅, 𝐹 un et 𝐹 deux, cela ressemble à ceci. La composante 𝑖 de 𝐹 un moins 30, la composante 𝑖 de 𝐹 deux, est égale à la composante 𝑖 de 𝑅, c’est-à-dire moins 20. Cela signifie que 𝐹 indice un 𝑖 est égale à plus 10. C’est la seule valeur qui paraît raisonnable pour cette somme.
Lorsqu’on regarde la composante 𝑗, 𝐹 indice un 𝑗 moins 24, la composante 𝑗 de 𝐹 deux, est égale à moins 16, la composante 𝑗 de 𝑅. Cette somme implique que 𝐹 indice un 𝑗 est égale à plus huit.
En combinant ces composantes, nous pouvons écrire que 𝐹 un est égale à 10𝑖 plus huit 𝑗. Ce sont les composantes de la force agissant au point 𝐴. Ensuite, on veut calculer la longueur du segment 𝐵𝐶, où 𝐶, le point d’action de la force résultante 𝑅, est à une certaine distance de 𝐵.
Afin de trouver cette distance 𝐵𝐶, considérons les intensités de 𝐹 deux sur 𝐹 un, c’est-à-dire le rapport de ces deux forces. Si on prend la composante 𝑖 de 𝐹 un et 𝐹 deux, on voit que la composante 𝑖 de 𝐹 deux est trois fois plus grande que celle de 𝐹 un, et de même avec la composante 𝑗. La composante 𝑗 de 𝐹 deux est trois fois supérieure à celle de 𝐹 un.
Cela nous indique que la longueur du segment 𝐴𝐶 doit être égale à trois fois la longueur du segment 𝐵𝐶. C’est la condition qu’on doit remplir pour que 𝐶 soit la ligne d’action de ces deux forces.
Alors, on sait que 𝐴𝐶 est égal à 𝐴𝐵 plus 𝐵𝐶. Et on a écrit ci-dessus que cela doit être égal à trois fois 𝐵𝐶. Et donc, on peut résoudre cette équation pour 𝐵𝐶. Il se simplifie en deux 𝐵𝐶 égal 𝐴𝐵 ou 𝐵𝐶 égal 𝐴𝐵 divisé par deux.
On sait bien que 𝐴𝐵 est égal à 10 centimètres. Donc 𝐵𝐶 doit être égal à cinq centimètres. C’est la distance entre le point 𝐵 et la ligne d’action de ces deux forces.
