Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Résultante de deux forces parallèles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver la force résultante d’un système de forces coplanaires parallèles et comment localiser son point d’application.

Des forces multiples agissant en un point s’additionnent pour donner la force résultante qui agit en ce point. La ligne d’action de la force résultante coupe les lignes d’action de ses composantes au point où les forces agissent.

On considère cependant les forces indiquées sur la figure suivante.

Les forces représentées n’agissent pas au même point, et il n’est donc pas évident de savoir ce que l’on entend par la force résultante de ces forces. Si une force résultante peut être définie pour ces forces, il est évident qu’elle agira dans le même sens que l’une des deux forces. La position du point auquel la force résultante agira n’est quant à elle pas évidente.

On suppose que la ligne en pointillés représentée sur la figure, qui est perpendiculaire à l’arrière des flèches représentant les forces, est en réalité une barre légère et fine. Les forces agissent sur la barre pour générer un moment résultant sur la barre par rapport aux points de la barre. La norme du moment 𝑀 dû à une force d’intensité 𝐹 par rapport à un point est égale au produit de l’intensité de la force et de la distance perpendiculaire 𝑑 de la ligne d’action de la force au point par rapport auquel le moment est calculé. Elle peut être exprimée par 𝑀=𝐹𝑑.

On suppose que les forces représentées sur la figure ont des intensités égales. Si les moments sont calculés par rapport au milieu de la barre 𝑚, les forces produisent des moments par rapport à 𝑚 de même norme. L’un des moments est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, donc positif, tandis que l’autre est dans le sens des aiguilles d’une montre, donc négatif. La somme de ces moments est donnée par 𝑀=𝑀+(𝑀)=0.résultant

La barre est donc en équilibre de rotation.

On considère maintenant une force 𝐹 d’intensité 2𝐹 agissant verticalement vers le bas sur la barre. En prenant le sens vertical vers le haut comme positif, l’intensité de la force résultante sur la barre est donnée par 𝐹+𝐹𝐹=2𝐹2𝐹=0.

La force 𝐹 agit pour s’opposer exactement aux forces vers le haut et remplit ainsi une condition nécessaire pour être l’équivalente négative de la force résultante des forces vers le haut. Ce n’est cependant pas la seule condition à remplir. L’action des forces vers le haut sur la barre produit un moment nul par rapport à 𝑚;pour que 𝐹 soit considérée comme l’équivalente négative de la force résultante des forces vers le haut, elle doit donc également produire un moment résultant nul par rapport à 𝑚.

La force 𝐹 doit agir en un point particulier de la barre. Selon le point auquel 𝐹 agit, elle peut produire un moment non nul par rapport à 𝑚, et si 𝐹 produit un moment non nul par rapport à 𝑚, alors 𝐹 ne peut pas être considérée comme l’équivalente négative de la force résultante des forces vers le haut. On peut alors se demander:en quel(s) point(s) d’application sur la barre 𝐹 produit-elle un moment résultant nul par rapport à 𝑚?

Si 𝐹 agit en 𝑚, le moment en 𝑚 par rapport à 𝐹 est nécessairement nul. Si 𝐹 agit en un point autre que 𝑚, cela produit un moment non nul par rapport à 𝑚. On voit donc que 𝑚 est le seul point auquel la force peut agir pour pouvoir être considérée comme l’équivalente négative de la force résultante des forces vers le haut. Cela indique que 𝑚 remplit toutes les conditions nécessaires pour être considéré comme le point auquel la force résultante des forces vers le haut agit. La ligne d’action de la force résultante des forces vers le haut est parallèle aux forces vers le haut et passe par 𝑚, comme indiqué sur la figure suivante.

Si les forces vers le haut sur la barre ne sont pas égales, la ligne d’action de la force résultante vers le haut n’est pas en 𝑚, mais il existe toujours un point unique correspondant au point auquel la force résultante vers le haut agit. Il correspond au point par rapport auquel les normes des moments dans le sens des aiguilles d’une montre et dans le sens contraire des aiguilles d’une montre dus aux forces vers le haut sont égales.

Étudions un exemple où nous déterminons la force résultante de forces parallèles inégales.

Exemple 1: Déterminer la force résultante et le point d’application de deux forces parallèles agissant dans le même sens

Deux forces parallèles ont des intensités de 10 N et 20 N. La distance entre leurs lignes d’action est 30 cm. Si les deux forces agissent dans le même sens, déterminez leur force résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.

Réponse

L’intensité de la force résultante est la somme des intensités des forces vers le haut, donc, 𝑅=10+20=30.N

Le point auquel 𝑅 agit est un point 𝑃 qui est un élément de 𝐴𝐵. Pour 𝑃, les moments dus aux forces agissant en 𝐴 et en 𝐵 par rapport à 𝑃 sont de même norme. La distance entre 𝐴 et 𝐵 est 30 cm, et la distance entre 𝐴 et 𝑃 est 𝑥cm. Par rapport à 𝑃, les normes des moments dus aux forces en 𝐴 et 𝐵 sont données par 𝑀+(𝑀)=0;

donc, 𝑀=𝑀 d’où, 𝐹𝑑=𝐹𝑑,𝐹 et 𝐹 sont les intensités des forces et 𝑑 et 𝑑 sont les distances des forces au point d’application de la force résultante des forces. La longueur de 𝐴𝐵 est 30 cm, donc on a 10𝑥=20(30𝑥)10𝑥=60020𝑥30𝑥=600𝑥=20.cm

Étudions maintenant un exemple dans lequel des forces parallèles agissent dans des sens opposés.

Exemple 2: Déterminer la force résultante et le point d’application de deux forces parallèles agissant dans des sens opposés

Deux forces parallèles ont des intensités de 24 N et 60 N comme indiqué sur la figure. La distance entre leurs lignes d’action est 90 cm. Sachant que les deux forces agissent dans des sens opposés, déterminez leur force résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.

Réponse

L’intensité de la force résultante est la somme des intensités des forces, ou le sens vers le haut est considéré comme positif;donc, 𝑅=2460=36.N

Par rapport à tout point sur 𝐴𝐵, le moment dû à l’une des deux forces est nul ou dans le sens des aiguilles d’une montre. Cela indique qu’il n’y a aucun point sur 𝐴𝐵 qui peut couper la ligne d’action de la force résultante. Cela ne signifie pas que la force résultante de ces forces ne peut être définie, mais simplement que la ligne d’action de la force résultante est en un point qui n’appartient pas à 𝐴𝐵.

Le point auquel 𝑅 agit est un point 𝑃. Pour 𝑃, les normes des moments dus aux forces agissant sur 𝐴 et 𝐵 par rapport à 𝑃 sont égales. La distance entre 𝐴 et 𝐵 est 90 cm, et la distance entre 𝐴 et 𝑃 est 𝑥;donc, en 𝑃, 𝐹𝑑=𝐹𝑑,𝐹 et 𝐹 sont les intensités des forces (avec le sens vers le haut considéré comme positif) et 𝑑 et 𝑑 sont les distances des forces au point d’application de la force résultante. La longueur de 𝐴𝐵 est 90 cm, donc on a 24𝑥=60(90𝑥)24𝑥=60𝑥540036𝑥=5400𝑥=150.cm

On peut en déduire que la ligne d’action de la force résultante de deux forces parallèles n’est pas nécessairement située entre les lignes d’action des forces. Cela peut être compris comme signifiant que pour une barre légère et fine de longueur 150 cm, si les forces en question agissaient sur la barre et une force vers le haut de 36 N agissait à l’extrémité opposée de 𝐴 sur la barre, la barre serait en équilibre. Cela est illustré par la figure suivante.

Étudions maintenant un exemple dans lequel la force résultante de deux forces parallèles d’intensités inconnues est connue.

Exemple 3: Déterminer l’intensité de deux forces parallèles en fonction de leur force résultante et de son point d’application

Sur la figure ci-dessous, 𝐹 et 𝐹 sont deux forces parallèles mesurées en newtons, 𝑅 est leur force résultante. Si 𝑅=30N, 𝐴𝐵=36cm et 𝐵𝐶=24cm, déterminez les intensités 𝐹 et 𝐹.

Réponse

Le moment de 𝐴 par rapport à 𝑅 est nul, car 𝑅 agit sur 𝐴, la somme des moments de 𝐹 et 𝐹 par rapport à 𝐴 doit donc être nulle.

Les lignes d’action de 𝐹 et 𝐹 ne sont pas perpendiculaires à 𝐴𝐶, donc les moments dus à 𝐹 et 𝐹 sont les moments dus à leurs composantes perpendiculaires à 𝐴𝐶. L’angle que les lignes d’action de 𝐹 et 𝐹 forment avec 𝐴𝐶 peut être noté 𝜃 comme indiqué sur la figure suivante.

On note que la force résultante 𝑅 est donnée par 𝑅=𝐹+𝐹.

Les moments dus à la force résultante et à 𝐹 agissent dans le sens des aiguilles d’une montre, alors que le moment dû à 𝐹 agit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre;donc, la norme du moment par rapport à 𝐴 dû à 𝐹 est donnée par 𝑀=36𝐹𝜃=36(30+𝐹)𝜃𝑀=(1080+36𝐹)𝜃.sinsinsin

La longueur de 𝐴𝐶 est 𝐴𝐶=36+24=60,cm et donc, la norme du moment par rapport à 𝐴 dû à 𝐹 est donnée par 𝑀=(60𝐹)𝜃.sin

La somme des moments par rapport à 𝐴 est nulle, où 𝑀 est positif et 𝑀 est négatif, on peut donc voir que 𝑀𝑀=0𝑀=𝑀(1080+36𝐹)𝜃=(60𝐹)𝜃.sinsin

Le facteur sin𝜃 peut être annulé en divisant les deux membres de l’équation par sin𝜃, donnant 1080+36𝐹=60𝐹24𝐹=1080𝐹=108024=45.N

L’intensité de la force résultante est la somme des intensités des forces, où le sens vers le haut est considéré comme positif;donc, 𝑅=30=𝐹𝐹.

Cette expression peut être réarrangée pour donner une expression de 𝐹 en fonction de 𝐹:𝐹=30+𝐹𝐹=30+45=75.N

Étudions maintenant un exemple dans lequel la force résultante d’un nombre arbitraire de forces parallèles est déterminée.

Exemple 4: Déterminer la force résultante et le point d’application de cinq forces parallèles

Les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸 sont situés sur la même droite tels que 𝐴𝐵=8cm, 𝐵𝐶=18cm, 𝐶𝐷=12cm et 𝐷𝐸=11cm. Cinq forces d’intensités 40, 25, 20, 45 et 50 newtons agissent comme indiqué sur la figure. Déterminez leur force résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.

Réponse

Les forces sont toutes dans l'une des deux sens opposés;par conséquent, l'intensité de leur résultante est la valeur absolue de la somme des forces d'un côté moins celles de l'autre côté, ce qui nous donne 𝑅=40+25+502045=50.N

On peut définir un paramètre 𝑥 qui est égal à la distance dans le sens des 𝑥 positifs entre la ligne d’action de la force de 40 newton et la ligne d’action de 𝑅. La norme du moment dû à la force de 40 newton est donc donnée par 𝑀=40𝑥.

La distance entre les lignes d’action des autres forces et la ligne d’action de 𝑅 peut aussi être exprimée en fonction de 𝑥. Par exemple, la ligne d’action de la force de 25 newton est à une distance de 𝐴 de 8 cm dans le sens des 𝑥 positifs. La distance entre la ligne d’action de 𝑅 et la ligne d’action de la force de 25 newton est donnée par 𝑑=(𝑥8).

La norme du moment dû à la force de 25 newton est donc donnée par 𝑀=25(𝑥8).

En exprimant les moments dus à toutes les forces de cette manière, on obtient 𝑀=40𝑥+25(𝑥8)20(𝑥26)45(𝑥38)+50(𝑥49).

La somme des moments dus aux forces est nulle. Si on distribue les parenthèses, puis sépare les termes entiers des termes qui sont des multiples de 𝑥, on trouve que 40𝑥+25𝑥20𝑥45𝑥+50𝑥=2005201710+245050𝑥=420𝑥=42050=8,4.cm

Étudions maintenant un exemple dans lequel deux forces parallèles sont représentées par leurs composantes perpendiculaires.

Exemple 5: Déterminer la force résultante et le point d’application de deux forces parallèles données comme combinaisons linéaires de vecteurs unitaires

Sachant que les deux forces parallèles 𝐹=2𝑖+𝑗 et 𝐹=4𝑖2𝑗 agissent respectivement sur 𝐴(3;5) et 𝐵(5;3), déterminez leur force résultante 𝑅 et son point d’application.

Réponse

Les intensités des composantes de la force résultante sont la somme des intensités des composantes des forces, où le sens vers le haut est considéré comme positif;donc, 𝑅=(24)𝑖+(12)𝑗=2𝑖𝑗.

La figure suivante illustre les forces agissant sur 𝐴 et 𝐵.

Il y a un angle 𝜃 entre la ligne d’action de l’une ou l’autre force et la droite qui passe par les points d’application des deux forces. Il est possible de déterminer 𝜃 à partir des informations de la question, mais ce n’est en fait pas nécessaire. Pour déterminer le point auquel la force résultante agit, il faut déterminer les rapports des moments dus aux forces par rapport à ce point. Multiplier les intensités des deux forces par sin𝜃 ne change pas ce rapport.

L’intensité de 𝐹 est donnée par 𝐹=2+1=5.

L’intensité de 𝐹 est donnée par 𝐹=(4)+(2)=20.

Les forces n’agissent pas perpendiculairement à 𝐴𝐵, donc les composantes des forces perpendiculaires à 𝐴𝐵 sont données par 𝐹=5𝜃sin et 𝐹=20𝜃.sin

Les composantes des forces agissant perpendiculairement à 𝐴𝐵 peuvent être représentées en traçant 𝐴𝐵 horizontalement, comme le montre la figure suivante, qui montre également la distance de 𝐴 à 𝐵.

On peut voir sur la figure que les segments passant par 𝐴 ou 𝐵 et qui sont respectivement parallèles à l’axe des 𝑥 et à l’axe des 𝑦, ont tous les deux une longueur de 8. Ces segments sont perpendiculaires et forment ainsi deux côtés d’un triangle rectangle ayant une hypoténuse de longueur donnée par =8+8=128=81288=82.

D’après la figure, on peut voir que 𝑥, la distance sur 𝐴𝐵 de 𝐴 au point où la force résultante agit, est donnée en égalisant les moments dus aux forces agissant en 𝐴 et en 𝐵:5𝑥𝜃=20𝜃82𝑥.sinsin

Le facteur sin𝜃 peut être annulé en divisant les deux membres de l’équation par sin𝜃, donnant 5𝑥=2082𝑥5𝑥=20𝑥8202520𝑥=8202𝑥=8202520.

Cette expression de 𝑥 peut être simplifiée comme suit:𝑥=84052=840525𝑥=88=8282=162.

La longueur de 𝐴𝐵 est 82, donc la force résultante agit en un point à une distance 2𝐴𝐵 de 𝐴 dans le sens de 𝐴𝐵.

La distance de 𝐵 depuis 𝐴 est 8 dans le sens des 𝑥 positifs et est également 8 dans le sens des 𝑦 positifs;donc, le point d’application de 𝑅 est à une distance de 2(8)=16 dans le sens des 𝑥 et dans le sens des 𝑦 de 𝐴. Les coordonnées du point d’application de 𝑅 sont donc données par (3+16,5+16)=(13,11).

Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Le point d’application de la force résultante de plusieurs forces parallèles est le point où la somme des moments dus aux forces par rapport à ce point est nulle.
  • Si la distance perpendiculaire entre les lignes d’action de forces parallèles est un segment 𝐴𝐵, le point d’application de la force résultante n’est pas nécessairement un élément de 𝐴𝐵.
  • La position du point d’application de la force résultante des forces parallèles n’est pas affectée par l’angle entre les lignes d’action des forces et la droite qui passe par les points d’application des forces.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.