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Vidéo de la leçon : Résultante des forces parallèles et coplanaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver la force résultante d’un système de forces coplanaires parallèles et comment localiser son point d’application.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver la force résultante d’un système de forces coplanaires parallèles et comment localiser son point d’application. Nous rappelons que plusieurs forces qui agissent en un point s’additionnent pour donner une force résultante qui agit en ce point. La ligne d’action de la force résultante coupe les lignes d’action de ses composantes au point où les forces agissent. Dans cette vidéo, cependant, nous allons traiter des forces qui n’agissent pas au même point, comme indiqué dans la figure.

Commençons par considérer le scénario où nous avons trois forces coplanaires parallèles, 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois, comme le montre la figure. Trouver la force résultante et le point auquel elle agit est un peu plus compliqué que lorsque les forces agissent en un point. Il existe cependant un processus en plusieurs étapes que nous pouvons appliquer.

Comme les forces sont des vecteurs, elles ont un sens ainsi qu’une norme. Notre première étape consiste donc à mettre en place une convention de signe. Dans cet exemple, nous allons définir la direction positive comme étant verticalement vers le haut. Notre étape suivante consiste à trouver la somme des forces parallèles. Puisque 𝐹 un et 𝐹 trois agissent vers le haut, elles seront positives, tandis que 𝐹 deux agit vers le bas, elle sera donc négative. La force résultante est égale à 𝐹 un moins 𝐹 deux plus 𝐹 trois.

Supposons maintenant que les trois forces ont des intensités respectives de deux newtons, trois newtons et quatre newtons. La force résultante est donc égale à deux moins trois plus quatre, ce qui est égal à trois newtons. Comme cela est positif, nous savons que la force résultante agit verticalement vers le haut avec une intensité de trois newtons.

Nous devons maintenant déterminer où se situe le point d’action de cette force résultante le long de notre ligne. Pour ce faire, nous modélisons la droite comme une barre mince et légère, puis calculons les moments par rapport à un point de la droite. C’est la troisième étape de notre processus. En règle générale, lors du calcul de moments, nous considérons que les moments dans le sens antihoraire sont positifs et les moments dans le sens horaire négatifs. Bien que nous puissions calculer les moments par rapport à n’importe quel point, généralement, nous choisissons un point où l’une des forces agit. Dans ce cas, nous allons calculer les moments par rapport au point où la force 𝐹 un agit.

Comme déjà mentionné, nous ne savons pas où la force résultante de trois newtons agit. Cependant, nous l’ajouterons à notre diagramme à une distance perpendiculaire de 𝑥 mètres d’où la force 𝐹 un agit. Nous savons que nous pouvons calculer le moment d’une force en multipliant l’intensité de la force par la distance perpendiculaire de la force au point où nous calculons les moments. Ceci est généralement noté 𝑀 égal 𝐹 multiplié par 𝑑.

En revenant à notre figure et à la notation générale 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois, nous pouvons ajouter les distances 𝑑 deux et 𝑑 trois. Ce sont les distances perpendiculaires de 𝐹 deux et 𝐹 trois par rapport au point auquel nous calculons les moments. Comme la force 𝐹 un agit au point où nous calculons les moments, elle aura un moment égal à zéro. La force résultante agit dans le sens antihoraire autour du point par rapport auquel nous calculons les moments. Elle aura donc un moment positif égal à 𝑅 multiplié par 𝑥. La force 𝐹 deux agit dans le sens horaire, elle aura donc un moment négatif. Celui-ci est égal à moins 𝐹 deux multiplié par 𝑑 deux. Enfin, la force 𝐹 trois agit dans le sens antihoraire et aura donc un moment positif. Celui-ci est égal à 𝐹 trois multiplié par 𝑑 trois.

Si 𝑑 deux était égal à deux mètres et 𝑑 trois quatre mètres, nous pouvons substituer toutes ces valeurs dans notre équation. Cela nous donne trois 𝑥 est égal à moins trois multiplié par deux plus quatre multiplié par quatre. Le côté droit se simplifie en moins six plus 16, cela est égal à 10. Nous pouvons alors diviser par trois de telle sorte que 𝑥 est égal à 10 sur trois ou dix tiers. La force résultante 𝑅 agit à une distance perpendiculaire de 10 sur trois mètres de la force 𝐹 un.

Cela nous amène à une règle générale que nous pouvons utiliser pour calculer la distance perpendiculaire de la résultante du point par rapport auquel nous calculons les moments. La distance 𝑥 est égale à la somme des moments divisée par la force résultante. Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous devons suivre ce processus en quatre étapes.

Deux forces parallèles ont des intensités de 10 newtons et 20 newtons. La distance entre leurs lignes d’action est de 30 centimètres. Si les deux forces agissent dans la même direction, trouvez leur résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.

Nous commençons par remarquer, à partir de la question, que nous avons affaire à deux forces coplanaires parallèles. Ces deux forces agissent dans la direction positive de l’axe des 𝑦 et ont des intensités de 10 et 20 newtons. La distance entre les deux forces est de 30 centimètres. On nous demande de trouver la résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre la ligne d’action de la résultante et le point 𝐴.

Nous savons que lorsqu’il s’agit de forces coplanaires parallèles, la force résultante 𝑅 est égale à la somme des autres forces. Puisque les deux forces agissent dans la direction positive de l’axe des 𝑦, nous avons 𝑅 est égal à 10 plus 20. Ceci est égal à 30. La force résultante 𝑅 est égale à 30 newtons et agit verticalement vers le haut.

Nous ne savons pas actuellement où cette force résultante agit. Supposons qu’elle agit à une distance perpendiculaire de 𝑥 centimètres de 𝐴. En considérant les moments, nous rappelons que cette distance 𝑥 est égale à la somme des moments divisée par la force résultante 𝑅. Nous savons que le moment d’une force est égal à l’intensité de la force multipliée par la distance perpendiculaire au point par rapport auquel nous calculons les moments. Nous considérerons les moments dans le sens antihoraire positifs et calculerons les moments par rapport au point 𝐴.

Le moment de la force de 10 newtons sera donc égal à zéro, car elle agit en ce point. La seule autre force que nous devons considérer est la force de 20 newtons. Elle aura un moment de 20 newtons, son intensité, multipliée par 30 centimètres, sa distance au point 𝐴. 20 multiplié par 30 est égal à 600. Par conséquent, la somme des moments est égale à 600 newtons centimètres. En substituant cela dans notre formule, nous avons 𝑥 est égal à 600 divisé par 30. Cela revient à calculer 60 divisé par trois. 𝑥 est donc égal à 20 centimètres. La distance entre la ligne d’action de la force résultante et le point 𝐴 est donc égale à 20 centimètres.

Nous allons maintenant considérer un exemple où les forces parallèles agissent dans des directions opposées.

Deux forces parallèles ont des intensités de 24 newtons et 60 newtons comme le montre la figure. La distance entre leurs lignes d’action est de 90 centimètres. Sachant que les deux forces agissent dans des directions opposées, déterminez leur résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.

Dans cette question, nous avons deux forces coplanaires parallèles agissant dans des directions opposées. Elles ont des intensités de 24 et 60 newtons, où la force de 24 newtons agit dans le sens positif et la force de 60 newtons agit dans le sens négatif. On nous dit également que la distance entre leurs lignes d’action est de 90 centimètres. On nous a demandé de calculer la force résultante 𝑅 ainsi que la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.

Nous savons que la force résultante est égale à la somme des autres forces. Puisque la direction positive est verticalement vers le haut, cela est égal à 24 plus moins 60, ce qui donne moins 36. La force résultante 𝑅 est égale à moins 36 newtons. Cela signifie qu’elle agit dans la direction descendante avec une intensité de 36.

Nous ne savons pas actuellement où cette force résultante agit. Mais nous pouvons calculer la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴 en utilisant la formule 𝑥 est égal à la somme des moments divisée par la force résultante 𝑅, où le moment d’une force peut être calculé en multipliant l’intensité de cette force par la distance perpendiculaire au point par rapport auquel nous calculons les moments.

Dans cette question, nous allons calculer les moments par rapport au point 𝐴, autour duquel les moments agissant dans le sens antihoraire sont positifs. La force de 24 newtons agit au point 𝐴, ce qui signifie qu’elle se trouve à une distance de zéro centimètre du point 𝐴. Elle aura donc un moment égal à zéro. Cela signifie que le seul moment que nous devons considérer est celui de la force de 60 newtons. Ce moment agit dans le sens horaire autour du point 𝐴. Par conséquent, le moment est égal à moins 60 multiplié par 90, où 90 centimètres est la distance perpendiculaire de cette force du point 𝐴. 60 multiplié par 90 égale 5400. Par conséquent, moins 60 multiplié par 90 égale moins 5400.

On peut donc calculer 𝑥 en divisant moins 5400 par moins 36. Diviser un nombre négatif par un nombre négatif donne un résultat positif. Par conséquent, 𝑥 est égal à 150. La distance entre la ligne d’action de la force résultante et le point 𝐴 est de 150 centimètres.

Nous pouvons voir dans cette réponse un point intéressant concernant cette question. La ligne d’action de la force résultante ne se situe pas entre la ligne d’action de nos autres forces. En pratique, on pourrait envisager une barre mince et légère 𝐴𝐶 de longueur 150 centimètres. Si des forces d’intensités 24 newtons et 60 newtons agissent sur elle comme indiqué, alors nous aurions besoin d’une force verticale d’intensité 36 newtons au point 𝐶 afin de maintenir l’équilibre.

Nous allons maintenant voir un dernier exemple où les forces coplanaires parallèles sont jointes par une ligne qui n’est pas perpendiculaire à leurs lignes d’action.

Dans la figure ci-dessous, 𝐹 un et 𝐹 deux sont deux forces parallèles mesurées en newtons et 𝑅 est leur résultante. Si 𝑅 est égal à 30 newtons, 𝐴𝐵 est égal à 36 centimètres et 𝐵𝐶 est égal à 24 centimètres, déterminez les intensités de 𝐹 un et 𝐹 deux.

Dans cette question, nous avons deux forces coplanaires parallèles, 𝐹 un et 𝐹 deux, agissant dans des directions opposées. On nous donne également la force résultante 𝑅, qui est égale à 30 newtons. La distance entre les points 𝐴 et 𝐵 est de 36 centimètres et la distance entre 𝐵 et 𝐶 est de 24 centimètres. Les lignes d’action de nos forces 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝑅 ne sont pas perpendiculaires au segment 𝐴𝐶. Cependant, comme nos trois forces sont parallèles, nous pouvons ajouter l’angle 𝜃 à notre diagramme comme indiqué.

Nous pouvons calculer les composantes perpendiculaires de ces forces en utilisant nos connaissances de la trigonométrie de l’angle droit. Celles-ci sont égales à 𝐹 un sinus 𝜃, 𝐹 deux sinus 𝜃 et 𝑅 sinus 𝜃. Celles-ci seront utiles lorsque nous calculerons les moments, car le moment d’une force est égal à l’intensité de la force multipliée par la distance perpendiculaire au point par rapport auquel nous calculons les moments. Bien que nous puissions calculer les moments par rapport à n’importe quel point de notre droite, dans cette question, nous le ferons par rapport au point 𝐴.

Nous considérerons les moments agissant dans le sens antihoraire comme positifs et ceux agissant dans le sens horaire comme négatifs. Cela signifie que le moment 𝑀 un de la force 𝐹 un agit dans le sens positif et est égal à 𝐹 un sinus 𝜃 multiplié par 36. Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑀 deux, qui est le moment de la force 𝐹 deux. Comme elle agit dans le sens négatif, cela est égal à moins 𝐹 deux sinus 𝜃 multiplié par 60.

Nos expressions pour 𝑀 un et 𝑀 deux peuvent être simplifiées comme indiqué. Nous savons que la distance 𝑥 de la ligne d’action de la force résultante au point où nous calculons les moments est égale à la somme des moments divisée par 𝑅. Dans ce cas, nous calculons les moments par rapport au point où la résultante agit. Par conséquent, 𝑥 est égal à zéro. Cela signifie que la somme de nos deux moments doit être égale à zéro. 36 multiplié par 𝐹 un sinus 𝜃 plus moins 60 multiplié par 𝐹 deux sinus 𝜃 est égal à zéro. Puisque sinus 𝜃 ne peut pas être égal à zéro, nous pouvons diviser par cette valeur. Nous pouvons également diviser par 12 de sorte que trois 𝐹 un moins cinq 𝐹 deux égale zéro. Comme il y a deux inconnues ici, nous appellerons cela l’équation un.

Nous allons maintenant considérer la force résultante et le fait que celle-ci est égale à la somme des autres forces. Pour en revenir à notre figure initiale, si nous définissons la direction positive verticale vers le haut, nous avons 𝑅 égale 𝐹 un plus moins 𝐹 deux. Puisque 𝑅 est égal à 30 newtons, nous avons 30 est égal à 𝐹 un moins 𝐹 deux. En ajoutant 𝐹 deux aux deux côtés de cette équation, nous avons 𝐹 un est égal à 30 plus 𝐹 deux. Nous appellerons cela l’équation deux. Et nous avons maintenant une paire d’équations simultanées que nous pouvons résoudre par substitution.

Une façon de le faire est de remplacer l’expression de 𝐹 un dans l’équation un par celle de l’équation deux. Cela nous donne trois multiplié par 30 plus 𝐹 deux moins cinq 𝐹 deux est égal à zéro. La distribution des parenthèses nous donne 90 plus trois 𝐹 deux. Le côté gauche se simplifie alors en 90 moins deux 𝐹 deux. En ajoutant deux 𝐹 deux aux deux côtés, puis en divisant par deux, nous avons 𝐹 deux égale 45. La substitution de cette valeur dans l’équation deux nous donne 𝐹 un est égal à 30 plus 45, ce qui est égal à 75. Les intensités des deux forces 𝐹 un et 𝐹 deux sont respectivement de 75 newtons et de 45 newtons.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que des forces coplanaires parallèles peuvent être combinées en une force résultante 𝑅 telle que 𝑅 est égale à la somme des 𝐹. Le point d’action de 𝑅 est le point auquel les moments résultants des forces par rapport au point s’additionnent pour donner zéro. Cela signifie que nous pouvons calculer la distance 𝑥 de la ligne d’action de la force résultante à n’importe quel point de la ligne en trouvant la somme des moments et en la divisant par la force résultante 𝑅.

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