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Supposons que la limite lorsque 𝑥 tend vers six de ℎ de 𝑥 est égale à trois, trouvez la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑥 fois ℎ de 𝑥.
La question nous dit que la limite d’une fonction ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six est égale à trois. Nous devons utiliser cette information pour trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑥 fois la fonction ℎ de 𝑥. Nous voyons que 𝑥 tend vers six pour chacune de ces limites, et dans la deuxième limite, nous avons ℎ de 𝑥. Donc, nous pourrons répondre directement à cette question si nous réécrivons la deuxième limite en fonction de la limite de ℎ de 𝑥.
Or nous connaissons déjà une formule pour réécrire la limite d’un produit de deux fonctions. Nous savons que, pour toutes fonctions 𝑓 et 𝑔 et pour toute constante réelle 𝑎, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Autrement dit, la limite du produit est égale au produit des limites.
Nous souhaitons appliquer cela à la limite donnée dans la question. Donc, nous allons définir la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥, la fonction 𝑔 de 𝑥 égale ℎ de 𝑥, et 𝑎 égale six. Alors, en utilisant le fait que la limite d’un produit est égale au produit des limites. Ceci nous donne que la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑥 fois ℎ de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers six de ℎ de 𝑥.
Nous pouvons calculer notre première limite, la limite de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six. 𝑥 est un polynôme, nous pouvons donc substituer directement. Nous remplaçons 𝑥 par six. Ceci nous donne que la limite de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six est simplement égale à six. Rappelons que, d’après l’énoncé, la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six est égale à trois . Ainsi, nous pouvons calculer la deuxième limite. C’est simplement trois. Donc, notre deuxième limite est égale à trois. Ceci nous donne six fois trois, ce qui est bien sûr égal à 18.
Ainsi, nous avons montré que si la limite lorsque 𝑥 tend vers six, d’une fonction ℎ de 𝑥 est égale à trois, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑥 fois ℎ de 𝑥 est égale à 18.
